- •Практикум
- •Предисловие
- •Раздел 1
- •1.1. Общие правила комбинаторики
- •Задачи на размещения Технология решения задачи по алгоритму на размещения
- •Задачи для тренинга
- •Задачи на сочетания Технология решения задачи по алгоритму на сочетания
- •Задачи для тренинга
- •Задачи на перестановки Технология решения задачи по алгоритму на перестановки
- •Задачи для тренинга
- •Задачи для тренинга по теме «Комбинаторика»
- •Раздел 2
- •2.1.Основные понятия теории вероятностей Краткая теоретическая справка
- •2.2. Классификация событий Краткая теоретическая справка
- •2.3. Действия над событиями Краткая теоретическая справка
- •Алгоритм решения задач на действия над событиями
- •Факты из истории теории вероятностей
- •Технология решения задач на действия над событиями по алгоритму
- •Задачи для тренинга по теме «Действия над событиями»
- •2.4. Определение вероятности Краткая теоретическая справка
- •Алгоритм решения задач на классическое определение вероятности
- •Технология решения задач по алгоритму на классическое определение вероятности
- •Задачи для тренинга
- •Геометрическое определение вероятности
- •Технология решения задач по алгоритму на геометрическое определение вероятности
- •Задачи для тренинга
- •2.5. Основные теоремы теории вероятностей Краткая теоретическая справка
- •Алгоритм решения задач на основные теоремы вероятностей
- •Теорема 1 Технология решения задач по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Теорема 2 Технология решения задач по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Задачи для тренинга
- •Теорема 3 Технология решения задач по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Теорема 4 Технология решения задач по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Технология решения задач по алгоритму на основные теоремы вероятности
- •2.6. Формула полной вероятности. Формула Байеса Краткая теоретическая справка
- •Алгоритм решения задач на формулу полной вероятности
- •Технология решения задач по алгоритму на формулу полной вероятности и формулу Байеса
- •Повторные независимые испытания Краткая теоретическая справка
- •Алгоритм решения задач на повторные независимые испытания
- •Формула Бернулли Технология решения задач по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Формула Пуассона Технология решения задач по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Формула Муавра – Лапласа Технология решения задачи по алгоритму
- •Задачи для тренинга
- •Задачи для тренинга по теме «Определение вероятности»
- •Задачи для тренинга по теме «Основные теоремы вероятности»
- •Задачи для тренинга по теме «Формула полной вероятности и формула Байеса»
- •Задачи для тренинга по теме «Повторные независимые испытания»
- •Вопросы для самопроверки
- •Заключение
- •Список рекомендуемой литературы
Задачи для тренинга по теме «Основные теоремы вероятности»
Произведен залп из двух орудий по мишени. Вероятность попадания из первого орудия равна 0,85, из второго – 0,91. Найти вероятность поражения цели.
В соревнованиях по бегу участвуют 20 перворазрядников и 5 мастеров спорта. На стартовую позицию по жребию последовательно вызываются 2 участника. Найти вероятность того, что оба участника соревнований мастера спорта.
Вероятность получить высокие дивиденды по акциям на первом предприятии – 0,2, на втором – 0,32, на третьем – 0,15. Определить вероятность того, что акционер, имеющий акции всех трех предприятий, получит высокие дивиденды: а) на всех предприятиях; б) только на одном предприятии; в) хотя бы на одном предприятии.
Проверяются изделия на стандартность. Вероятность того, что изделие стандартное равна 0.9. Найти вероятность того, что из трех проверенных изделий только одно стандартное.
Для разрушения моста достаточно попадания одной авиационной бомбы. Найти вероятность того, что мост будет разрушен, если на него сбросить 3 бомбы, вероятности попадания которых соответственно 0,4, 0,5 и 0,6.
Вероятность успешной сдачи экзамена по математике у студента А, студента В и студента С соответственно равны 0.7, 0.9 и 0.5. Найти вероятность того, что: а) все три студента успешно сдадут экзамен; б) только один студент сдаст экзамен; в) только два сдадут экзамен; г) ни один не сдаст экзамен.
Рабочий обслуживает 4 станка. Вероятность того, что в течение смены первый станок не потребует внимания рабочего, равна 0,7, для второго – 0,8, для третьего – 0,9 и для четвертого – 0,85. Найти вероятность того, что в течение смены: а) только один станок потребует внимания; б) ни один станок не потребует внимания; в) только три станка потребуют внимания; г) все 4 станка потребуют внимания.
Вероятность безотказной работы нового компьютера равна 0.95, а старого 0.75. Найти вероятность того, что а) только один компьютер выйдет из строя; б) оба выйдут из строя; в) ни один не выйдет из строя.
Вероятность того, что в течение гарантийного срока выйдет из строя пылесос, равна 0,15; выйдет из строя телевизор – 0,2. Какова вероятность того, что в течение гарантийного срока: а) оба прибора выйдут из строя; б) хотя бы один прибор выйдет из строя?
Прибор состоит из двух элементов, работающих независимо. Вероятность выхода из строя первого элемента при включении равна 0,05, второго – 0,08. Найти вероятность того, что при включении прибора: а) оба элемента выйдут из строя; б) хотя бы один элемент выйдет из строя.
Для сигнализации об аварии на автоматической линии установлены два независимо работающих устройства. Первое устройство в случае аварии срабатывает с вероятностью 0,85; второе – 0,95. Какова вероятность того, что в случае аварии сработает: а) только первое устройство; б) хотя бы одно устройство?
Вероятность попадания в цель первым стрелком равна 0,7; вторым стрелком – 0,6. Стрелки сделали по одному выстрелу. Какова вероятность того, что в цель попадет: а) только один стрелок; б) хотя бы один стрелок?
Два независимо работающих станка требуют внимания наладчика в течение смены с вероятностью р1 = 0,2 и р2 = 0,25. Найти вероятность того, что в течение смены внимания наладчика потребуют: а) оба станка; б) хотя бы один станок.
В первом ящике 10 белых и 20 черных шаров, во втором ящике 12 черных и 18 белых шаров. Из каждого ящика наудачу вынули по одному шару. Какова вероятность того, что среди вынутых шаров: а) один шар белый; б) хотя бы один шар белый?
Узел содержит 3 независимо работающих детали. Вероятность отказа деталей соответственно равны 0,1, 0,2 и 0,3. Найти вероятность отказа узла, если для этого достаточно, чтобы отказала хотя бы одна деталь.
Абитуриент сдает два вступительных экзамена по математике и иностранному языку. Вероятность получения высшего балла по математике 0,6, а по иностранному языку – 0,8. Найти вероятность того, что абитуриент получит: а) хотя бы один высший балл; б) получит один высший балл.
Два автомобиля участвуют в гонках по пересеченной местности. Вероятность того, что первый автомобиль пройдет трассу без поломок, равна 0,65, для второго автомобиля эта вероятность равна 0,7. Найти вероятность того, что без поломок пройдет трассу: а) только один автомобиль; б) хотя бы один автомобиль.
На 100 лотерейных билетов приходится 5 выигрышных. Какова вероятность выигрыша хотя бы по одному билету, если приобретено: а) 2 билета; б) 4 билета?