Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Оптика

Файл:

[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 17

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

22.08.2013

Размер:

201.32 Кб

Скачать

☆

1 / 21 2 > Следующая >>>

Полосы равной толщины и в интерферометре Майкельсона.

Переместим объектив вниз вдоль лучей так, чтобы плоскость, сопряженная экрану, оказалась в области зеркал.

Изображение правого зеркала в полупрозрачной пластинке и верхнее зеркало как бы образуют плоскопараллельную пластинку. На экране наблюдают полосы раной толщины в свете как бы отраженном от этой пластинки.

Условие наблюдения полос равной толщины 1 = 1 + 1 определяет f2 a b

необходимое для их наблюдения расстояние b от объектива до экрана.

Вотличие от полос равного наклона с точечным изображением на экране,

вслучае наблюдения полос равной толщины на экране видно пятно — изображение светового зайчика на верхнем зеркале покрытое полосами равной толщины, если одно из зеркал чуть повернуто. Полосы соответствуют равной толщине оптического клина между верхним зеркалом и изображением правого зеркала.

При идеальной юстировке (настройке) зеркал ширина полос бесконечна, и пятно на экране равномерно освещено (равномерно светлое или равномерно темное).

Интерферометр Жамена.

Оптическая схема интерферометра Жамена приведена на нижеследующем рисунке.

Обычно интерферометры используются для получения зависимости показателя преломления исследуемого вещества от длины волны света.

Пусть в каждом из двух интерферирующих лучей установлена одна из двух одинаковых кювет.

Если интерферометр Жамена освещать параллельным пучком лучей, то при идеальных плоскопараллельных пластинках и окнах кювет весь экран будет засвечен равномерно. Небольшой оптический клин приводит к появлению на экране интерференционных полос.

Эксперимент по измерению показателя преломления газа состоит в следующем. Сначала обе кюветы откачивают, затем в одну из кювет постепенно напускают исследуемый газ. В процессе изменения давления газа изменяется его показатель преломления и оптическая длина нижней кюветы.

Пока изменяется давление газа интерференционные полосы бегут по экрану. Нужно сосчитать, сколько интерференционных полос проходит через фиксированную точку экрана. Пусть число полос равно m, тогда оптическая длина кюветы изменяется на величину = mλ . Это с одной стороны, а с другой стороны, изменение оптической длины кюветы равно nl − l , где l — геометрическая длина кюветы. Тогда из равенства

mλ = l(n −1)

можно экспериментально определить величину показателя преломления

Представляет интерес, как зависимость показателя преломления от длины волны света n(λ) или дисперсия света, так и зависимость показателя преломления от давления или концентрации N исследуемого газа для проверки

	n2	−1	=	4	π Nα или	n2 −1
формулы Лоренц-Лорентца								~ N , здесь α	—
	n2 + 2			3		n2	+ 2

поляризуемость молекулы или коэффициент пропорциональности между дипольным моментом молекулы и напряженностью светового поля p = αE .

Интерферометр Рождественского (Маха-Цендера).

Оптическая схема интерферометра представлена на нижеследующем рисунке:

Преимущество этой схемы по сравнению с интерферометром Жамена в том, что здесь легко разместить широкие кюветы. Недостаток схемы — более сложная юстировка.

Дифракция.

Дифракция волн — это огибание волнами препятствий.

Как и интерференцию, будем рассматривать дифракцию в вакууме.

Факультатив. Интегральная теорема Кирхгофа.

Интегральная теорема Кирхгофа позволяет выразить амплитуду светового поля в точке наблюдения через интеграл по любой поверхности, охватывающей точку наблюдения.

Рассмотрим волновое уравнение:

1 ∂2A

A− c2 ∂t2 = 0, где c — фазовая скорость световых волн.

Пусть зависимость поля A от времени монохроматическая

A(t,r ) = R(r ) e−iω t .

Подставим это выражение в волновое уравнение и получим уравнение Гельмгольца для пространственной зависимости R(r ) поля A(t,r ):

R + k2R = 0, где k = ω . c

R(r ) — комплексная амплитуда поля A(t,r ) на частоте ω в точке с

радиус-вектором r .

---------

Рассмотрим два любых решения уравнения Гельмгольца: ϕ (r ) и ψ (r ).

Тогда
	2
	ϕ + k ϕ = 0
	.
	ψ + k2ψ = 0

Умножим первое уравнение на ψ , второе умножим на ϕ , и рассмотрим разность двух уравнений:

ψ ϕ −ϕ ψ = 0. Рассмотрим

div(ψ ϕ −ϕ ψ )= div(ψ ϕ )− div(ϕ ψ )= (,ψ ϕ )−( , ϕ ψ ).

Каждое из двух слагаемых раскроем, как производную от произведения и получим:

= ( ψ ,ϕ )+ψ ( ,ϕ )− ( ϕ,ψ )−ϕ ( ,ψ )=

=ψ

ϕ −ϕ

ψ = 0

Последнее равенство нулю доказано семью строками выше.

Итак div(ψ ϕ −ϕ ψ )= 0

0 = ∫div(ψ ϕ −ϕ ψ ) dV

= ∫((ψ ϕ −ϕ ψ ),dS), где последнее

полю (ψ ϕ −ϕ ψ ). Далее

∫((ψ ϕ −ϕ ψ ),dS)= ∫

(ψ ( ϕ,dS)

−ϕ ( ψ

,dS)).

Заметим, что

∂ϕ

( ϕ,dS)= ( ϕ )dS dS = ∂n

dS , где n

— внешняя нормаль поверхности

S . Тогда

∫

∂ϕ

−ϕ

∂ψ

∫(ψ ( ϕ,dS)

−ϕ ( ψ

,dS ))=

∂n

dS = 0 .

∂n

Последнее равенство

∂ϕ

−ϕ

∂ψ

∫ ψ

∂n

dS = 0

(1)

∂n

равенство — это теорема Гаусса-Остроградского, примененная к векторному

нулю определяется тем, что десятью строками выше мы начали рассмотрение цепочки равенств с нуля.

---------

Подставим в равенство (1)

∫

∂ϕ

−ϕ

∂ψ

функции ϕ и

∂n

dS = 0

∂n

виде:

(r )

ϕ = E

ikr , где

E0 (r ) — комплексная амплитуда светового поля.

ψ =

Чтобы

иметь

право подставить

обе

функции

в равенство

ψ в

(1)

∫		∂ϕ	−ϕ	∂ψ	dS = 0 необходимо, чтобы обе функции удовлетворяли
∫	ψ	∂n	−ϕ		dS = 0 необходимо, чтобы обе функции удовлетворяли
S		∂n		∂n
S

уравнению Гельмгольца:

	2
	ϕ + k ϕ = 0
	.
	ψ + k2ψ = 0

Комплексная амплитуда светового поля E0 (r ) удовлетворяет уравнению Гельмгольца

E0 + k2E0 = 0,

так как само световое поле E(t,r ) удовлетворяет волновому уравнению

E − 1 ∂2E = 0 c2 ∂t2

и мы хотим рассмотреть монохроматическое световое поле в виде

E(t,r ) = E0 (r ) e−iω t .

Покажем теперь, что функция ψ = eikr тоже удовлетворяет уравнению

		r
Гельмгольца. Функция ψ =	eikr	имеет сферическую симметрию, поэтому
Гельмгольца. Функция ψ =	r	имеет сферическую симметрию, поэтому
	r

проверку удобно проводить в сферической системе координат, где оператор Лапласа имеет следующий вид:

ψ =	1		∂		2	∂ψ	+
				r
	r
		2	∂r			∂r

1	∂		∂ψ		1	∂2ψ
		sin(θ )		+			.
r2 sin(θ )					r2 sin2 (θ )
	∂θ		∂θ			∂ϕ2

Функция ψ =

eikr

зависит только от координаты r . В таком случае

ψ =

∂

2 ∂ψ

∂r

∂

2 ∂

ikr

∂

ikr

∂

(−eikr + ikr eikr )=

ψ =

−

+ ik

∂r

(−ik eikr

+ (ik eikr − k2r eikr ))= −k2

eikr

= −k2ψ

Сравнивая начало и конец цепочки равенств, получим

ψ + k2ψ = 0 — уравнение Гельмгольца для функции ψ .

ϕ = E

(r )

∂ϕ

∂ψ

ikr

в равенство (1)

∫

−ϕ

Подставим

∂n

dS = 0 и получим

eikr

∂E

(r )

∂ eikr

− E0 (r )

dS = 0

(2)

∂n

∫

∂n r

Теорема Гаусса-Остроградского, на основе которой были получены равенства (1) и (2), справедлива только в том случае, если подынтегральная функция не имеет особых точек в объеме V , то есть не обращается в бесконечность ни в одной точке объема V . Поэтому из объема, ограниченного

поверхностью S нужно исключить точку r = 0, в которой функция ψ = eikr r

обращается в бесконечность.

Будем считать, что поверхность S объема V двухсвязная и состоит из двух односвязных поверхностей S1 и S2.

Здесь S1 — малая сфера с центром в точке r = 0.

Если в равенстве (2) n — внешняя нормаль объема V , то

∫	+ ∫ = 0.
S1	S2

Если же в равенстве (2) n — внешняя нормаль поверхностей S1 и S2, то

− ∫	+ ∫ = 0	=> ∫	= ∫	<=>
S1	S2	S1	S2

	eikr		∂E	(r )		∂	eikr
			0		− E0 (r )
		r	∂n		− E0 (r )			r
∫		r	∂n			∂n		r
S
1

Рассмотрим подробнее ∫

eikr

∂E

(r )

∂

eikr

dS =

− E0 (r )

∂n

∫

∂n

— интеграл по малой сфере.

eikr

∂E

(r )

∂ eikr

− E0 (r )

dS =

∂n

∫

∂n

eikr

∂E

(r )

∂

eikr

dS −

E (r )

dS ≈

∂n

∫

eikr

∂E

(r )

∂

eikr

≈

dS −

E0 (r )

∂n

∫

В последнем равенстве из первого интеграла вынесен сомножитель eikr , r

так как он постоянен на поверхности сферы с постоянным радиусом r . Из второго интеграла вынесен сомножитель E0 (r ), так как он почти постоянен для сферы малого радиуса.

eikr

∂E

(r )

Рассмотрим

первое

слагаемое

∫

в получившемся

∂n

(r )

∂E

выражении. Здесь подынтегральное выражение

ограничено, так как

∂n

(r ) не имеет особенности при r = 0. Площадь сферы S

= 4π r2 ~ r2 . Тогда и

(r )

∂E

пропорциональным r2 с

весь интеграл ∫

ограничен слагаемым

∂n

учетом ограниченности подынтегрального выражения. При малых значениях

величины		eikr	1
	r сомножитель перед интегралом		примерно пропорционален		,
		r
				r

и все выражение с первым интегралом стремится к нулю:

eikr

∂E

(r )

∫

dS ~ r →0.

∂n

r→0

Рассмотрим теперь второе слагаемое в выражении

eikr

∂E

(r )

∂

eikr

dS − E0 (r )

dS , а именно:

∂n

∫

∂

eikr

−E

(r )

dS .

∂n

∫

E (r ) ≈ E (0) — это амплитуда

Здесь сомножитель перед интегралом

светового поля в точке

r = 0, а

∂

. Тогда

∂n

∂r

∂

eikr

∂ eikr

−E

(r )

dS = −E

(0)

dS = −E (0)

∂n

∂r

∂r r

∫

В последнем выражении при малых значениях r

получим

eikr

≈

. Тогда

∂ eikr

≈ −

. Следовательно, два интеграла можно заменить одним вторым

∂r

интегралом и получить

∂ eikr

∂

eikr

−E (r )

dS ≈ −E

(0)

dS ≈

∂r

∫ ∂n

∫

≈ −E (0)

−

dS =

(0)

4π r2

= 4π E

(0).

Тогда

из

равенства

интегралов

по

двум

поверхностям

∫

= ∫

равенства первого интеграла величине 4π E0 получаем:

eikr

∂E

(r )

∂

eikr

E0 (0)

− E0 (r )

dS .

4π

∂n

∫

∂n

Поскольку в рассмотрении осталась только поверхность S2

переобозначим

S2 → S

получим

интегральную

теорему

Кирхгофа в

окончательном виде:

eikr

∂E (r )

∂

eikr

E0 (0)

−

E0 (r )

dS ,

(3)

4π

∂n

∫

где n

— внешняя

нормаль

замкнутой

поверхности S , а

точка

r = 0

расположена внутри этой поверхности.

Экзамен. Скалярная теория дифракции Кирхгофа.

При рассмотрении предыдущего вопроса мы сознательно не писали значка вектора у напряженности электрического поля E(t,r ) и у амплитуды напряженности E0 (r ).

Теория дифракции Кирхгофа называется скалярной, чтобы подчеркнуть ее не строгость в применении к рассмотрению дифракции светового поля.

Строгая теория дифракции векторных электромагнитных волн оказалась крайне неудобной для практических расчетов. Эту теорию можно найти в книге:

А. Дж. Стрэттон. Теория электромагнетизма. М.; Л.: ОГИЗ, 1948. С.541. В теории Кирхгофа рассматривают точечный источник света,

излучающий сферически симметричные волны с комплексной амплитудой вида:

E0 (r0 )= A0 rikr0 , r0

где r0 — вектор, проведенный из точечного источника света в точку наблюдения. На самом деле электромагнитные волны поперечны, а поперечные волны не могут быть сферически симметричны. Вместо сферически симметричного поля надо было бы рассматривать поле излучающего диполя.

Пусть источником света является один точечный сферически симметричный источник S0. Нас будет интересовать световое поле в точке наблюдения P. Точку наблюдения охватывает замкнутая поверхность S такая, что источник света S0 расположен снаружи поверхности S .

Введем необходимые обозначения:

r — радиус-вектор из точки наблюдения P в точку на поверхности S , r0 — радиус-вектор из источника света S0 в точку на поверхности S , n — внутренняя нормаль поверхности S ,

α ≡ (n,−r ) — угол между нормалью к поверхности и вектором,

направленным из точки поверхности S в точку наблюдения P,

α0 ≡ (n,r0 ) — угол между нормалью к поверхности и вектором,

направленным от источника света S0 в точку на поверхности S .

В рассмотренной раньше интегральной теореме Кирхгофа, как и в формуле Гаусса-Остроградского используется внешняя нормаль к поверхности.

Если рассматривать внутреннюю нормаль поверхности, то в формуле (3) интегральной теоремы нужно поменять знак. Вместо этого поменяем местами

два члена подынтегральной разности и получим

∂ eikr

eikr

∂E (r

)

E =

∫

)

−

0 0

dS .

4π

∂n

Подставим в эту формулу поле точечного сферически симметричного источника света

E0 (r0 )= A0 eikr0 r0

и получим

eikr0

∂ eikr

−

eikr

∂

eikr0

dS .

4π

∂n r

∂n

∫

Функция

eikr

зависит

только

от

r ,

поэтому производная от нее по

любому направлению может быть выражена через производную по r ,

умноженную на косинус угла между r и направлением дифференцирования. В нашем случае направление дифференцирования n — это направление

внутренней нормали к поверхности S . Рассмотрим этот косинус cos(n,r ) = −cos(n,−r ) = −cos(α )

Тогда

∂

eikr

(−cos(α ))=

eikr

−

eikr

(−cos(α )).

∂n r

В последнем равенстве подставлена производная от произведения eikr

на

. Длина волны мала по сравнению с любыми расстояниями. Тогда

2π

r >> λ

<< k =

Следовательно, второе слагаемое в выражении производной по нормали

можно отбросить. Тогда

∂

eikr

≈ −ik

cos(α ).

∂n

Аналогично

∂ eikr0

eikr0

(

cos

n,r

∂n

0 )

ikr0

cos(α

)= ik

−

eikr0

cos(α

dr0

С учетом r0 >> λ можно отбросить второе слагаемое и получить

∂

eikr0

cos(α

≈ ik

∂n

Подставим

выражения

производных

по

нормали

∂ eikr

≈ −ik

eikr

cos(α )

∂

eikr0

≈ ik

eikr0

cos(α

)

интеграл

по

∂n

∂n r

поверхности S и получим:

eikr0

eikr

eikr0

−ik

cos(α )

−

cos(α

)

dS =

4π

∫

= −

∫

eikr0

eikr

cos(α )+

eikr

eikr0

cos(α

)

dS .

4π

В этом выражении заменим обратно сферически симметричную волну

eikr0

точечного источника

на E

). Это можно сделать, если считать, что

1 / 21 2 > Следующая >>>

Соседние файлы в папке [ Крылов ] Печатные лекции

#
22.08.2013173.63 Кб40Лекция 12.pdf
#
22.08.2013153.01 Кб40Лекция 13.pdf
#
22.08.2013178.34 Кб51Лекция 14.pdf
#
22.08.2013153.35 Кб47Лекция 15.pdf
#
22.08.2013176.64 Кб44Лекция 16.pdf
#
22.08.2013201.32 Кб41Лекция 17.pdf
#
22.08.2013158.6 Кб41Лекция 18.pdf
#
22.08.2013181.88 Кб41Лекция 19.pdf
#
22.08.2013174.11 Кб50Лекция 20.pdf
#
22.08.2013162.79 Кб43Лекция 21.pdf
#
22.08.2013169.98 Кб45Лекция 22.pdf