27. Постановка граничных условий: свободная граница, твердая стенка,

условия прилипания и скольжения.

Рассмотрим в качестве примера задачу о расчете течения около затупленного тела. Область, в которой проводятся вычисления, а также расчетная сетка показаны на Рис.1(первый и последний рисунок).

Граничные условия ставились следующим образом: на левой границе АВ использовались условия в набегающем потоке газа, на теле OEKL– обычные условия на твердой стенке (условиянепротекания илиприлипания), на верхней ВС и правой СДоткрытых границах области проводилась экстраполяция параметров течения за рассматриваемую область.

Вдоль всех границ вводятся слои фиктивныхячеек, куда и засылаются соответствующие параметры из смежных ячеек потока.

При этом следует различать два рода границ: твёрдая стенка и открытая граница расчетной области. В первом случае, например при условии непротекания, нормальная к стенке компонента скорости меняет знак в слое фиктивных ячеек, а остальные параметры потока сносятся туда без изменения. Возможен также иной тип граничных условий на стенке: течение без проскальзывания. В этом случае обе компоненты скорости меняют знак (условие прилипания).

Пусть одной из прилегающих сверху к телу ячеек отвечают индексы (i,M), а соответствующей ей фиктивной ячейке внутри тела – индексы (i,M+1) (Рис. 1.). Тогда при указанной выше трактовке граничныеусловия непротекания на теле запишутся так:

(1)

а условия прилипания–

(2)

Через открытыеграницы жидкость может втекать или вытекать из области, и здесь должны быть обеспечены некоторые условия непрерывности движения. Пусть, например, жидкость втекает в прямоугольную область с левой стороны, тогда здесь и задаются параметры набегающего потока. На остальных открытых границах проводится экстраполяция параметров потока изнутри, т.е. в фиктивный слой переносятся значения параметров из ближайшего (к границе) слоя.

Рассмотрим случай, когда жидкость вытекает справа из сетки длиной в Nячеек. Наиболее естественно представить вытекающий поток однородным. В простейшем случае условия на слоеjв фиктивной ячейке (N+1, j) должны бать такими же, как и в самой ячейке (N, j) (Рис. 1.). Таким образом, в конце эйлерова этапа каждого цикла вычислений полагаем:

(3)

и в конце заключительного этапа имеем:

(4)

28. Консервативность метода крупных частиц.

Можно показать, что разностные схемы указанного типа выражают законы сохранения массы, импульса и полной энергии на сетке. Поэтому в целом разностная схема метода крупных частиц является дивергентно-консервативной.

Рассмотрим вначале вопрос о сохранении массы. Полная масса жидкости, заключенная в указанной области, равна

(1)

Выражение слева представляет собой массу жидкости в рассматриваемой области на слое . Первый член справа представляет собой аналогичную массу на слое, а второй член равен изменению массы за время. Потоки массы через правую границу для ячейки (I, j) и левую для ячейки (i+1, j) вычисляются так, что они равны по величине и противоположны по знаку. Поэтому в (1) все значениявнутри поля течения взаимно уничтожаются, и мы получим

(2)

Таким образом, выражение (2) утверждает, что изменение массы в области определяется изменением массы на границе, что означает выполнение закона сохранения массы. Аналогичные выкладки имеют место и для законов сохранения импульса и энергии. Эти величины за время изменяются дважды: сначала на эйлеровом, а потом на заключительном этапах. На эйлеровом этапе изменения энергии и импульса равны соответственно

(3)

Заменяя значения иих выражениями, найденными на эйлеровом этапе, получим:

	(4)
	(5)

Здесь ,- компоненты импульсасоответственно вдоль осейх иу.Как и в (1), все величины в правой части(5), кроме граничных, встречаются дважды с различными знаками, и в результате будем иметь:

	(6)
	(7)

Рассуждая подобным образом, получим, что и на заключительном этапе внутренние точки поля вклада в изменение ине дают – это изменение осуществляется только за счет границ, следовательно:

	(8)
	(9)

Общее изменение энергии и импульса за время равно сумме этих изменений на эйлеровом и заключительном этапах. Поэтому внутри области течения имеет место также строгое сохранение величиниТаким образом, показано, что выполняются разностные законы сохранения массы, импульса и полной энергии. Поэтому в целом разностная схема является дивергентной и консервативной (дивергентно-консервативной).

22