1.1.6 Вычеты и их применение

Вычисление вычетов

Примечание: при вычислении вычета в полюсе кратности p можно использовать формулу (◦) не только с m = p, но и с m > p.

res z=∞f(z) = −φ0(0).

Внекоторых случаях вычет удобнее находить, разлагая функцию в ряд Лорана.

Взадачах 1.66 – 1.75 требуется найти вычеты данных функций во всех изолированных особых точках и на бесконечности (если она не является предельной для особых точек). В случае конечного числа особых точек следует проверить ответ, зная, что сумма всех вычетов (включая вычет на бесконечности) равна нулю.

1.76. Доказать, что для чётной функции f(z) имеет место равенство res z=af(z) = − res z=−af(z), а для нечётной – равенство res f(z).

Интегралы по замкнутому контуру

Пусть γ – простой замкнутый контур на плоскости, D – ограниченная им односвязная область, f(z) – функция, регулярная в D и непрерывная в замкнутой области D# = D γ, за исключением конечного числа особых точек a1, a2, ..., an внутри области. Тогда

γk=1

13

Если D – p-связная область, граница которой состоит из простого замкнутого контура γ1 и расположенных внутри него (p − 1) простых замкнутых контуров γs, s = 2, 3, .., p, то формула (??) остаётся справедливой, если под символом γ понимать всю границу области D, проходимую таким образом, что область остаётся слева. В этом случае формула приобретает вид

1.87. Разложить функцию ctg z в ряд Лорана:

а) в окрестности точки z = 0; б) в кольце π < |z| < 2π.

Указание. Для разложения в окрестности нуля воспользоваться результатами задач 1.45 – 1.46. Пусть это

1.88. Разложить функцию 1e−zz в ряд Лорана:

а) в окрестности точки z = 0; б) в кольце 1 < |z| < 2. (Cм. указание к 1.87).

Пусть функция f(z) непрерывна во всех точках контура l, за исключением бесконечного разрыва в точке b, не совпадающей с началом и с концом контура. Удалим из контура малый его участок, расположенный в кружке K : |z−b| < , и обозначим оставшуюся часть контура через l . Предел интеграла

R

f(z) dz при → 0 (если он существует) называется несобственным интегралом в смысле главного

l

R

значения и обозначается v.p. f(z) dz.

l

Пусть γ – простой гладкий замкнутый контур (пробегаемый в положительном направлении), D – ограниченная им область, f(z) – функция, регулярная в D и непрерывная в замкнутой области D γ, за исключением простого полюса в точке b контура γ. Тогда главное значение интеграла существует и равно

Если внутри контура имеются особые точки функции a1, ..., an, то к правой части данной формулы надо

n

P

добавить слагаемое 2πi res z=ak f(z). Если контур кусочно-гладкий, причем b – угловая точка с

k=1

внутренним углом θ, то правая часть формулы (@) имеет вид θi res z=bf(z).

1.89. Найти главное значение интеграла:

14

Указание: при |a| = 1, a 6= ±1 интеграл следует понимать в смысле главного значения; при a = ±1 главное значение не существует.

Вычисление интегралов по бесконечному промежутку

+∞

Интегралы вида R Pm(x) dx, где Pm(x) и Qn(x) – полиномы степеней, соответственно, m и n, можно

−∞ Qn(x)

вычислять с помощью вычетов в корнях a1, ...ak полинома Q(z) при условии, что n ≥ m + 2 и Im as 6=

0, s = 1, ..., k:

Эта формула получается в пределе R → ∞ из интеграла по конечному замкнутому контуру, состoящему из отрезка [−R, R] вещественной оси и полуокружности радиуса R в верхней или в нижней полуплоскости.

ней полуплоскости, то следует добавить слагаемое πi res z=1f(z); если же пользоваться полюсами в нижней полуплоскости, то это слагаемое надо взять со знаком минус.

Im α = 0, P (x) и Q(x) – полиномы. Пусть степень P (x) меньше степени Q(x), и все корни a1, ..., an

15

полинома Q(z) не вещественные. При α > 0 имеет место формула

Если на вещественной оси имеются простые полюсы b1, ..., bp функции f(z), то каждый такой полюс добавляет к правой части формулы (•) слагаемое вида πi res z=bs eiαzf(z), s = 1, ..., p, при этом интеграл понимается в смысле главного значения.

При α < 0 в формуле (•) сумма составляется из вычетов в полюсах нижней полуплоскости и берётся со знаком минус. Каждый вещественный полюс даёт при этом вклад в правой части вида

−πi res z=bs eiαzf(z).

Вычислить интегралы:

∞∞

1.1.7 Принцип аргумента. Теорема Руше

Пусть D – односвязная область, f(z) – функция, регулярная в D за исключением конечного числа полюсов, – простой замкнутый контур, расположенный внутри области D и не проходящий через полюсы и нули функции f(z). Символом var w(z) обозначается приращение функции w(z) при обходе точкой z контура .

Принцип аргумента. Когда точка z пробегает весь контур в положительном направлении, приращение аргумента функции f(z) равно умноженной на 2π разности между числом нулей N и числом P полюсов функции внутри контура:

var arg f(z) = 2π (N − P ),

причем каждый нуль и каждый полюс учитывается столько раз, какова его кратность. Аргумент arg f(z) функции f(z) – это непрерывная вещественная функция ψ(z) в представлении f(z) = |f|eiψ.

16

Принцип аргумента может дать полезную информацию о расположении на комплексной плоскости нулей регулярных функций, в частности, полиномов. Именно, чтобы узнать, сколько нулей имеет данная регулярная функция в интересующей нас области, следует совершить обход области по её границе и выяснить, сколько полных оборотов вокруг точки w = 0 совершит при этом точка w = f(z), т.е. образ точки z.

В некоторых случаях ещё удобнее применять теорему Руше.

Теорема Руше. Пусть D – односвязная область, F (z) и f(z) – функции, регулярные в D, – простой замкнутый контур, расположенный внутри области D. Если на контуре выполняется неравенство |f(z)| < |F (z)|, то число нулей функции F (z) + f(z) внутри контура равно числу нулей в той же области функции F (z), с учётом их кратностей: NF +f = NF .

Примечание. Утверждение принципа аргумента остаётся справедливым, если функция регулярна в области (кроме полюсов) и непрерывна вплоть до границы, при этом в качестве контура можно взять границу области. Аналогично обстоит дело и с теоремой Руше.

1.116. Пользуясь теоремой Руше, найти количество лежащих в круге |z| < 1 корней данных уравнений:

а) z9 − 2z6 + z2 − 8z − 2 = 0; б) 2z5 − z3 + 3z2 − z + 8 = 0; в) 4z4 + z3 − 2 = 0; г) ez − 4zn + 1 = 0, n N.

1.117. Найти количество корней уравнения z4 + 2z3 + 3z2 + z + 2 = 0: а) в правой полуплоскости; б) в первом квадранте.

Указание: воспользоваться принципом аргумента, взяв в качестве контура границу полукруга (или четверти круга) большого радиуса, с центром в начале координат.

1.118. Доказать, что все пять корней уравнения z5 + z + 1 = 0 лежат в кольце 0, 5 < |z| < 2, причем имеется один вещественный корень z1 < 0 и четыре комплексных корня, по одному корню в каждом квадранте.

Указание: cм. указание к задаче 1.117.

1.119. Доказать теорему: если функции f(z) и g(z) регулярны в окрестности точки z = a, и a – простой нуль функции f(z), то в некоторой окрестности этой точки уравнение f(z) + g(z) = 0 при всяком достаточно малом | | имеет единственный корень z( ), причем z( ) = a − g(a)/f0(a) + O( 2).

1.120. Пусть F (z) = z − a − wf(z), причем функция f(z) регулярна в окрестности точки z = a. Доказать, что при достаточно малом |w| существует круг K с центром в точке a, в котором функция F (z) имеет только один нуль (простой).

1.121. Пусть z = z(w) – однозначная функция, определенная при достаточно малом |w| уравнением z − a − wf(z) = 0, функция f(z) регулярна в окрестности точки z = a и f(a) 6= 0. Доказать, что для всякой функции Φ(z), регулярной в окрестности точки z = a, при достаточно малом |w| имеет место разложение

Указание. Если C – окружность того круга K, в котором функция F (z) (см. задачу 1.120) имеет только один корень, то

Подынтегральную функцию разложить в ряд и оценить остаточный член.

17

Указание. Применить к функции Φ(z)(1 − wf0(z)) решение предыдущей задачи.

1.123. Функция z = z(w) определена в окрестности точки w = 0 равенством w = ze−az. Разложить z(w) в ряд по степеням w.

1.124. Разложить по степеням w функцию z = z(w), определенную в окрестности точки w = 0

уравнением Кеплера z − a = w sin z, где a 6= 0, ±π, ±2π, ...

1.1.8Разложение функций в ряды простых дробей и в бесконечные произведения

Функция называется мероморфной в области D, если она не имеет в этой области особых точек, отличных от полюсов. Функция, мероморфная во всей конечной плоскости, называется для краткости

мероморфной функцией.

Пусть f(z) – мероморфная функция с простыми полюсами в точках a1, a2, ..., причем 0 < |a1| ≤

|a2| ≤ . . ., и an → ∞ при n → ∞, и пусть An = res z=an f(z). Допустим, что существует последовательность замкнутых контуров Cm такая, что:

а) на Cm нет полюсов функции f(z);

б) каждый контур Cm находится внутри Cm+1;

в) минимальное расстояние Rm от контура Cm до начала координат стремится к бесконечности при m → ∞;

г) отношение длины Lm контура Cm к Rm ограничено:

Lm ≤ B · Rm, m → ∞;

д) функция f(z) ограничена на всех контурах:

|f(z)| ≤ Const, z Cm, m → ∞.

Тогда имеет место разложение функции на простейшие дроби:

Ряд сходится равномерно во всякой замкнутой области, не содержащей полюсов функции f(z), если под знаком суммы сгруппировать слагаемые, относящиеся к полюсам, заключенным между Cm и

Cm+1.

Функция f(z) называется целой, если она регулярна на всей конечной плоскости. Обозначим через W (z) логарифмическую производную функции f(z):

W (z) = (ln f(z))0 = f0(z).

f(z)

Очевидно, W (z) – функция мероморфная, причем каждый нуль функции f(z) является простым полюсом функции W (z).

Если W (z) удовлетворяет условиям (а) – (д) разложения мероморфной функции на простые дроби, то из этого разложения интегрированием получается разложение целой функции f(z) в бесконечное

18