[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 10

Пунктирными линиями показаны асимптоты лучей при большом удалении от начала координат.

В формулах (10.1) и (10.2) величина w(z) представляет собой зависимость радиуса пучка лучей от координаты z вдоль оптической оси, w0

— радиус пучка лучей в самом узком месте, в так называемой шейке каустики при z = 0. Каустическая поверхность — это поверхность, которая получается при вращении линии луча вокруг оптической оси. Величина R(z)представляет собой зависимость радиуса кривизны гомоцентрического пучка лучей от координаты z вдоль оптической оси. ϕ (z) — фазовый сдвиг относительно

фазы плоской волны, если бы она распространялась вдоль оси z.

В формуле (10.1) для электрического поля E световой волны само поле E умышленно указано без значка вектора, так как направление вектора E различно в разных точках гауссова пучка. В каждой пространственной точке вектор E перпендикулярен лучу в этой точке.

Свойства гауссовых пучков.

1). Лучи распространяются по гиперболам, а не по прямым линиям, как того требует принцип Ферма (мы рассмотрим его чуть позднее).

2). Фазовая скорость волн в пустоте не равна универсальной константе c, так как сдвиг фаз ϕ (z) в выражении (10.1) является функцией координаты z,

что видно из третьей формулы системы (10.2). Найдем, например, фазовую скорость вдоль оси пучка при x = 0 и y = 0. Фазовую скорость можно найти из уравнения поверхности равных фаз следующим образом. Приравняем константе фазу уравнения (10.1)

x2 + y2 ( )

kz − k 2R(z) +ϕ z −ω t = const ,

с учетом условий x = 0 и y = 0 получим kz +ϕ (z)−ω t = const

Продифференцируем это уравнение по времени, считая z и ϕ функциями времени, и получим:

То есть фазовая скорость отличается от универсальной константы c.

3). Чем более узкой оказывается шейка каустики, тем больше расходимость пучка лучей.

угловой расходимости характерна для дифракции на препятствии размером 2w0 , например для дифракции на отверстии диаметром 2w0 .

4). Шейка каустики не отображается линзой по законам геометрической оптики. Это необходимо учитывать при попытке сфокусировать лазерное излучение.

На практике при попытке сфокусировать лазерное излучение возникает следующая задача. Известен радиус шейки каустики w01 и положение шейки каустики −z1 лазерного луча без линзы. Требуется найти радиус шейки каустики w02 и ее положение −z2 после установки тонкой линзы на пути лазерного излучения. Для решения этой задачи нужно сделать следующее:

по известным параметрам w01,z1 пучка лучей до линзы.

б). Найдем радиус w1 пучка лучей на линзе по формуле 1 системы (10.2)

также по известным величинам w01,z1 пучка лучей до линзы. Теперь будем искать параметры пучка лучей после линзы.

в). По правилу ABCD из величины радиуса кривизны фронта непосредственно перед линзой можно найти радиус кривизны сразу за линзой:

R2 = AR1 + B ,

Радиус пучка лучей при прохождении через тонкую линзу не изменяется, поэтому w2 = w1.

г). Решим теперь систему из первых двух уравнений системы (10.2)

относительно неизвестных величин w02 и z2 для пучка лучей после линзы при уже известных величинах w2 — радиуса пучка лучей на линзе, и R2

— радиуса кривизны фронта волны сразу за линзой. Решение этой системы позволяет найти положение −z2 новой шейки каустики относительно линзы и новый радиус шейки каустики w02.

Экзамен. Глаз.

Рассмотрим устройство глаза, мысленно двигаясь по ходу луча.

Сначала свет проходит роговую оболочку, которая защищает глаз от механических повреждений. Под роговой оболочкой свет проходит через зрачок глаза, заполненный водянистой влагой. Зрачок по периметру ограничен радужной оболочкой. Радужная оболочка не пропускает свет и представляет собой диафрагму, которая защищает глаз от избыточной засветки. Диаметр диафрагмы, той ее части, которая открыта для света, изменяется рефлекторно в зависимости от освещенности глаза. Если смотреть человеку в глаза, то центральная часть глаза выглядит, как черный кружок. Это и есть зрачок глаза. Зрачок глаза выглядит черным, так как свет проходит через зрачок в глаз и почти не отражается назад.

После зрачка свет попадает в хрусталик глаза. Хрусталик глаза представляет собой линзу, которая отображает рассматриваемый глазом предмет на заднюю стенку глаза. После линзы хрусталика свет проходит стекловидное тело, которое представляет собой основной объем глаза. На задней стенке стекловидного тела расположена сетчатка глаза, состоящая из светочувствительных клеток.

Глазные мышцы позволяют сделать линзу хрусталика глаза более или менее выпуклой. При этом изменяется оптическая сила хрусталика. Способность глазных мышц подстраивать оптическую силу хрусталика так, чтобы изображение рассматриваемого предмета попадало на сетчатку глаза, называется аккомодацией глаза.

Обычно, обсуждая согласование какого-либо оптического прибора с глазом человека, считают, что глаз аккомодирован на бесконечность.

В случае помутнения хрусталика его заменяют кварцевой линзой.

Экзамен. Три цвета радуги. Свет и цвет.

Свет имеет цвет.

Сетчатка глаза состоит из светочувствительных клеток двух типов. Клетки одного типа реагируют только на интенсивность света и

позволяют видеть в полутьме. В экваториальных широтах, где день быстро сменяется ночью, границей дня и ночи считается момент, когда пропадают цвета.

Другие клетки чувствительные к цвету по-разному реагируют на свет разных частот.

Цветочувствительные клетки имеют три разных реакции (отклика) на свет в зависимости от частоты света. Зависимость величины каждого из трех физиологических откликов от длины волны света представлены на ниже следующем рисунке.

Поскольку глаз имеет только три разных отклика на свет, то и цветов радуги только три, а не семь. Так цветной монитор имеет светящиеся зерна люминофора трех цветов: синего, зеленого и красного. Эти три типа зерен позволяют создавать любые оттенки цвета.

Несколько иначе обстоит дело с красками. Краски бывают двух типов: рассеивающие нужный цвет или пропускающие его насквозь. Например, краски цветного струйного принтера пропускают нужный свет.

1). Желтая краска поглощает синий свет, а остальные цвета пропускает. 2). Лиловая краска поглощает зеленый свет.

3). Бирюзовая — поглощает красный.

Белый свет — это суперпозиция красного, зеленого и синего света. Белый свет через принтерную краску достигает белой бумаги, рассеивается и проходит обратно через краску.

Поглощая в нужных пропорциях разные цвета из белого света, можно добиться любого оттенка рассеянного бумагой света.

Экзамен. Лупа. Увеличение лупы.

Лупа — это собирающая линза, предназначенная для получения увеличенного мнимого изображения предмета.

Обычно лупа имеет оптическую силу больше четырех диоптрий Φ > 4. Одна диоптрия равна одному обратному метру 1 дптр = 1 м-1.

Для получения мнимого увеличенного изображения предмет нужно расположить рядом с передним фокусом линзы и чуть ближе к линзе, чем расположен сам фокус.

Пусть положение предмета стремится к фокусу со стороны линзы, тогда мнимое изображение предмета становится очень большим, но расположено оно очень далеко. При этом угловой размер изображения стремится к константе.

Увеличенное мнимое изображение находится далеко, поэтому его видимый глазом угловой размер не зависит от расстояния между линзой и глазом. По мере приближения глаза к линзе меняется только угол обзора. Чем ближе глаз расположен к лупе, тем шире обзор.

Увеличением лупы называется отношение размеров изображения предмета на сетчатке глаза в двух разных опытах. Первый опыт — рассматривание предмета через лупу, когда предмет находится в фокальной плоскости лупы. Второй опыт — рассматривание предмета без лупы, когда предмет находится на оптимальном для рассматривания расстоянии от глаза — 25 см. Если расстояние от предмета до глаза меньше 25 см, то считается, что способности к аккомодации здорового глаза может не хватить для получения резкого изображения предмета на сетчатке глаза.

В первом случае при рассмотрении предмета через лупу увеличение не зависит от расстояния между лупой и глазом, поэтому для простоты будем считать, что глаз расположен вплотную к лупе.

Для анализа увеличения лупы будем для простоты рассуждений считать, что лупа вместе с хрусталиком глаза образуют одну тонкую линзу, с двух сторон от которой находится вакуум.

Рассмотрим луч, который проходит через центр линзы.

Как видно из рисунка, линейный размер изображения h1 = lα1 на сетчатке глаза зависит только от углового размера α1 рассматриваемого предмета, здесь l — расстояние от хрусталика до сетчатки.

Для анализа увеличения лупы нас интересует случай, когда рассматриваемый предмет находится в фокусе лупы, как это изображено на рисунке. Тогда

α1 = y f

Предмет расположен в фокальной плоскости лупы. При этом глаз аккомодирован на бесконечность, так как свет от точечного источника, расположенного в фокальной плоскости лупы, после лупы идет параллельным пучком лучей, а параллельный пучок лучей дает точечное изображение на сетчатке глаза, если глаз аккомодирован на бесконечность.

Обсудим теперь рассмотрение предмета без лупы. Для анализа величины изображения на сетчатке глаза удобно рассмотреть луч, проходящий через центр линзы хрусталика глаза.

L

Следовательно, увеличение лупы:

оптическая сила в диоптриях.

Для примера рассмотрим лупу, на оправе которой имеется надпись "*2.5", которая означает, что увеличение лупы равно 2.5. Фокусное расстояние такой

лупы f = 25 =10см = 0.1 м, а оптическая сила лупы Φ = 1 = 1 =10 дптр. 2.5 f 0.1

Экзамен. Окуляр.

Окуляр, как и лупа, дает увеличенное мнимое изображение предмета.

В отличие от лупы окуляр всегда располагают вплотную к глазу, поэтому нет смысла делать диаметр линзы окуляра гораздо больше диаметра зрачка глаза. Следовательно, основное отличие окуляра от лупы — это маленький диаметр линзы.

Максимальный диаметр зрачка примерно 5 мм.

Экзамен. Подзорная труба или телескоп. Подзорная труба Кеплера. Подзорная труба Галилея.

Телескоп служит для рассматривания удаленных объектов. Если предмет находится очень далеко, то его изображение окажется в фокальной плоскости линзы.

Простейший телескоп — это одна линза и экран в ее фокальной плоскости. Линзу называют объективом телескопа. Часто в качестве экрана в плоскости изображения (в фокальной плоскости объектива) ставят фотопластинку.

Можно не ставить экран в фокальной плоскости объектива. В этом случае изображение, расположенное в фокальной плоскости объектива, рассматривают с помощью другой линзы — окуляра. Иначе такая конструкция телескопа называется подзорной трубой. Заметим, что изображение предмета в линзе объектива нельзя рассматривать сбоку, то есть окуляр должен быть расположен по ходу лучей, прошедших объектив.

Будем считать, что глаз аккомодирован на бесконечность, тогда хрусталик глаза собирает параллельный пучок лучей в точку изображения на сетчатке глаза. Чтобы на хрусталик падал параллельный пучок лучей, нужно, чтобы рассматриваемый в окуляре предмет находился в фокальной плоскости окуляра. Предметом, рассматриваемым в окуляре, является изображение, полученное в фокальной плоскости объектива. Следовательно, объектив и окуляр имеют общий фокус.

Следовательно, подзорная труба — это пара линз с общим фокусом. Подзорная труба Кеплера:

Подзорная труба Галилея:

Вторая линза подзорной трубы Галилея — это рассеивающая линза с отрицательным фокусным расстоянием и отрицательной оптической силой.

Труба Кеплера переворачивает изображение, труба Галилея — нет.

Экзамен. Угловое увеличение телескопа.

Рассмотрим увеличение телескопа на примере трубы Кеплера.

Размер изображения предмета на сетчатке глаза пропорционален угловому размеру предмета, как это было показано в вопросе о лупе. Тогда увеличение телескопа равно увеличению углового размера рассматриваемого предмета, то есть равно отношению угловых размеров предмета при рассмотрении через телескоп и при рассмотрении глазом без телескопа.

Рассмотрим удаленный на бесконечность предмет, у которого нижний край находится на оптической оси системы, а верхний край находится в направлении, которое составляет угол α с оптической осью системы.

В таком случае предмет без телескопа виден под углом α .

Посмотрим на предмет через подзорную трубу. Луч, идущий от нижнего края предмета, проходит вдоль оптической оси. Луч, идущий от верхнего края предмета, приходит к объективу телескопа под углом α к оптической оси. Найдем угол β между этим лучом и оптической осью на выходе из телескопа.

β

Угловое увеличение телескопа будет равно отношению α .

Предмет, рассматриваемый в телескоп, находится очень далеко, поэтому лучи идущие от верхнего края предмета приходят к объективу телескопа почти параллельным пучком лучей. Этот пучок лучей собирается в фокальной плоскости объектива в точку изображения. Лучи, выходящие из этой точки в разных направлениях, после линзы окуляра снова пойдут почти параллельным пучком лучей, но под другим углом к оптической оси.

Рассмотрим луч, который проходит через центр объектива.

Этот луч проходит через центр объектива без изменения направления. Изображение удаленного предмета образуется в фокальной плоскости в точке ее пересечения с рассматриваемым лучом. Все лучи, выходящие из точки изображения, пойдут после линзы окуляра параллельным пучком. Чтобы найти угол между этим пучком и оптической осью рассмотрим луч, выходящий из точки изображения и проходящий через центр окуляра. Такой луч можно рассмотреть даже в том случае, если в реальности такого луча нет.

Из рисунка видно, что размер предмета в фокальной плоскости объектива можно найти двумя способами:

f1α = f2β , тогда

β = f1 — угловое увеличение телескопа, где f1 — фокусное расстояние

α f2

объектива, f2 — фокусное расстояние окуляра.

Экзамен. Микроскоп.

Микроскоп, как и телескоп, — это одна линза и экран. Линзу называют объективом микроскопа.

В отличие от лупы и окуляра, которые дают увеличенное мнимое изображение предмета, микроскоп дает увеличенное действительное изображение.

Для получения действительного изображения расстояние от предмета до объектива должно быть чуть больше фокусного расстояния объектива.

Часто вместо экрана увеличенное изображение рассматривают через вторую линзу — окуляр. Поэтому микроскоп обычно представляет собой пару линз объектив и окуляр.

Увеличение микроскопа тем больше, чем ближе предмет расположен к фокусу объектива.

Увеличение микроскопа может быть сколь угодно большим, но разрешающая способность микроскопа ограничена дифракционными