TI_v_EMM_2014

Таким образом, выбирая в опасной ситуации коэффициенты λj , j =1,..., n, в соответствии с принципом невозрастания средних выигрышей, мы видим, что j-й коэффициент λj представляет собой отношение суммы bn-j+1 элементов bi,n-j+1, i =1,.... m, стоящих в (n-j+1)-м столбце матрицы B, к сумме b всех ее элементов, т.е. коэффициент λj есть доля суммы элементов (n-j+1)-го столбца в сумме всех элементов матрицы В.

В случае безопасной ситуации коэффициенты λj при возрастании выигрышей должны возрастать; поэтому их можно выбрать по «принципу неубывания средних выигрышей» прямо пропорционально средним выигрышам (15):

1 : 2 : ... : n b1 : b2 : ... : bn .

Аналогичным способом можно показать, что в данном случае коэффициенты λj выражаются через выигрыши следующим образом:

Распространим критерий Гурвица относительно выигрышей, а значит и его частные случаи — критерии Вальда и максимаксный критерий, на смешанные стратегии.

Пусть SA - множество всех смешанных (в том числе и чистых) стратегий игрока A и Р=(р1,…, pm) —

где ai j, i=1,…, m; j=1,…, n, — элементы матрицы (1).

— соответственно минимальный и максимальный выигрыши игрока А при использовании им смешанной стратегии Р.

Так как каждой смешанной стратегии Р соответствуют единственные значения минимального и максимального выигрышей, то W( P ) и М (Р ), а, следовательно, и G(P; λ ), являются числовыми функциями векторного аргумента Р = (p1,..., pm) определенными на множестве SA.

Если, в частности, смешанная стратегия Р = (p1,..., pm) является чистой Аk, то pi = 0 при i ≠ к , и рk =1; следовательно, по формуле (26), H(P, Пj) = Н(Ак, Пj) = akj и показатель эффективности G(P; λ ) превращается в показатель эффективности Gk(λ ) чистой стратегии Аk , определяемый формулой (12) при i = k.

В связи с бесконечностью множества SA встает вопрос о существовании определяемой формулой (28) оптимальной стратегии Р0, т.е. о достижимости функцией G(P; λ) своей верхней грани на множестве SA. Ответ на этот вопрос положителен. Для доказательства этого сначала докажем непрерывность функций W(P) и М(Р) на множестве SA.

Функция H(P, Пj), задаваемая формулой (26), линейна и, следовательно, непрерывна по аргументу P на множестве SA, т.е. для любого ɛ>0 найдется δj>0, зависящее от ɛ, номера j и точки P, такое, что для любой точки U (u1,...,um ) SA , отстоящей от точки P на расстоянии, не большем чем δj : ρ(P,U) ≤ δj ,

справедливо неравенство

H (P, П j ) H (U, П j ) ,

1 j n

Из этого неравенства и правого неравенства (29) будем иметь:

W U W P min H P,n j H P, j H U, j , j 1,...,n.

1 j n

Taким o6paзом, MЫ noказали, 0 найдѐтся 0 такое, что из неравенства (30) следует неравенство (31). Это означает, что функция W(P) нeпpepывна B каждой точке P множества SA, T.e. нeпpepывна нa мhoжестве SA.

Доказательство непрерывности на множестве SA функции M(P) проводиться аналогично, в силу непрерывности функции H(P, nj) пo apryментy P нa мнoжестве SA, для любого 0 найдѐтся 0 тaкoe,

ЧТО для любой точки U S A , удовлетворяющей нepaвeнствy (30), 6yдут выполняться нepaвeнствa (29) для каждого j = 1,..., n. Из пpaвoгo нepaвeнствa (29) получим:

Относительно максимального критерия справедлива следующая

Teopeмa 1. Стратегия Ai0 , оптимальная среди чистых стратегий по максимальному критерию, является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества SA .

63

В каждой строке матрицы (36) переставим риски в невозрастающем порядке и обозначим элементы полученной матрицы через d ij , a саму матрицу — через D:

D =

учитывающее очевидно все риски при выборе стратегии Ai.

Обобщенным критерием пессимизма – оптимизма Гурвица относительно рисков с

Коэффициенты 1 , 2 ,..., n выбираются лицом, принимающим решение, субъективно так, чтобы показатель пессимизма p был ближе к единице в опасной ситуации и ближе к нулю в опасной ситуации,

при этом, поскольку p 0 1 , показатель оптимизма 0 будет принимать значения противоположного смысла.

Впрочем, коэффициенты 1 , 2 ,..., n можно выбирать формализовано, аналогично тому, как это

делалось для обобщенного критерия Гурвица относительно выигрышей. А именно пусть

m

d j dij , j 1,..., n ,

i 1

- сумма рисков j-го столбца матрицы D;

65

- сумма всех рисков матрицы D [или, что тоже, -матрицы (2.21.36)]. Из (2.21.37) имеем:

d1 d2 ... dn .

В опасной ситуации коэффициенты 1 , 2 ,..., n можно выбирать по принципу «не возрастания средних рисков», т.e.

1 : 2 : : n d1 : d 2 : : dn ,

откуда [CM. (21)]

j d j / d , j 1,..., n ,

Вслучае безопасной ситуации коэффициенты 1 , 2 ,..., n можно выбирать по принципу «не убывания средних рисков», т.e.

1 : 2 : : n dn : dn 1 : : d1 ,

Рассмотрим частные случаи обобщенного критерия пессимизма – оптимизма Гурвица относительно рисков с коэффициентами 1 , 2 ,..., n .

Если dij rij ,i 1,.., m, j 1,..., n , т.e.-матрица D совпадает с матрицей рисков, то, очевидно, что коэффициенты 1 , 2 ,..., n можно формально рассматривать в качестве вероятностей состояний природы:

q1 1 ,..., qn n и тогда показатель неэффективности стратегии Ai по обобщенному

критерию Гурвица относительно рисков, вычисляемый по формуле (40), превращается в показатель неэффективности стратегии Ai по критерию Байеса относительно рисков, определяемый формулой (10):

Ri 1 , 2 ,..., n ri ,i 1,...,m .

Поэтому из (11) И (41) следует, что обобщенный критерий Гурвица относительно рисков превращается в этом случае в критерий Байеса относительно рисков.

Если коэффициенты j , j =1,...,n , равны между собой : j = l/n, j =1,..., n , то их формально можно

интерпретировать как вероятности равновероятных состояний природы. В этом случае из формулы (40) получаем :

т.e. показатель неэффективности стратегии Ai по обобщенному критерию Гурвица относительно рисков превращается в показатель неэффективности стратегии Ai по критерию Лапласа относительно рисков. таким образом, в этом случае обобщенный критерий Гурвица относительно рисков превращается, как это следует из (41), в критерий Лапласа относительно рисков.

Kpumepuu Cэвиджa (кpumepuu кpaйнего neccuмизмa).

66

Kpumepuu Cэвиджa представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно рисков с коэффициентами (7).

Таким образом, оптимальной среди чистых стратегий по критерию Cэвиджa считается та чистая стратегия, максимальный риск при выборе которой является минимальным среди максимальных рисков всех чистых стратегий. Поэтому оптимальная стратегия по критерию Cэвиджa гарантирует игроку A при любых состояниях природы риск, не больший, чем минимакс

min max rij .

1 i m 1 j n

Из (2.21.7) H (2.21.6) находим, что для критерия Cэвиджa показатель пессимизма p = 1,a

показатель оптимизма 0 =0. Поэтому критерия Cэвиджa является критерием крайнего пессимизма, он

предполагает наихудшие для игрока A coстояния природы, при которых риск каждой из чистых стратегий максимален.

Хотя и критерий Вальда, И критерий Cэвиджa являются критериями крайнего пессимизма, но они не эквивалентны. Для доказательства этого вернемся к примеру 2.23.2.

Muниминный кpumepuй (кpumepuu кpaйнего oоптимизма).

Muниминный кpumepuй является противоположным критерию Севиджа и представляет собой частный случай обобщенного критерия Гурвица относительно рисков, когда коэффициенты 1 , 2 ,..., n

выбираются в виде (9).

Подставив коэффициенты (9) в формулу (40) И, yучитывая (39), получим показатель неэффективности стратегии Ai, no минимальному критерию :

Неравенства (48) и (49) oозначают, что минимин

67

min max rij 0 .

1 i m 1 j n

Следовательно, по формуле (47), onmuмальнльной cpeдu чистых cmpameгuй no миниминному

критерию является стратегия Ai0 , хотя-бы один из рисков которой ri0 1 ,..., ri0n равен нулю, и потому

она гарантирует игроку A возможность нулевого риска.

Из (9) И (6) получаем, что для миниминного критерия показатели пессимизма и оптимизма равны соответственно p =0 и 0 =0. Таким образом, миниминный критерий является критерием крайнего

оптимизма; он ориентирует игрока A на самые благоприятные для него состояния природы, при которых риск выбора стратегии равен нулю.

Соотношение между максимаксным и миниминным критериями крайнего оптимизма раскрывается в следующем утверждении:

Теорема. Стратегия, оптимальная среди чистых стратегий по максимаксному критерию, является оптимальной о по миниминному критерию. Обратное не верно, т.е. существуют стратегии, оптимальные среди чистых стратегий по миниминному критерию, но не являющиеся оптимальными по максимаксному критерию.

Доказательство: Пусть стратегия Аio оптимальная стратегия по максимальному критерию. Это означает, что (хотя бы) один элемент i0-й строки матрицы выигрышей (1) является максимальным среди всех элементов этой матрицы. Предположим, что этот элемент стоит в j-м столбце и, следовательно, имеет обозначение ai0j, при этом ai0j=βj. Но тогда соответствующий риск ri0j= βj- ai0j=0 и потому стратегия Аio является оптимальной и по миниминному критерию.

Для доказательства второй части теоремы снова обратимся к примеру 2. Вторая строка матрицы выигрышей (34) в этом примере содержит максимальный элемент а22=7. Поэтому оптимальной среди стратегий А1 и А2 по максимаксному критерию является стратегия А2.

Каждая строка матрицы рисков (44) для матрицы (34) содержит нулевой элемент и потому каждая из стратегий А1 и А2 является оптимальной по миниминному критерию.

Таким образом, стратегия А1, являясь оптимальной по миниминному критерию, не является оптимальной по максимаксному критерию.

Критерий пессимизма-оптимизма Гурвица относительно рисков с показателем оптимизма λ [0,1].

Этот критерий занимает промежуточное положение между критерием Сэвиджа крайнего пессимизма и миниминным критерием крайнего оптимизма и является частным случаем обобщенного критерия Гурвица относительно рисков с коэффициентами (11).

В силу (11),(40),(38) и (39), показатель неэффективности стратегии Аi по рассматриваемому критерию определяется формулой

Ri(λ) = Ri(1-λ, 0…,0, λ)= λ1di1+ λn din=(1-λ)maxrij+ λminrij, i=1,…,m.(50)

И тогда в соответствии с равенством (41) оптимальной стратегией среди чистых стратегий игрока А по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица относительно рисков с показателем оптимизма λ [0,1] будет стратегия Аio с минимальным показателем неэффективности (50):

Ri0(λ)=min Ri(λ)=min[=(1-λ)maxrij+ λminrij].

Подставляя коэффициенты (11) в формулы (6) получим показатели пессимизма и оптимизма для этого критерия, равные соответственно λp=1-λ и λ0=λ.

При λ=0 и λ=1 из критерия гурвица относительно рисков получается соответственно критерий Сэвиджа и миниминный критерий.

Выше мы доказали неэквивалентность критерия Вальда и Сэвиджа, а из теоремы 2 следует неэквивалентность максимаксного и миниминного критериев. Это означает, что критерии Гурвица относительно выигрышей и относительно рисков неэквивалентны при покателях оптимизма λ=0 и λ=1. В связи с этим возникает вопрос: может быть эти критерии эквивалентны при всех остальных показателях оптимизма λ (0,1)? Оказывается, что ответ на этот вопрос также отрицателен. Приведем соответствующийпример.

Показателем неэффективности смешанной стратегии P=(p1,…,pm) по критерию пессимизмаоптимизма Гурвица относительно рисков с показателем оптимизма λ [0,1] назовем число

R(P;λ)=(1-λ)maxr(P,nj)+λminr(P,nj), (54),

68

где maxr(P,nj) и minr(P,nj) – соответственно максимальный и минимальный риски игрока А при использовании им смешанной стратегии P.

Поскольку каждой смешанной стратегии P SA соответствует единственное значение максимального и минимального рисков, то maxr(P,nj), minr(P,nj) и, следовательно, R(P;λ), являются числовыми функциями векторного аргумента P=(p1,…,pm), определенными на множестве SА.

Если смешанная стратегия P=(p1,…,pm) является чистой стратегией Ак, то pi=0 при i≠k, и pk=1;

следовательно, по формулам (53),(26), и (5), r(P,Пj)=r(Ак,Пj)=βj-akj=rkj и показатель неэффективности R(P;λ) превращается в показатель неэффективности Rk(λ) чистой стратегии Ак, определяемый формулой (50) при i=k.

Оптимальной среди всех смешанных стратегий множества SA по критерию пессимизма-оптимизма Гурвица относительно рисков с показателем оптимизма λ [0,1] назовем стратегию P0=(p10,…,pm0) SA с минимальным показателем неэффективности R(P;λ):

R(P0;λ)= minR(P;λ)=min(1-λ)maxr(P,nj)+λminr(P,nj)]. (55)

Здесь из-за бесконечности множества SA, так же как и в случае критерия Гурвица относительно выигрышей, возникает необходимость доказательства существования оптимальной стратегии P0, т.е. доказательство того, что функция R(P;λ) достигает на множестве SA своей нижней грани.

Непрерывность по аргументу P на множестве SA функции H(P,Пj), задаваемой формулой (26), влечет непрерывность на том же множестве SA функции r(P,Пj), определяемой по формуле (53). Поэтому для любого ε>0 найдется δi>0 такое, что для каждой стратегии U=(u1,…,um) ) SA, удовлетворяющей

m

неравенству ρ(P,U)≤δi, где ρ(P,U)= ( pi ui )2 , будет справедливо неравенство (r(P,nj)-r(U,nj))≤ε,

i 1

которое можно переписать так:

r(U,Пj)-ε≤ r(P,Пj)≤ r(U,Пj)+ε. (56)

Если стратегия U SA такова, что

ρ(P,U)≤δ= min δj,

1 j n

то неравенство ρ(P,U)≤δ будет выполняться для каждого j=1,…,n и, следовательно, для каждого j=1,…,n будут выполняться неравенства (56).

Из левого неравенства (56) получим:

Из этого неравенства и правого неравенства (56) будем иметь неравенство

Справедливое для любого j=1,…,n. В частности имеет место неравенство

Которое можно переписать так:

Итак, мы показали, что для любого ε>0 существует δ>0 такое, что из неравенства ρ(P,U)≤δ следует

неравенство (57). Это означает, что функция min r(P,nj) непрерывна по аргументу P на множестве SA.

1 j n

Непрерывность функции max r(P,nj) доказывается аналогично. А именно, в силу непрерывности

1 j n

функции r(P,Пj) по аргументу P на множестве SA, для любого ε>0 найдется такое, что для любой стратегии U SA, удовлетворяющей неравенству ρ(P,U)≤δi, будут справедливы неравенства (56). Если же

стратегия U SA такова, что ρ(P,U)≤δ= min δj, то неравенства (56) выполняются для любого j=1,…,n. Из

1 j n

правого неравенства (56):

r(P, Ï j ) r(U , Ï j ) max r(U, nj ) ,

1 j n

откуда в частности

max r(P, nj ) max r(U , nj )

1 j n

и, следовательно, из левого неравенства (2.21.56):

Отсюда, в частности получаем неравенство

69

При 1из формулы (54) получаем показатель неэффективности смешанной стратегии P по миниминному критерию:

Теорема 3 Стратегия Ai 0 , оптимальная среди чистых стратегий по миниминному критерию, является оптимальной по тому же критерию и среди всех смешанных стратегий множества SA.

неэффективности стратегии Ai как чистой и как смешанной по миниминному критерию совпадают:

Так как стратегия Ai 0 по условию теоремы оптимальна среди чистых стратегий по миниминному критерию, то по формуле (47)

Ri0 (0,..., 0,1) min min rij .

1 i m 1 j n

Из этого равенства и равенства (59) при i=i0 получаем: R( Ai 0 ;1) 0 . (60)

Из определения (12) риска смешанной стратегии P при состоянии природы Пj вытекает, что

70