[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 01

Факультатив. Введение.

Лектор — Крылов Игорь Ратмирович, комната Б101 физического факультета СПбГУ.

Рабочий телефон: (812-)428-44-66. Интернет страница: igor-krylov.narod.ru Электронная почта: igor-krylov@yandex.ru

В середине семестра — коллоквиум, в конце семестра — экзамен. Вход-выход — свободный, на лекции можно приносить чай, кофе и еду. Вопросы, замечания, возражения — по ходу лекций.

Изложение материала лекций будет в системе единиц СГС Гаусса, некоторые формулы факультативно будут и в системе СИ.

Литература.

1.Е. И. Бутиков. Оптика: учебное пособие для студентов физических специальностей вузов. — СПб.: Невский Диалект; БХВ — Петербург, 2003, 480с.

2.М. Борн, Э. Вольф. Основы оптики. — М.: Наука, 1973, 720с.

3.Г. С. Ландсберг. Оптика. (факультативно).

4.И. Р. Крылов. Методические указания к решению задач по оптике. (факультативно).

Факультатив. Оптика.

Оптика — это наука о свете. Свет — это электромагнитные волны. Волны могут быть разных частот и соответствующих им длин волн. Совокупность световых волн разных частот — это спектр света. В узком смысле свет — это волны видимого диапазона спектра с длинами волн от 0.4 мкм до 0.7 мкм, где 1мкм=10−6 м.

Оптика заметно отличается от других разделов общей физики тем, что оптика — это сугубо прикладной раздел. Вся классическая оптика — это частные случаи применения системы уравнений Максвелла. Если курс электричества строится по пути от экспериментальных законов к общим уравнениям, то оптика — наоборот, от общих уравнений к частным явлениям.

Врезультате содержание оптики — это оптические методы подходов к задачам, которые состоят в различных упрощениях уравнений Максвелла, и оптические явления, которые интерпретируются на основе этих упрощений.

---------

Воптическом диапазоне частот магнитная проницаемость любой

среды близка к магнитной проницаемости вакуума, для которого =1. Поэтому в оптических формулах обычно просто отсутствует. Мы будем стараться оставлять сомножитель , когда это будет возможно. Магнитная проницаемость — это коэффициент пропорциональности между магнитной

индукцией B и напряженностью магнитного поля H B = H .

Причина равенства µ =1 заключается в отсутствии парамагнетизма для переменного магнитного поля оптической частоты. Дело в том, что магнитные диполи атомов не успевают поворачиваться за магнитным полем, если оно изменяется с оптической частотой. Характерное время поворота диполя — это время между двумя столкновениями атомов. Под действием только магнитного поля угол между направлением магнитного диполя атома и направлением самого магнитного поля не изменяется, так как магнитное поле приводит к ларморовской прецессии магнитного диполя вокруг магнитного поля. Изменение угла между диполем и полем происходит только во время столкновений атомов. В ферромагнетиках изменение ориентации домена возможно только на еще более низких частотах. В диамагнетиках близко к единице, и его отличие от единицы можно не учитывать.

Факультатив. Световые волны в прозрачной изотропной среде.

В качестве первого варианта упрощения уравнений Максвелла рассмотрим световые волны в прозрачной изотропной среде. Вакуум можно рассматривать, как частный случай прозрачной изотропной среды с единичной диэлектрической проницаемостью ε и единичной магнитной проницаемостью.

пропорциональны в обычном смысле, так как обращаются в ноль в разные моменты времени.

Кроме того, в сильных световых полях, когда электрическое поле E световой волны сравнимо по величине с электрическим полем внутри атома

(полем между электронами и атомным ядром), связь между векторами D и E становится нелинейной. Нелинейная оптика в минимальном объеме будет рассмотрена в конце курса.

Также в минимальном объеме будут рассмотрены квантовые подходы в оптике.

Для анизотропной среды диэлектрическая проницаемость ε — матрица или тензор второго ранга, что будет подробнее рассмотрено в разделе кристаллооптики.

Будем считать, что в прозрачной среде нет свободных зарядов ρ = 0 и нет токов проводимости j = 0. Свободные заряды в оптическом поле будут кратко рассмотрены в разделе оптики плазмы.

Экзамен. Волновые уравнения для светового поля в прозрачной изотропной среде.

Венцом построения теории электромагнетизма является система уравнений Максвелла:

div( j)+ ∂∂ρt = 0. В каких-то случаях эти уравнения можно еще дополнить законом Ома — связью токов с электрическим полем j = λE .

Рассмотрим одно из уравнений системы Максвелла:

Аналогично, рассмотрев rot(rot(H )) вместо выражения rot(rot(E)), можно получить волновое уравнение для магнитного поля:

B − εµ ∂2B = 0. c2 ∂t2

Факультатив. Частные решения волнового уравнения.

Общее решение волнового уравнения можно представить, как суперпозицию его частных решений.

Основной метод поиска частных решений дифференциальных уравнений в частных производных — это метод разделения переменных.

Метод разделения переменных позволяет найти решения уравнений многих типов: волнового уравнения, уравнения теплопроводности, уравнения Шредингера в квантовой механике и других уравнений.

Рассмотрим волновое уравнение для некоторой переменной величины

A(t,r ):

A− 1 ∂2A = 0.

V 2 ∂t2

Будем искать решения этого уравнения в виде произведения двух функций:

A(t,r ) = T (t) R(r ),

одна из которых зависит только от времени, а другая — только от координат. Таких решений окажется настолько много, что нам их будет достаточно.

Любая линейная комбинация этих решений тоже будет решением, что следует из линейности уравнения относительно неизвестной функции A.

Подставим A = TR в волновое уравнение для величины A и получим:

Здесь первое слагаемое зависит только от радиус-вектора r , а второе — только от времени t . Это возможно только в том случае, если оба слагаемых равны одной и той же константе.

Обозначим эту константу, как (−k2 ), тогда

В случае, если константа (−k2 ) окажется положительной, будем считать,

что k — чисто мнимое число.

Заметим, что при рассмотрении вопроса о полном внутреннем отражении,

одна из проекций вектора k действительно окажется мнимой.

Для пространственной части решения волнового уравнения получим

R + k2R = 0 — уравнение Гельмгольца.

А для временной части получим

••

T + ω2T = 0 — уравнение гармонических колебаний, где для краткости введено обозначение ω ≡ kV .

Комплексные решения этих уравнений выглядят проще, чем вещественные решения. Поэтому обычно ищут комплексные решения, а затем рассматривают вещественную часть комплексного решения. Для линейного дифференциального уравнения с вещественными коэффициентами вещественная часть общего комплексного решения является общим вещественным решением.

Общее комплексное решение уравнения гармонических колебаний имеет

константы интегрирования.

Общее решение уравнения гармонических колебаний можно получить, как линейную комбинацию решений вида:

T = T0 e−iω t , где ω принимает два возможных значения с одинаковым модулем, но разными знаками.

Знак минус в показателе мнимой экспоненты — это вопрос соглашения. T0 — произвольная комплексная константа интегрирования, различная для положительного и отрицательного значений ω .

Вернемся теперь к рассмотрению пространственной части решения волнового уравнения — к уравнению Гельмгольца:

R(r )+ k2R(r ) = 0.

Продолжим поиск частных решений волнового уравнения методом разделения переменных. Будем теперь искать решение уравнения Гельмгольца методом разделение переменных в декартовых координатах. Ищем решение уравнения Гельмгольца для пространственной части решения волнового уравнения в виде произведения трех функций, каждая из которых зависит

только от одной пространственной координаты:

R(r ) = X (x) Y (y) Z (z).

Подставим R = XYZ в уравнение Гельмгольца и получим:

Вынесем за знак производной по x -координате функции Y и Z , величины которых не зависят от переменной x . Аналогично поступим с производными по y и z. Тогда получим:

X ''YZ + XY ''Z + XYZ ''+ k2XYZ = 0,

где двумя штрихами обозначена вторая производная в каждом случае по своей переменной величине.

Разделим это равенство на произведение функций XYZ и получим

X '' + Y '' + Z '' = −k2 ,

X Y Z

где первое слагаемое зависит только от x -координаты, второе — только от y , третье — только от z. Это возможно только в том случае, если каждое из

гармонических колебаний только не от времени, а от пространственной координаты x .

X = X01eikxx + X02e−ikxx — общее комплексное решение этого уравнения. Общее решение уравнения гармонических колебаний можно получить,

как линейную комбинацию решений вида:

X = X0 eikxx, где kx принимает два возможных значения с одинаковым модулем, но разными знаками. То, что выбрано слагаемое без минуса в экспоненте — это вопрос соглашения.

Аналогично:

Подставим X , Y , Z в R и получим:

R= XYZ = X0 eikxx Y0 eiky y Z0 eikzz =

=X0Y0Z0 eikxxeiky yeikz z = R0 ei(kxx+ky y+kzz) = R0 ei(k,r ) = R0 eik,r

— это частное решение уравнения Гельмгольца.

где A0 — произвольная комплексная константа интегрирования.

A = A0 ei(k,r −ω t) — частное решение волнового уравнения в виде плоских монохроматических волн.

То, что эта волна плоская, будет видно из анализа решения в последующих вопросах. Монохроматическая волна — это волна, в каждой пространственной точке которой колебания происходят только на одной частоте ω . Напомним, что величины k и ω не являются независимыми, так как

Возникает вопрос. Можно ли любое решение волнового уравнения разложить по плоским монохроматическим волнам? Можно ли считать, что произвольная суперпозиция плоских монохроматических волн является общим решением волнового уравнения? Ответ — и да и нет одновременно.

С одной стороны, для любой функции координат и времени можно рассмотреть четырехмерное преобразование Фурье по трем пространственным координатам и времени. В результате этого преобразования получаются амплитуды разложения любой функции по плоским монохроматическим волнам. Для этого даже не требуется, чтобы функция координат и времени была бы решением волнового уравнения.

Если произвольную функцию координат и времени представить, как суперпозицию плоских монохроматических волн, то в разложении будут присутствовать плоские монохроматические волны, распространяющиеся с любыми скоростями.

Рассмотрим некоторое решение волнового уравнения, которое с помощью четырехмерного преобразования Фурье может быть представлено в виде суперпозиции плоских монохроматических волн. Оказывается, что среди

этих волн могут быть только такие волны, для которых ω = V , то есть такие

Доказать это можно методом "от противного". Предположим, что в разложении решения волнового уравнения по плоским монохроматическим

решение волнового уравнения, в разложении которого по нашему предположению есть плоские монохроматические волны со скоростями отличными от V . С одной стороны, результат действия волнового оператора на решение волнового уравнения равен нулю по определению того, что такое решение волнового уравнения. С другой стороны, воздействие оператора

1∂2

−2 ∂t2 на разложение решения по плоским монохроматическим волнам

равно сумме воздействий на каждую из плоских монохроматических волн разложения. Если в разложении содержатся плоские волны с другими скоростями V ' ≠V , то, как показано выше, результат воздействия на каждую из этих волн отличен от нуля и равен той же плоской монохроматической волне с некоторым коэффициентом.

Таким образом, предполагая в разложении решения волнового равнения по плоским монохроматическим волнам наличие волн со скоростями

на решение волнового уравнения. Получающееся равенство представляет собой разложение нуля по плоским монохроматическим волнам. Из единственности Фурье-разложения следует, что все коэффициенты разложения обязаны быть равны нулю. Таким образом, доказано, что в разложении решения волнового уравнения по плоским монохроматическим волнам не может быть волн со скоростями отличными от V .

Казалось бы, разложение по плоским монохроматическим волнам со скоростью V представляет собой общее решение волнового уравнения. Однако математики с этим не согласятся.

Дело в том, что интегралы Фурье для определения амплитуд плоских монохроматических волн в разложении решения волнового уравнения могут расходиться. Такие затруднения возникают только в том случае, когда решение плохо ведет себя на бесконечности. Следовательно, не любое решение волнового уравнения можно разложить по плоским монохроматическим волнам, и суперпозиция плоских монохроматических волн не является общим решением волнового уравнения в строгом математическом смысле.

Так функция A(t,r ) = t является решением волнового уравнения, но не

может быть разложена по плоским монохроматическим волнам, потому что интеграл Фурье от этой функции по времени расходится на бесконечности. Аналогично не может быть разложена функция A(t,r ) = txyz .

Окончательно можно сделать вывод, что суперпозиция плоских монохроматических волн со скоростью V является общим решением волнового уравнения только на множестве физически осмысленных функций координат и времени, для которых сходятся интегралы Фурье.

---------

Есть еще одна причина, по которой плоские монохроматические волны играют большую роль в оптике.

Взаимодействие любой световой волны с веществом с хорошей точностью такое же, как и взаимодействие плоской световой волны. Это справедливо в том случае, если радиусы кривизны поверхности равных фаз световой волны достаточно велики. Велики по сравнению с чем? Единственным таким параметром для вещества является размер атома. Характерный размер атома составляет десятые доли нанометра, что в тысячу раз меньше длины волны света, а саму длину волны света в оптике обычно рассматривают, как малый параметр по сравнению с геометрическими размерами предметов.

Другими словами, если рассмотреть объем, линейные размеры которого гораздо меньше радиусов кривизны поверхности равных фаз, то в этом объеме волну можно считать почти плоской.

Это позволяет рассматривать отражение, преломление, поглощение и рассеяние света на примере плоской световой волны, так как всегда можно