Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Оптика

Файл:

[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 13

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.08.2013

Размер:

153.01 Кб

Скачать

☆

Факультатив. Условие равенства в неравенстве ω t ≥ 1 .

Равенство достигается только для светового импульса гауссовой формы:

E(t)= E0 e−α t2 cos(ω0 t),

то есть когда огибающая импульса является гауссовой кривой E0 e−α t2 .

Чтобы убедиться в равенстве

t =

нужно вычислить

ω и

t ,

которые в свою очередь выражаются через

ω ,

ω2

t , t2

. А

эти

величины

выражаются

через спектральную плотность интенсивности Iω и

через зависимость интенсивности от времени I (t).

---------

Найдем

t .

Интенсивность пропорциональна квадрату амплитуды, тогда:

I (t)=

E2 (t)

(E0e−αt cos(ω0t))

(E0e−αt

cos2 (ω0t) =

4πµ

(E0e−αt )2 =

E02 e−2αt2

= I0 e−2αt2 .

8πµ

I (t)= I0 e−2αt2

Тогда

+∞

∫ t I (t) dt

∫ t I0e−2αt2 dt

t =

−∞

= 0 .

+∞

I0e−2αt2 dt

(t) dt

∫

2α

−∞

Аналогично

+∞

I (t) dt

+∞

−2αt

∫ t

∫

I0e

2 (

2α )

t2 =

−∞

+∞

(t) dt

+∞

0e−2αt2 dt

4α

∫

2α

−∞

Тогда

t = t2 − t 2 =

− 0 =

4α

---------

Найдем теперь ширину спектра светового импульса

ω .

E(t)= E0e−αt2 cos(ω0t)= E0e−αt2 eiω0t + e−iω0t — световой импульс. Тогда 2

Фурье образ напряженности светового поля будет иметь вид:

E (ω) =

+∞ E(t) eiω tdt =

+∞ E e−αt2

eiω0t + e−iω0t

eiω tdt =

∫

−∞

+∞

∫ e−αt2 +i(ω+ω0 )tdt +

∫ e−αt2 +i(ω−ω0 )tdt =

2π

−∞

(ω+ω0 )2

(ω+ω

)t−(ω+ω0 )

+∞

−α t2

−

4α

∫

2π

−∞

(ω−ω0 )2

(ω−ω

)t−(ω−ω0 )

+∞

−α t2

−

4α

∫

dt =

2π

−∞

ω+ω

ω−ω

−(

0 )

+∞

−α t−

(ω+ω0 )

−(

0 )

+∞ −α t−

(ω−ω0 )

2α

4α

∫ e

dt +

4α

∫ e

dt =

2π

−∞

2π

−∞

−

(ω+ω0 )2

−

(ω−ω0 )2

4α

2π

α +

2π

−

(ω+ω0 )2

−

(ω−ω0 )2

4α

+ e

πα

Из этих двух слагаемых одно можно отбросить. Дело в том, что частоты ω и ω0 положительные, и нас интересует случай, когда спектральная плотность интенсивности около нулевой частоты очень мала. Эти условия эквивалентны неравенству ω02 >>α . В таком случае второе слагаемое может иметь порядок единицы при условии ω ≈ ω0 , а первое слагаемое всегда много меньше единицы, и его можно отбросить. Тогда

	(ω) =	E0		−	(ω−ω0 )2
				−	4α
E0			e		4α	— Фурье образ светового импульса гауссовой

		πα
	2	πα

формы, как функции времени, имеет гауссову форму, как функция частоты. Откуда можно найти спектр светового импульса:

(ω)

2 =

cnE02

e−

(ω−ω0 )2

2α , который тоже имеет гауссову

форму.

8πµ

32π 2µα

Средняя частота светового импульса, как следует из его симметрии, равна ω0 , и ее можно не вычислять. Тем не менее вычислим ее:

+∞

cnE02

e−

(ω−ω0 )2

∫

ω Iωdω

∫

ω Iωdω

∫

2α dω

32π 2µα

ω =

≈

−∞

+∞

cnE2

−(ω−ω0 )

+∞

∫

dω

∫

dω

∫

2α dω

−∞

−∞ 32π µα

+∞

(ω−ω0 )2

∫ ω e−

2α

dω

−∞

= ω0

2πα

= ω .

+∞

−

(ω−ω0 )2

2πα

∫

2α

dω

−∞

В данном случае ширину светового импульса в шкале часто проще

вычислить

по

формуле

ω =

(ω − ω )2

не по

формуле

ω = ω2

− ω 2 . Тогда

+∞

(ω − ω )2 = (ω −ω0 )2 =

∫ (ω − ω0 )2 Iωdω ∫ (ω −ω0 )2 Iωdω

≈

−∞

+∞

∫

Iωdω

∫ Iωdω

−∞

+∞

cnE2

−

(ω−ω0 )2

∫ (ω −ω0 )

2α dω

32π 2µα

−∞

+∞

−

(ω−ω0 )2

∫

cnE0

2α

dω

−∞

32π µα

+∞

−

(ω−ω0 )2

+∞

−

ω2

∫ (ω −ω0 )

2α dω

∫ ω2 e 2α dω

(2α )

−∞

= α .

(ω

−ω0 )2

ω2

+∞

2πα

∫ e−

2α dω

∫ e−

2α dω

−∞

Тогда

(ω − ω )2 =

ω =

---------

	1		=	1
И, наконец ω t = α					. Равенство доказано.

	α
2		2

Факультатив. Соотношение неопределенности Гейзенберга.

Рассмотрим соотношение неопределенности частоты и времени в сочетании с выражением для энергии фотона:

ω	t ≥	1
ω	t ≥
	2 .

E = hν = ω
Умножим первое равенство на ≡			h	и с учетом второго равенства
Умножим первое равенство на ≡			2π	и с учетом второго равенства
			2π
получим:
E	t ≥	— соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии и
E	t ≥	— соотношение неопределенности Гейзенберга для энергии и
	2
времени, справедливое как для фотона, так и любой другой частицы.

Это соотношение означает, что нельзя одновременно знать и время возможной регистрации фотона, и ожидаемую энергию фотона при его регистрации.

Чем точнее будет известно время регистрации фотона, тем больше неопределенность в энергии фотона. Это следует из того, что для точного определения момента необходимо, чтобы световой импульс был коротким. При этом спектр импульса автоматически, на основе свойств преобразования Фурье, оказывается широким. Энергия фотона пропорциональна частоте, поэтому и энергия фотона, который можно зарегистрировать, оказывается в состоянии с большой неопределенностью.

---------

Заметим, что аналогичное соотношение неопределенности можно написать для координаты и импульса. При этом нужно рассмотреть свет не в одной пространственной точке во все моменты времени, а во всем пространстве в один момент времени.

Любую волну можно представить, как суперпозицию плоских волн.

Рассмотрим выражение для фазы плоской волны любой природы:

ϕ = (k,r )−ω t + ϕ0 = kxx + ky y + kzz −ω t +ϕ0.

В это выражение произведение −ω t входит, также как и произведение kxx. Если свойства преобразования Фурье по временной координате t приводят к соотношению

ω t ≥ 1 , то 2

преобразование Фурье по пространственной координате x приведет к соотношению

kx x ≥ 1 . 2

Умножим это соотношение на и получим

( kx ) x ≥	.
( kx ) x ≥	.
2
Рассмотрим импульс фотона
		mc2		E		ω	ω
p = mV = mc =			=		=		=	= k	=> p = k	=>
p = mV = mc =			=		=		=	= k	=> p = k	=>
		c		c		c	c

px = kx .

Тогда соотношение неопределенности для x координаты примет вид:

px x ≥ — это тоже соотношение неопределенности Гейзенберга 2

только для координаты и проекции импульса.

Это соотношение справедливо не только для фотона, но и для любой другой частицы, так как согласно квантовой механике каждая частица одновременно является волной.

Факультатив. Разложение светового поля по плоским монохроматическим волнам.

До этого момента мы раскладывали свет по частотам только в одной пространственной точке.

Аналогично в один момент времени световое поле можно разложить по

2π пространственным циклическим частотам kx,ky,kz , где k = λ — волновое

число или длина волнового вектора.

Сначала, как обычно, разложим вещественное световое поле в каждой точке r по частотам ω обоих знаков:

E(t,r )=		1	+∞
		1		E0 (ω,r ) e−iω tdω .
		2 −∞∫		E0 (ω,r ) e−iω tdω .
		2 −∞∫				E (ω,r )
Фурье амплитуду						E (ω,r )	светового		поля	разложим по
						0
пространственным частотам:

E0	(ω,r )= ∫∫∫E00				(ω,k ) ei(kxx+ky y+kzz)dkxdkydkz				=>

E0	(ω,r )= ∫∫∫E00				(ω,k ) ei(k,r )dk ,		где	принято		обозначение

dk ≡ dkxdkydkz .

Объединяя оба разложения, получим

	1	+∞						−ω t)
E(t,r )=		−∞∫	dω	∫∫∫	dk	E00	(ω,k ) ei(k,r

2						−ω t)


Здесь E00		(ω,k ) ei(k,r					— плоская монохроматическая волна.

Любую функцию E(t,r ) можно представить в виде суперпозиции

плоских монохроматических волн, даже если эта функция не удовлетворяет волновому уравнению.

Разложение любой функции — это плоские волны с любыми фазовыми

скоростями Vф = ω . k

Разложение решения волнового уравнения — плоские волны с одной и

той же фазовой скоростью Vф = ω , которая входит в волновое уравнение в виде k

1 коэффициента . Это подробнее обсуждалось нами на первой лекции.

Vф2

Для световых волн V

= ω =

ω =

Следовательно, E00 (ω,k )= 0 при ω ≠

Тогда E00

(ω,k )~ δ ω

−

, где δ (x) — дельта функция Дирака.

С учетом того, что мы рассматриваем разложение по частотам ω обоих

знаков, E00 (ω,k ) будет иметь следующий вид:

E00

(ω,k )

= δ ω −

E1(k )

+δ ω +

(k ), где

k > 0

— волновое

число.

Из вещественности светового поля E

(t,r ) следует

(

−ω,r )

= E0*(ω,r )

=> E00 (−ω,−k )= E00* (ω,k )

(k )= E1*(−k ), тогда

E00

(ω,k )

= δ ω −

E1(k )

+δ ω +

E1*

(−k ).

Подставим это выражение в разложение

+∞

−ω t)

E(t,r )=

∫

dω∫∫∫dk

E00 (ω,k ) ei(k,r−ω t)

= Re ∫

dω∫∫∫dk

E00 (ω,k ) ei(k,r

−∞

и, беря интеграл по положительным частотам, получим

E(t,r )= Re∫∫∫E1

(k ) ei(k,r−ω t) dk , где E1(k )

следует искать из

E00

(ω,k )

= δ ω − k

(k )+δ ω + k

E1*(−k ), где E00

(ω,k ) из

				+∞
		1	1		dt ∫∫∫dr E(t,r ) e−i(k,r−ω t) .
E00	(ω,k )=			−∞∫
		π	(2π )3

Интерференция.

Экзамен. Явление интерференции. Ширина полос. Видность.

Волны интерферируют, если интенсивность суммарной волны не равна сумме интенсивностей:

I ≠ ∑Im .

Рассмотрим свет, в разложении которого есть несколько частот. Всегда можно выбрать такую малую частоту, что рассматриваемые частоты с хорошей точностью окажутся кратными этой малой частоте. Тогда свет нескольких частот можно рассматривать, как компоненты ряда Фурье.

Для ряда Фурье справедливо равенство I = ∑Im . Следовательно, считая,

m
что усреднение в определении интенсивности I =	cn	E2 (t)	проводится за
	4πµ
			t

бесконечное время, получим утверждение.

Световые волны разных частот не интерферируют.

---------

При наблюдении интерференции подразумевается, что складываются почти однонаправленные световые волны, иначе не имеет смысла понятие интенсивности.

Интерференцию наблюдают на экране, который ставят почти перпендикулярно лучам.

На экране образуются светлые и темные полосы.

Ширина интерференционных полос — расстояние между центрами соседних светлых полос.

---------


V ≡	Imax − Imin		— определение видности интерференционной картины.

	Imax + Imin
Здесь Imax		— интенсивность в максимуме интенсивности светлой полосы (в
центре светлой полосы),				Imin — интенсивность в минимуме интенсивности
темной полосы.
0 ≤ Imin ≤ Imax				=>
0 ≤V ≤1.
V = 0		<=>		Imax = Imin	—	отсутствие интерференционных
полос.
V =1		<=>		Imin = 0	—	максимальный	контраст

интерференционных полос.

Экзамен. Интенсивность света при сложении двух световых волн ортогональных поляризаций.

Две поляризации света считаются ортогональными по определению, если

единичные векторы поляризаций ортогональны:

(ep1,ep2 )= 0.

Например,

для

света,

направленного

вдоль

оси z,

ортогональны

поляризации по декартовым осям

(ex,ey )= 0,

ортогональны и две круговые поляризации

(e+,e− ) = 0, где

+ ie

, где

e+ — единичный вектор левой круговой поляризации,

= ex

− iey

−

e− — единичный вектор правой круговой поляризации.

---------

Выразим интенсивность света через комплексную амплитуду света E0:

I =

E2 (t)

E02

2 =

(E0,E0 ).

4πµ

8πµ

Рассмотрим две световые волны, распространяющиеся в одном

направлении k :

i(k,r

−ω t)

i(k,r−ω t)

E(t)= E e e

+ E e

01 p1

= (E01ep1 + E02ep2 ) ei(k,r−ω t) = E0epei(k,r−ω t) = E0ei(k,r−ω t).

Подставим

выражение

I =

(E0,E0 )

для

интенсивности

8πµ

комплексную амплитуду в виде E

= E

+ E e

и получим:

01 p1

(E01ep1 + E02ep2,E01ep1

+ E02ep2 )=

I =

(E0,E0 )=

8πµ

{E01E01* (ep1,ep1)+ E01E02* (ep1,ep2 )+ E02E01* (ep2,ep1)+ E02E02* (ep2,e

Учтем, что поляризации ортогональны (ep1,ep2 )= 0 и получим:

I =

(

)

+ E E

(

)

= I

E E

8πµ {

p2 }

(

)

01 01

02 02

8πµ

p2 )}.

+ I2

=> I = I1 + I2

Ортогональные поляризации не интерферируют.

Экзамен. Интенсивность света при сложении двух световых волн одинаковой поляризации, как функция разности фаз.

Мы докажем формулу для интенсивности суммарной волны в случае линейной поляризации света. Для любой другой поляризации формула будет такой же.

Рассмотрим две световые волны в одной и той же пространственной точке:

E1(t) = E01cos(ω t + ϕ1)

E2 (t) = E02 cos(ω t +ϕ2 ).

Напряженность суммарного светового поля равна сумме напряженностей двух световых полей:

E(t) = E1(t) + E2 (t) = E01cos(ω t +ϕ1) + E02 cos(ωt +ϕ2 ).

Подставим это в выражение для интенсивности света

I =

E2 (t)

(E1(t)+ E2 (t))2

4πµ

(t) + 2 E

(t)E

(t)

+ E2

(t)

4πµ

и получим

{E012

cos2 (ω t +ϕ1)

+ 2E01E02

cos(ωt +ϕ1) cos(ωt +ϕ2 ) t}+

4πµ

{E022

cos2 (ωt +ϕ2 ) }=

4πµ

+ E

cos(2ω t +ϕ +ϕ

)+ cos(ϕ −ϕ

)

+ E2

4πµ

+ E

E cos(ϕ −ϕ

)+ E2

4πµ

=8cnπµ (E012 + E022 + 2E01E02 cos(ϕ1 −ϕ2 ))=

=I1 + I2 + 2I1I2 cos(ϕ1 −ϕ2 ).

Окончательно получаем:

I = I1 + I2 + 2		cos(	ϕ ),
	I1I2
где ϕ —	разность		фаз интерферирующих волн с одинаковой

поляризацией и с интенсивностями I1 и I2 .

Часто интенсивность суммарной световой волны выражают через оптическую разность хода, которая связана с разностью фаз соотношением

= λ 2π . Тогда

I = I1 + I2	+ 2		cos	2π	.
		I1I2
					λ

Соседние файлы в папке [ Крылов ] Печатные лекции

#
22.08.2013145.16 Кб43Лекция 08.pdf
#
22.08.2013173.79 Кб47Лекция 09.pdf
#
22.08.2013176.32 Кб45Лекция 10.pdf
#
22.08.2013172.27 Кб42Лекция 11.pdf
#
22.08.2013173.63 Кб40Лекция 12.pdf
#
22.08.2013153.01 Кб40Лекция 13.pdf
#
22.08.2013178.34 Кб51Лекция 14.pdf
#
22.08.2013153.35 Кб47Лекция 15.pdf
#
22.08.2013176.64 Кб44Лекция 16.pdf
#
22.08.2013201.32 Кб41Лекция 17.pdf
#
22.08.2013158.6 Кб41Лекция 18.pdf