[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 12

Спектр света.

Спектр света — это цветные изображения входной щели спектрометра в плоскости объектива. Спектр света не совпадает с Фурье образом электрического поля.

Экзамен. Диапазоны электромагнитных волн и источники излучения.

Для волны любой природы произведение длины волны на частоту равно фазовой скорости волны: λν = C . С 1983 года значение скорости света в вакууме постулируется: C ≡ 299792458 м/с, что позволяет иметь единый эталон для длины и времени.

Электромагнитные волны делятся на диапазоны в зависимости от длины волны λ или от частоты ν .

Разделение на диапазоны приблизительно определяется типами источников излучения. Для любых источников электромагнитное излучение возникает только при ускоренном движении заряженных частиц.

Рассмотрим диапазоны, начиная с самых больших длин волн. Низкие или промышленные частоты.

λ > 3км ν <100кГц Источники — паразитное излучение промышленных электроустановок:

электродвигатели, электрогенераторы.

Источники — штыревые антенны.

Простейшая антенна — два штыря и коаксиальный кабель. Микроволновой или СВЧ диапазон.

СВЧ — сверх высокие частоты.

1мм < λ < 1м 300МГц <ν < 300ГГц Источники — магнетроны, клистроны — объемные полые металлические

резонаторы.

Передача от источника к антенне производится по полому волноводу. Антенна со сферическим отражателем — спутниковая тарелка. Телевещание, радиолокация.

Инфракрасный свет. ИК излучение. 0.7мкм < λ < 1мм.

Частоту в этом диапазоне часто измеряют в обратных сантиметрах: 1см-1 ≡ 30ГГц. Частота 1см-1 соответствует излучению с длиной волны 1см.

10см-1 = 300ГГц <ν < 14000см-1 ≈ 430ТГц.

Источники — излучение молекул при возбуждении колебания или вращения молекулы — вращательные и колебательные спектры молекул.

Видимый свет. 0.4мкм < λ < 0.7мкм.

Коротковолновая граница — фиолетовый свет, длинноволновая граница

— красный свет.

Вместо частот обычно говорят об энергии кванта света E = Hν . Энергию обычно выражают в электрон-вольтах — это энергия, которую приобретает электрон, пролетая напряжение в 1 Вольт. Энергия кванта света 1эВ =

1.8эВ < Hν < 3.1эВ

Источники — излучение атомов и молекул при возбуждении их электронных оболочек.

Ультрафиолетовый свет.

5нм < λ < 0.4мкм 3.1эВ < Hν < 250эВ

Источники — излучение атомов и ионов при возбуждении их электронных оболочек, рекомбинация положительных ионов и электронов.

Источники — излучение атома после выбивания электрона внутренних электронных оболочек и тормозное излучение в металле электронов, ускоренных электрическим напряжением — рентгеновская трубка.

излучение в ускорителях элементарных частиц при взаимодействии ускоренной частицы с мишенью, излучение при взаимных превращениях элементарных частиц, космическое излучение.

Для сравнения энергия покоя электрона: 511кэВ. Так при аннигиляции электрона и позитрона происходит излучение двух γ квантов с соответствующей энергией.

Экзамен. Разложение светового поля по частотам.

Рассмотрим вещественную напряженность светового поля E(T) в одной

пространственной точке.

Прямое и обратное преобразование Фурье имеет следующий вид:

разделен на два сомножителя в интегралах произвольным образом.

Это равенство можно рассматривать, как Фурье разложение по частотам нуля, который стоит в правой части равенства. Из единственности разложения по частотам следует, что Фурье образ нуля должен быть тождественно нулем,

То есть, Фурье образ поля E(T) на отрицательных частотах может быть

выражен, как комплексно сопряженная величина к Фурье образу на положительных частотах. Тогда Фурье интеграл по всем частотам можно выразить через Фурье интеграл только по положительным частотам.

так как при сложении комплексно сопряженных величин вещественная часть удваивается, а мнимая сокращается. Тогда

световых полей.

Величина E0 (ω) показывает, сколько в поле E(T) содержится сигнала с частотой ω .

Преобразование Фурье позволяет представлять световое поле E(T) в

одной точке пространства, как суперпозицию гармонических колебаний разных частот.

Экзамен. Ряды Фурье для светового поля.

Обычно мы не знаем величину электрического поля на бесконечном интервале времени.

Допустим, нам известно поле E(T) на промежутке времени T .

В таком случае за пределами известного интервала времени T либо считают поле E(T) равным нулю, либо считают, что поле периодически повторяется с периодом T . Пусть поле E(T) — периодическая функция времени. Тогда ее можно разложить в ряд Фурье по кратным частотам.

Аналогично интегралу Фурье из вещественности поля E(T) следует, что

амплитуды разложения по отрицательным частотам должны быть комплексно сопряженными амплитудам на положительных частотах

В результате можно получить разложение поля как по частотам обоих знаков, так и только по положительным частотам:

Здесь EM — комплексная амплитуда светового поля на частоте ωM . Рассмотрим отдельно левое равенство

T

Если на равенство подействовать оператором ∫i EIωKTDT , где вместо точки

0

i нужно подставить левую и правую части равенства, то все слагаемые в правой части равенства кроме K -ого слагаемого обнуляются в результате интегрирования. Откуда получаем амплитуды ряда Фурье

Экзамен. Спектральная плотность интенсивности света и ее связь с интенсивностью. Спектр света.

Выразим интенсивность света через среднее значение квадрата напряженности, а напряженность подставим в виде ряда Фурье.

Вынесем комплексные экспоненты за знак скалярного произведения и получим

— комплексное число единичной длины, которое вращается на комплексной плоскости с угловой скоростью ωK − ωM . Если же частоты

выразить, как сумму интенсивностей по всем положительным частотам:

+∞

I = ∑ IM .

M=0

Аналогичную формулу можно доказать, хотя и с некоторыми затруднениями на бесконечностях, и для интеграла Фурье вместо ряда Фурье и

получить:

+∞

I = ∫ IωDω ,

Величина Iω называется спектральной плотностью интенсивности или просто спектром света.

Напомним, что E0 (ω) — Фурье образ светового поля E(T), но не спектр

света.

Iω — спектр света в том смысле, что идеальный спектрометр, например, призменный регистрирует именно Iω , а не E0 (ω), тем более что Iω —

вещественная функция ω , а E0 (ω) — комплексная векторная функция.

Факультатив. Теорема Парсеваля.

Рассмотрим интенсивность, изменяющуюся во времени. Тогда:

Парсеваля, хотя правильнее было бы сказать, что это равенство — следствие гораздо более общей чисто математической теоремы Парсеваля.

Экзамен. Спектр огибающей светового импульса и спектр самого импульса.

Рассмотрим световое поле в одной пространственной точке. Пусть для простоты свет линейно поляризован. Тогда можно не следить за направлением светового поля E(T), а рассматривать только его величину.

Рассмотрим световой импульс.

Огибающая светового импульса — медленно меняющаяся амплитуда

поля.

Несущая — синусоида с частотой заполнения огибающей. Косинусоида

— это та же синусоида только со сдвигом фазы.

Световой импульс — произведение двух функций медленной огибающей и синусоиды несущей частоты.

Огибающую можно представить, как сумму нескольких синусоид, то есть в виде Фурье разложения.

Рассмотрим простейший вариант огибающей, которая состоит из одной синусоиды с частотой Ω0 :

AΩ0 cos(Ω0T).

Пусть несущая имеет оптическую частоту ω0 : cos(ω0T), где Ω0 << ω0.

Рассмотрим три спектра. 1).

Спектр огибающей, который в рассматриваемом случае состоит из одной спектральной линии.

2).

Спектр огибающей в частотах обоих знаков. При этом на каждую из этих двух частот приходится половина всей интенсивности.

3).

Спектр светового импульса представляет собой спектр огибающей обоих знаков, сдвинутый на частоту несущей ω0 . Интенсивности линий спектра становятся еще вдвое меньше.

Причина еще одного коэффициента 1 вызвана тем, что световой импульс 2

в сравнении с огибающей имеет сомножитель cos(ω0T), а интенсивность при

Среднее значение квадрата косинуса равно половине, так как сумма квадратов синуса и косинуса равна единице, а косинус отличается от синуса

только сдвигом фазы на π . 2

---------

Обсудим теперь огибающую светового импульса, в спектре которой содержится несколько частот, например две:

.

Спектр огибающей в частотах обоих знаков будет иметь вдвое меньшие интенсивности:

.

Спектр светового импульса будет подобен спектру огибающей, но еще вдвое ниже и сдвинут на частоту несущей: