[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 16

Экзамен. Оптический аналог опыта Брауна-Твисса. Понятие об эффекте группировки фотонов. Параметр вырождения света (продолжение).

На опыте регистрируется частота совпадений f , как функция расстояния l между двумя ФЭУ.

Оказалось, что частота совпадений f уменьшается примерно вдвое при изменении от нуля до бесконечности расстояния l между двумя приемниками света.

Причина зависимости f от l состоит в том, что в один объем когерентности пара фотонов попадает вдвое чаще, чем в разные объемы когерентности. Это связано с эффектом группировки фотонов.

Факультативная вставка.

Все элементарные частицы делятся на два больших класса: бозоны и фермионы.

Они различаются величиной спина или спинового квантового числа s , с которым жестко связан момент импульса S вращения вокруг собственной оси

частицы S = s(s +1) .

У бозонов спин целый: s =0, 1 или 2. Согласно современным теориям спин элементарной частицы не может иметь значение больше двух. Бозонами могут быть не только элементарные частицы, но и целые атомы. Примеры бозонов: фотон s =1, атом гелия s = 0, куперовская пара электронов s = 0.

Два фермиона не могут быть в одном состоянии, никто не знает почему. Два бозона, наоборот, предпочитают находиться в одном состоянии. Конец факультативной вставки.

Эффект группировки фотонов состоит в том, что фотоны предпочитают находиться в одном состоянии.

Этот эффект можно объяснить качественно.

Пусть есть три одинаково возможных состояния для двух бозонов.

Рассмотрим вероятность того, что две частицы находятся в одном состоянии, все равно в каком.

Если бы бозоны не были тождественно неразличимы, то расположить два шара в трех ящиках можно 9-ю вариантами. Благоприятных вариантов, когда два шара находятся в одном ящике все равно в каком, три.

Тогда p = 3 — вероятность того, что два шара оказываются в одном 9

ящике все равно в каком.

Перестановка тождественных бозонов не изменяет состояния системы. Поэтому для бозонов существует всего 6 вариантов расположения бозонов вместо 9-и. Следовательно,

p = 3 — вероятность того, что два бозона попадают в одно состояние все 6

равно в какое.

Рассмотрим теперь, что будет, если два бозона вбросить по очереди. Первый бозон равновероятно попадет в любое из трех эквивалентных

состояний.

Второй бозон с вероятностью 1 попадает в то же состояние, в котором 2

оказался первый бозон, так как оба бозона должны оказаться в одном состоянии с вероятностью p = 3 = 1 .

62

Тогда в каждое из двух оставшихся состояний вероятность попасть

второму бозону равна 1 . Это необходимо, чтобы сумма вероятностей была 4

равна 1.

Получилось, что для второго бозона вероятность попасть в занятое состояние вдвое больше, чем в каждое из свободных. Это и есть эффект группировки.

Новые бозоны охотнее попадают в то состояние, в котором уже есть бозоны.

На основе комбинаторики можно доказать, что вероятность pi попасть в i -е состояние связана с числом бозонов, которое уже есть в i -м состоянии соотношением:

pi ~ (ni +1).

Разная вероятность попадания тождественных частиц в занятые и свободные эквивалентные состояния приводит к изменению распределения по

энергиям, и оно становится отличным от распределения Больцмана для нетождественных частиц.

e kБT +1 фермионов.

Здесь ni — среднее число частиц в состоянии с энергией Ei при термодинамическом равновесии и температуре T ; kБ — постоянная Больцмана; — химический потенциал, который можно найти из условия нормировки:

∑ni = N , где N — общее число частиц.

i

Заметим, что в случае нулевой массы покоя бозонов, как это имеет место

быть для фотонов, оказывается, что= 0.

Для бозонов величину ni называют еще параметром вырождения.

Для фотонов одно состояние — это объем когерентности (для резонатора лазера — одна лазерная мода). То есть световое поле содержит ni фотонов в каждом объеме когерентности.

Факультативная вставка.

При температуре источника света меньше 20000 градусов, параметр вырождения света в видимом диапазоне меньше единицы.

Приемник света обычно в состоянии зарегистрировать только небольшую часть фотонов, идущих в одном объеме когерентности. В таком случае параметр вырождения фотоотсчетов приемника меньше параметра вырождения света. Подробнее смотрите книгу Дж. Гудмена "Статистическая оптика":

http://optdesign.narod.ru/book/Goodman_StatOpt_rus.djvu Конец факультативной вставки.

Для нелазерных источников света обычно параметр вырождения много меньше единицы ni <<1. Такой свет называют невырожденным.

Для лазерных источников света параметр вырождения много больше единицы ni >>1, и такое состояние света называют вырожденным.

Вернемся теперь к интерпретации оптического аналога опыта БраунаТвисса.

Свет далекой звезды — это нелазерный, невырожденный свет с малым параметром вырождения ni <<1. В таком случае пренебрежем тройными попаданиями фотонов в один объем когерентности. Будем считать, что в объеме когерентности обычно ноль фотонов, редко — один фотон и очень редко — два фотона. Вероятность попадания второго фотона в объем когерентности, в котором уже есть один фотон, вдвое больше, чем в соседний объем, в котором нет фотонов, из-за эффекта группировки фотонов.

Следовательно, когда оба приемника света находятся в пределах одного объема когерентности, число совпадений фотонов, регистрируемых двумя приемниками, примерно вдвое больше, чем когда приемники разнесены настолько, что не попадают в один объем когерентности.

Этот способ измерения угловых размеров звезд γ = λ не зависит от l

шумов атмосферы, так как объем когерентности слабо деформируется этими

c

шумами, если длина когерентности l|| = δν выбрана достаточно большой с помощью узкополосных (δν мало) светофильтров.

Экзамен. Локализация интерференционной картины на примере наблюдения интерференции с бипризмой Френеля.

Если на экране видна интерференционная картина, то она там и локализована.

С помощью линзы можно наблюдать интерференционную картину, локализованную в такой плоскости, в которую невозможно поставить экран.

Можно показать, что оптическая длина пути вдоль любого луча от точечного источника света до его изображения в линзе одна и та же. Поэтому световые волны, приходя в точку изображения разными путями, складываются синфазно и дают большую суммарную амплитуду в точке изображения. Это же свойство приводит к тому, что линза отображает интерференционную картину по законам геометрической оптики.

И действительно, пусть в какую-то точку плоскости локализации интерференционной картины, в которой нет экрана, приходят две волны в одинаковой фазе. В этой точке, если туда поставить экран, будет середина светлой интерференционной полосы. После этой точки два интерферирующих луча расходятся, но любые лучи, выходящие из этой точки, обязаны собраться в одну точку в сопряженной плоскости — плоскости изображения интерференционной картины. В эту плоскость изображения поместим экран. Оптические длины путей от точки в плоскости локализации до точки ее изображения равны. Тогда синфазные волны в точке плоскости локализации останутся синфазными и в точке изображения. Следовательно, светлая интерференционная полоса в плоскости локализации отображается в светлую же полосу в плоскости экрана. Темные полосы отображаются в темные.

---------

Рассмотрим оптическую схему с бипризмой Френеля.

За бипризмой поместим линзу и экран. Каждая половина бипризмы поворачивает свет на угол γ = (n −1)δ , где δ — малый угол в равнобедренном

треугольнике основания бипризмы. После бипризмы свет идет так, как будто это свет от двух когерентных источников.

Плоскость локализации интерференционной картины, сопряженная плоскости экрана, может находиться как после бипризмы, так и до нее. В каждой возможной плоскости локализации интерференционной картины изобразим зависимость интенсивности от вертикальной координаты.

Здесь 1, 2, 3, 4, 5 — различные возможные положения плоскости локализации интерференционной картины. Для каждой плоскости локализации положение экрана должно быть свое. На рисунке, чтобы его не загромождать, изображено одно положение экрана.

В плоскостях 1 и 5 интерференции нет. Интерференция есть только там, где преломленные бипризмой пучки лучей перекрываются.

Экзамен. Полосы равного наклона.

Рассмотрим отражение света от плоскопараллельной пластины, например, стеклянной.

Будем рассматривать двухлучевую интерференцию волн отраженных от двух граней пластины. Многолучевой интерференцией можно пренебречь, если отражение от одной грани мало.

Можно рассматривать интерференционную картину, локализованную в разных плоскостях. Два случая, один из которых рассматривается в этом вопросе, представляют особый интерес.

Полосы равного наклона — это полосы, локализованные на бесконечности.

Полосы, локализованные на бесконечности, можно наблюдать в фокальной плоскости линзы. Если экран находится в фокальной плоскости линзы, то лучи, попадающие в одну точку экрана, до экрана должны идти параллельно друг другу.

Свет источника S падает под углом α1 на плоскопараллельную пластину толщиной h и показателем преломления n. Угол преломления α2

соответствует закону преломления Снеллиуса sin(α1) = n sin(α2 ).

Лучи отраженные верхней и нижней гранями пластины идут параллельно друг другу на расстоянии a:

a = 2h tg(α2 ) cos(α1),

здесь h tg(α2 ) — горизонтальное смещение луча при прохождении от верхней до нижней грани пластины, 2h tg(α2 ) — расстояние по горизонтали

между точкой входа луча в пластину и точкой выхода из пластины после отражения от нижней грани.

Ширина d интерференционных полос на экране определяется величиной угла γ , под которым лучи сходятся на экране:

линзы, a = 2h tg(α2 ) cos(α1).

Рассмотрим апертуру интерференции или угол между лучами, выходящими из одной точки источника света, которые затем попадают в одну точку экрана. В нашем случае экран находится в фокальной плоскости линзы, тогда лучи, попадающие в одну точку экрана, до экрана были параллельны друг другу. Тогда лучи были параллельны и до отражения от двух граней плоскопараллельной пластины. Параллельные лучи, выходящие из одной точки источника, просто совпадают друг с другом. То есть апертура интерференции равна нулю β = 0.

При наблюдении полос равного наклона допустим любой размер источника света:

λ

bmax = β = ∞.

cos(α2 ) = 1− sin2 (α2 ) = 1− n12 sin2 (α1) . Факультативная вставка.

В плоскости рисунка все лучи, исходящие от разных точек источника света с одинаковым углом падения на пластину α1, идут параллельно друг другу и собираются линзой в одну точку экрана. Каждый из этих лучей, отражаясь от пластины, формирует пару параллельных лучей с одной и той же разностью хода . Если рассмотреть свет, который падает на пластину под другим углом α1, то он попадает в другую точку экрана. Каждому углу падения

образуют полосы, например, с разностью хода кратной λ — светлые полосы, поэтому интерференционные полосы на экране называются полосами равного наклона.

В отличие от плоскопараллельной пластинки при отражении от оптического клина полосы равного наклона практически не возможно наблюдать.

Чтобы оба луча попали в линзу диаметром условия:

x < D.

С другой стороны

x≈ β H

=> x ≈ 2Hδ .

β = 2δ

Тогда при больших значениях H условие x < D невыполнимо. Не возможно наблюдать полосы равного наклона при отражении от оптического клина, если источник света находится на большом расстоянии от оптического клина.

Конец факультативной вставки.

Экзамен. Полосы равной толщины.

Полосы равной толщины локализованы на поверхности плоскопараллельной пластинки. При этом подразумевается, что пластинка тонкая. Толщина пластинки много меньше расстояния от пластинки до источника света. Поскольку толщина пластинки мала, обычно не уточняют, в какой именно плоскости пластинки локализована интерференционная картина.

Рассмотрим интерференционные полосы, локализованные на верхней границе отражающей свет пластинки.

f — фокусное расстояние линзы, a и b — расстояния от пластинки до линзы

и от линзы до экрана. Тогда на экране отображается интерференционная картина, локализованная на поверхности пластинки.

λ

d = γ — ширина интерференционных полос,

λ

bmax = β — максимальный допустимый размер источника света, чтобы

интерференционные полосы не полностью смазались.

---------

Факультативная вставка.

Если посмотреть на лужу с примесью бензина, то на поверхности лужи видна радужная пленка — это полосы равной толщины, локализованные на поверхности тонкой бензиновой пленки. Роль линзы и экрана играют хрусталик глаза и его сетчатка.

Полосы видны даже в том случае, если источником света является пасмурное небо. Как это согласуется с максимальным допустимым размером

λ

источника света bmax = β ?

Дело в том, что из точки на поверхности лужи зрачок глаза виден под малым углом. Этот же угол, направленный с поверхности лужи в небо вырезает из туч или голубого неба источник света, лучи которого попадают в точку на сетчатке глаза, сопряженную с рассматриваемой точкой на поверхности лужи. Вырезаемый рассматриваемым углом источник света имеет размер меньше

λ

максимально допустимого размера bmax = β . Конец факультативной вставки.

Кольца Ньютона.

Кольца Ньютона в отраженном свете — это разновидность полос равной толщины, локализованных в области соприкосновения плоской и сферической поверхностей.

Ход интерферирующих лучей изображен на рисунке. Нас интересуют два луча. Первый из них (луч 1) отражается от сферической границы. Второй луч отражается от плоской границы и на обратном пути проходит сферическую границу через точку отражения первого луча.

Обозначим буквой y ширину зазора между плоской границей пластинки и соприкасающейся с ней сферической границей линзы. Ширина этого зазора много меньше радиуса кривизны поверхности линзы y << R. В таком случае угол между двумя поверхностями обсуждаемого воздушного зазора мал α <<1. Этот угол равен углу между двумя направлениями, одно из которых — это направление из центра кривизны сферической поверхности в точку касания сферы и плоскости. Второе направление — это направление из центра сферической поверхности в точку прохождения сферической поверхности интерферирующими лучами. Углы равны, как углы со взаимно ортогональными сторонами.

На рисунке для наглядности угол α не очень мал. В результате оказывается, что луч, отраженный от плоской границы, проходит заметно различный путь вниз и вверх в воздушном зазоре между сферической и плоской границами. Для малой величины угла α длина пути в вверх и вниз в воздушном зазоре примерно одинаковая. В таком случае разность хода рассматриваемых интерферирующих лучей с хорошей точностью равна удвоенной ширине воздушного зазора 2y :

= 2y .

Кроме того, при малой величине угла α углы отраженные двумя границами пойдут почти вертикально вверх.

Рассматривая два изображенных на рисунке пунктирных радиуса сферы и угол α между ними, получим:

Разность хода интерферирующих лучей вдвое больше ширины зазора = 2y :

=α 2R.

При отражении второго луча от плоской границы происходит отражение от оптически более плотной среды. То есть отражение происходит с потерей полуволны. С учетом потери полуволны разность хода интерферирующих

лучей:

=α 2R + λ . 2

Для темной полосы с номером m разность хода равна:

= mλ + λ . 2

Приравнивая друг другу оба выражения для разности хода, получим равенство