[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 02

Факультатив. Обычно групповая скорость меньше фазовой скорости.

Экзамен. Поперечность световых волн.

Рассмотрим дифференциальное уравнение Возьмем от него производную и получим Общее решение второго уравнения имеет вид:

Не все решения второго уравнения являются решениями первого уравнения. Лишние решения появились в результате дифференцирования первого уравнения, так как при этом часть информации о решениях была утеряна.

Вернемся к рассмотрению волнового уравнения.

Волновое уравнение для вектора E было получено в результате дифференцирования, то есть применения операции rot( ), к одному из

уравнений системы Максвелла. Следовательно, не все решения волнового уравнения являются решениями системы уравнений Максвелла.

Далее сначала приводится не вполне корректное доказательство поперечности световых волн, а затем факультативно более строгое доказательство.

Подставим решение волнового уравнения для векторов E и B в виде плоских волн в уравнения Максвелла и проверим, являются ли они решениями уравнений Максвелла.

Для нас будет важно, что оба поля зависят от координат и времени только через их комбинацию в виде (k,r −ω t). Обозначим эту комбинацию буквой

ϕ= (k,r )− ω t .

ϕ— это фаза волны без учета начальной фазы, которая может оказаться различной для различных проекций векторов E(ϕ ) и B(ϕ ) в случае

комплексной величины единичного вектора поляризации ep , о котором речь

пойдет несколько позднее.

Рассмотрим производную по времени, например, от вектора E(ϕ ):

Что в операторном виде можно записать, как:

∂= −ω d .

∂t dϕ

Рассмотрим производную от вектора E(ϕ ) по x координате:

Нас интересуют электромагнитные поля на оптических частотах, а не постоянные поля, поэтому константу в правой части равенства можно считать

равной нулю (k,D)= 0.

Обсудим подробнее, почему константа равна нулю.

косинусам одной частоты ω , возможно с разными начальными фазами. Равенство kxDx + kyDy + kzDz = const можно рассматривать, как Фурье

разложение константы, стоящей в правой части равенства. Если рассмотреть Фурье разложение константы, то в нем не могут присутствовать частоты отличные от нулевой частоты, что следует из единственности Фурье разложения. В таком случае, левая и правая части равенства

Экзамен. Соотношение полей E и H в бегущей световой волне.

В вакууме:

E = B

— в каждой точке и в каждый момент времени.E B

Если хотя бы одно из двух условий не выполнено, то через эту точку в пространстве проходит не одна волна, а несколько волн в разных направлениях.

Экзамен. Интенсивность света.

Об интенсивности света говорят только либо для одной бегущей волны, либо для суммы волн, которые бегут почти в одном направлении.

По определению интенсивности:

энергии, то есть энергия, которая в единицу времени протекает через единицу площади, если площадка перпендикулярна свету.

В теории при определении интенсивности имеют в виду усреднение за бесконечное время. Однако на опыте часто говорят, что интенсивность света осциллирует во времени. В этом случае в определении интенсивности имеют в виду усреднение за время реакции приемника излучения. Ни один приемник света не успевает реагировать на каждое оптическое колебание в отдельности.

поле, а не через магнитное, так как воздействие света на вещество в основном сводится к воздействию именно электрического поля.

Интенсивность света обычно рассматривается в вакууме, в этом случае

Экзамен. Связь интенсивности света и объемной плотности энергии световой волны.

Рассмотрим свет, идущий слева направо и в начальный моменты времени находящийся в объеме цилиндра с площадью основания S и высотой V dt .

За время dt весь свет из объема цилиндра пройдет через неподвижную площадку S .

Пусть w — объемная плотность энергии; I — интенсивность света, она же плотность потока энергии. Приравняем друг другу два выражения для энергии этого света:

wS V dt = I Sdt .

Здесь слева — произведение объемной плотности энергии на объем цилиндра, а справа — интенсивность, которая равна энергии, протекающей в единицу времени через единицу площади, умноженная на Sdt .

После сокращения получаем:

I = wV .

Обсудим, какая это скорость V .

Величины объемной плотности энергии w и интенсивности I мы можем найти независимо от этого равенства. Давайте найдем их и подставим в равенство I = wV .

w = (D,E) + (B, H ) = εE2 + µH 2 8π 8π 8π 8π

В правой части равенства два слагаемых равны друг другу, так как в бегущей световой волне энергия электрического поля и энергия магнитного поля. Тогда

w = εE2

4π

правая часть равенства получена с учетом n = εµ . Выражение в правой части

равенства совпадает с выражением для фазовой скорости света Vф = c . n

Любопытно, что в равенстве I = wV в качестве скорости V оказалась фазовая Vф, а не групповая Vгр скорость, хотя, казалось бы, энергия не может

двигаться отдельно от огибающей светового импульса и обязана двигаться с групповой скоростью. Поэтому можно было ожидать, что скорость в выражении I = wV должна быть именно групповой скоростью, скоростью движения огибающей.

Тем не менее

I = wVф <=>

I = w c n

Факультатив. Почему фазовая, а не групповая скорость.

Применяя такое выражение для энергии, мы получили фазовую скорость

в выражении V = I . Если на самом деле энергия больше при той же величине w

интенсивности, то скорость окажется меньше фазовой. Скорость в точности окажется групповой. Мы не будем этого доказывать. Напомним, что Vгр <Vф .

Если свет, падающий на среду, мгновенно выключить, то окажется, что среда еще будет излучать какое-то короткое время τ ≈ (10−6 −10−9 ) секунд, но

это 105 −109 оптических колебаний.

Дело в том, что световое поле E раскачивает в среде диполи атомов. Диполи атомов, как добротные осцилляторы продолжают колебания и после выключения света. Энергия колебаний диполя спадает в e раз примерно за

105 −109 колебаний. Эта же энергия колебаний одновременно является и энергией возбужденных атомов и молекул. Дело в том, что с квантовой точки зрения осциллирующий дипольный момент у атома есть только в том случае, когда атом одновременно находится на двух уровнях энергии, связанных оптическим переходом.

вектор E лежит в плоскости x, y и может быть выражен следующим образом

E = Exex + Eyey .

Пусть Ey = 0 во все моменты времени, тогда E = Exex , то есть вектор E

все время направлен вдоль одной линии.

Такой свет называют линейно поляризованным. Эту же поляризацию называют плоской поляризацией. При этом плоскость поляризации — это

плоскость векторов E и k .

Для линейной поляризации удобно ввести единичный вектор поляризации

С учетом единичного вектора поляризации ep получаем

E = E0epei(k,r −ω t+ϕ0 ), где

E0 — вещественная амплитуда света

Факультатив. Старое определение плоскости поляризации.

плоскость векторов E и k , а перпендикулярную ей плоскость векторов B и k .

Причина в том, что поляризованный свет впервые был получен при отражении света, падающего на границу сред под углом Брюстера. Плоскостью поляризации первоначально называли плоскость падения света.

Сегодня плоскость падения связана с вектором E, так как на среду

действует именно вектор E, а не вектор B.

Экзамен. Пленочный поляризатор или поляроид.

Типичные параметры поляроидной пленки: толщина меньше или около 1 мм, поглощение одной линейной поляризации 99.9% по энергии, поглощение второй линейной поляризации около 30%.

Осью поляроида называют направление вектора E прошедшей волны. Изготовление поляроида:

В прозрачный полимерный материал (целлулоид) добавляют вещество с оптическим дихроизмом (герапатит).

Дихроизм — различное поглощение света для двух ортогональных поляризаций.

Двулучепреломление — различные показатели преломления для двух ортогональных поляризаций.

Молекулы герапатита сильно имеют вытянутую форму.

Поляроид изготавливают путем вытягивания тонкой целлулоидной пленки с примесью герапатита. Пленку вытягивают в одном направлении, при этом удлиненные молекулы герапатита поворачиваются вдоль направления вытягивания пленки. Все молекулы герапатита в вытянутой пленке направлены в одну сторону.

Пусть на пленку падает линейно поляризованный свет, в котором вектор

E направлен вдоль молекул гарапатита. Под действием электрического поля световой волны заряды внутри молекулы заметно смещаются вдоль вытянутой молекулы. Если же поляризация света перпендикулярна молекулам гарапатита, то заряды мало смещаются внутри каждой молекулы.

Когда свет сильно смещает заряды, в молекуле возникает большой наведенный светом осциллирующий на частоте света электрический дипольный момент.

Этот дипольный момент излучает, его излучение интерферирует с проходящим мимо светом. В результате интерференции уменьшается амплитуда прошедшего света. Это и есть поглощение света.

Следовательно, поляризация света, направленная вдоль вытянутых молекул герапатита, сильно поглощается. Ортогональная к ней поляризация света поглощается слабо.

Ось поляроида направлена перпендикулярно направлению вытягивания

полимерной пленки. Ось поляроида — это направление вектора E прошедшего света.

Экзамен. Поляроидные очки для стереокино.

Пусть мы собираемся фотографировать человека, стоящего перед деревом.

Сделаем снимок двумя фотоаппаратами одновременно из двух точек, разнесенных по горизонтали.

На снимке левого фотоаппарата дерево будет слева, в человек — справа. На втором снимке — наоборот.

Положим два снимка рядом и будем смотреть на них так, чтобы левым глазом видеть только снимок, снятый левым фотоаппаратом, а правым глазом

— снимок снятый правым фотоаппаратом. Тогда, чтобы увидеть двумя глазами человека, глаза нужно будет свести ближе к переносице, а чтобы увидеть дерево, глаза нужно будет развести дальше от переносицы.

В результате человек будет казаться расположенным ближе, а дерево — дальше.

На этом принципе может быть создано стереоизображение на киноэкране. Стереофильм снимают одновременно двумя разнесенными кинокамерами. Чтобы усилить стереоэффект расстояние между кинокамерами намеренно делают больше, чем расстояние между двумя глазами одного

человека.