Общая теория статистики Назаров

12.4. Методы анализа основной тенденции развития ряда динамики 291

12.4. Методы анализа основной тенденции развития ряда динамики

Основная тенденция развития (тренд) – это плавное и устойчи вое изменение уровня явления во времени (возрастание или убы вание), освобожденное от влияния случайных факторов.

Для того чтобы ряды динамики освободить от влияния случай ных факторов и выявить основную тенденцию развития, их под вергают обработке с помощью следующих методов:

1)укрупнения интервалов;

2)скользящей средней;

3)аналитического выравнивания.

Метод укрупнения интервалов заключается в укрупнении перио дов, к которым относятся уровни ряда.

Если рассматривать уровни ряда динамики за короткие проме жутки времени, то в силу действия различных факторов, на них влияющих, бывает сложно выявить основную тенденцию развития явления.

Сущность метода скользящей средней заключается в том, что ис числяется средняя величина первых по порядку уровней ряда. При этом их число может быть как четным, так и нечетным, но обычно из за удобства расчетов берется нечетное число (3, 5, 7 и т.д.), так как в этом случае скользящая средняя будет отнесена к середине периода скольжения. Затем исчисляется средняя из выбранного числа уровней (3 или 5 и т.д.) начиная со второго по счету уровня, далее – начиная с третьего и так до конца ряда по аналогии. Исчис ленная средняя называется скользящей и представляет собой рас четные уровни выбранного ряда динамики.

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 3, исчисляются по формуле

Скользящие средние с продолжительностью периода, равной 5, будут следующие:

y3 = y3 + y4 + y5 + y6 + y7 и т.д. 5

Пример 8. На основании исходных данных табл. 12.16 о числе филиалов страховых организаций за период с 1995 по 2006 г. прове дем механическое сглаживание ряда динамики методом скользя щей средней по трем и пяти членам:

а) по трем членам:

Результаты расчетов представим в гр. 3—6 табл. 12.16.

Таблица 12.16

Число филиалов страховых организаций в Российской Федерации

12.4. Методы анализа основной тенденции развития ряда динамики 293

Окончание табл. 12.16

Аналитическое выравнивание позволяет получить описание плав ной линии развития (тренда) данного ряда. Сущность аналитичес кого выравнивания заключается в нахождении уравнения, выража ющего закономерность изменения явления как функцию времени .

Для выравнивания ряда по прямой используется уравнение , параметры которого a1 и a0 находятся путем решения

системы нормальных линейных уравнений:

na0 + a1 ∑ t = ∑ y,

a0 ∑ t + a1 ∑ t 2 = ∑ yt.

Для упрощения расчетов показателям времени t придают такие значения, чтобы их сумма была равна нулю (∑ t = 0). В этом случае система уравнений примет вид:

na0 = ∑ y,

a1 ∑ t 2 = ∑ yt,

отсюда

При выравнивании по параболе второго порядка yt = a0 + a1t + a2t 2, если ∑ t = 0, система нормальных уравнений будет следующей:

na0 + a2 ∑ t 2 = ∑ y,

a1 ∑ t 2 = ∑ yt,

a0 ∑ t 2 + a2 ∑ t 4 = ∑ yt 2 .

Пример 9. Проведем расчет необходимых промежуточных пока зателей (∑ y, ∑ t2, ∑ yt ) по следующим данным.

Таблица 12.17

Число заключенных страховыми организациями договоров страхования, млн

Определим параметры уравнения:

a0 = ∑ y = 1205,9 = 100,492

n12

С учетом полученных параметров a0 и a1 уравнение прямой ряда динамики, характеризующей число заключенных страховыми орга низациями договоров страхования, будет иметь следующий вид:

yt = 100,492 + 1,895 t.

Используя полученное уравнение прямой, рассчитаем для каж дого года теоретические значения:

а) для 1995 г. yt=−11 = 100,492 + 1,895 (−11) = 79,6; б) для 1996 г. yt=−9 = 100,492 + 1,895 (−9) = 83,4;

в) для 1997 г. yt=−7 = 100,492 + 1,895 (−7) = 87,2 и т.д.

Результаты расчетов для наглядности представим в табл. 12.18.

Правильность расчета уровней выравненного ряда динамики легко проверить: сумма значений эмпирического ряда (∑ y = 1205,9) должна совпадать с суммой вычисленных уровней выравненного ряда (∑ yt = 1205,9).

12.5. Методы измерения сезонных колебаний

Многие ряды динамики подвержены сезонным колебаниям, воз никающим под влиянием смены времени года. Периодичность подъема или снижения какого либо явления, например темпера туры воздуха, может проявляться не только в природе, но и в ре зультатах человеческой деятельности (экономическая активность населения, вклады физических лиц в кредитных организациях, по купательная способность среднедушевых денежных доходов насе ления, сезонная продажа товаров и т.д.).

Сезонными колебаниями называются такие изменения, кото рые соответствуют строго периодическому ритму в определенной причинной связи за длительный временной интервал.

Измерение сезонных колебаний осуществляется с помощью индексов сезонности.

Существуют различные способы расчета индексов сезонности, которые зависят от наличия или отсутствия основной тенденции.

По данным одного года индекс сезонности рассчитывается как отношение помесячных (или квартальных) уровней к среднему уровню за год:

Iсез = yyi 100%.

Пример 10. Рассмотрим расчет индексов сезонности на основа нии исходных данных табл. 12.19.

Средний размер ввезенной банками иностранной валюты за 2007 г. будет следующим:

= 627,82 + 616,35 + 675,38 + 1039,48 + 979,05 + 1154,07 + ... + 1996,33 =

y

Дальнейшие результаты расчетов представлены в табл. 12.19.

Средний уровень показателя за каждый месяц получим делени ем суммы соответствующего уровня на число лет, т.е.:

yянв = 27,94 + 28,41 + 26,47 = 27,607; 3

yфев = 27,97 + 28,20 + 26,34 = 27,503; 3

yмарт = 27,62 + 27,88 + 26,11 = 27,203 и т.д. 3

Общая средняя получается делением суммы уровней среднеме сячного официального курса доллара к рублю за все три года на общее число месяцев, т.е. 36:

= 339,42 + 326,3 + 306,97 =

y 27,019 руб./долл. 36

Общую среднюю можно также рассчитать по среднегодовым уровням ряда динамики по формуле

y = ∑( yi ) = 28,285 + 27,192 + 25,581 = 27,019 руб./долл.,

где ∑( yi ) — сумма среднегодовых уровней ряда динамики; n — число лет

либо по вычисленным помесячным средним уровням (yi ): y = ∑ yi = 324,231 = 27,019 руб./долл.,

n12

где n — число месяцев.

Индексы сезонности для каждого месяца будут следующими:

Jсезянв = 27,607 100 = 102,2%;

27,019

Jсезфев = 27,503 100 = 101,8%;

27,019

Jсезмарт = 27,203 100 = 101,7% и т.д. 27,019

Результаты расчета индексов сезонности представим в табл. 12.21.

Таблица 12.21

Динамика среднемесячного официального курса доллара по отношению к рублю и расчет индексов сезонности, руб./долл.

На основании данных табл. 12.21 очевидно, что наибольший сред немесячный официальный курс доллара к рублю (руб./долл.) за 2005—2007 гг. был в январе, наименьший — в декабре.

Пример 12. Рассмотрим расчет поквартальных индексов сезон ности по данным о вывозе наличной иностранной валюты из Рос сийской Федерации через уполномоченные банки за 2005—2007 гг.

Таблица 12.22

Динамика поквартального вывоза банками наличной иностранной валюты (списано со счета «касса») и расчет индексов сезонности по всем валютам, млн долл.

300 Глава 12. Ряды динамики

Рассчитаем средний квартальный уровень вывоза наличной ино странной валюты в каждом году:

Найдем отношение уровня каждого квартала к среднекварталь ному уровню соответствующего года, т.е. индексы сезонности:

а) для I квартала 2005 г.:

J2005I = 553,22 100 = 77,61%; 712,84

б) для II квартала 2005 г.:

J2005II = 848,62 100 = 119,05%; 712,84

в) для III квартала 2005 г.:

J2005III = 712,58 100 = 99,96% и т.д. 712,84

Результаты расчетов представлены в табл. 12.22.

Если в месячных (квартальных) показателях заметна тенденция к изменениям (росту или снижению) по годам, то целесообразно осуществить аналитическое выравнивание ряда, а затем исчислять индексы сезонности как отношение уровня каждого месяца (квар тала) к выравненным уровням.