[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 22

Лоренцевская форма линии поглощения. Нормальная и аномальная дисперсия света.

В случае среды поглощающей свет формула Лоренц-Лорентца

и получим выражения для вещественной и мнимой частей комплексного показателя преломления. Преобразуем эти выражения с учетом неравенства γ << ω0 , и когда частота света ω близка к резонансной частоте ω0 колебаний электронной оболочки атома.

Кроме того, с учетом Ω << ω0 , получаем ω ≈ ω0 . Откуда

Подставим это значение комплексной поляризуемости атома в выражение для комплексного показателя преломления n ≈1+ 2π Nα и получим

Сравнивая это выражение с n = n'+ in'', получим выражение для вещественной и мнимой частей комплексного показателя преломления:

получим коэффициент поглощения и вещественный показатель преломления n' для разреженной среды в частотной окрестности линии поглощения с частотой ω0 :

расстройка частоты светового поля относительно частоты поглощающего свет перехода.

---------

В таком случае коэффициент поглощения можно переписать в виде:

Как показывает опыт, относительная ширина спектрального контура

поглощения очень мала 2γ ≈10−9 10−6 , поэтому контур поглощения обычно

ω0

коэффициента поглощения от частоты света:

.

Здесь γ — полуширина на полувысоте контура линии поглощения.

В спектроскопии такой контур рассматривают очень часто. Его называют лоренцевским контуром:

Тогда

Ω

= 0 L γ . Факультативная вставка.

Заметим, что уравнение движения центра масс электронной оболочки

центра масс электронной оболочки r

p = (−q) r .

Напряженность светового поля излучения диполя пропорциональна второй производной по времени от дипольного момента и пропорциональна

излучения диполя, как функция времени имеет следующий вид

E = E0 e−γ t e−iω0t

Эту зависимость напряженности светового поля от времени называют световым цугом.

То есть спектр излучения атома Томсона имеет тот же лоренцевский вид, что и контур линии поглощения, и с той же γ полушириной на полувысоте.

Одинаковый вид линии поглощения и линии излучения не зависит от модели атома Томсона. Эту одинаковость можно доказать из термодинамических соображений, рассматривая тепловое равновесие вещества и излучения. По этой причине обычно говорят просто о форме спектральной линии, не уточняя, говорят ли о линии излучения или о линии поглощения.

Конец факультативной вставки.

---------

Рассмотрим теперь зависимость вещественного показателя преломления от частоты.

Дисперсия света — зависимость вещественного показателя преломления

где λ0 — длина волны в вакууме на частоте поглощения ω0 , 0 — амплитуда контура поглощения.

dn

dω < 0 называют аномальной дисперсией.

Вещество в частотной области прозрачности обладает нормальной дисперсией.

Аномальная дисперсия света наблюдается только внутри контура линии поглощения.

Причина неравенства n >1 в области прозрачности среды.

Обсудим теперь неравенство n >1, которое практически всегда справедливо в частотной области прозрачности вещества.

Рассмотрим уровни энергии произвольного атома.

Обычно атом находится на нижнем уровне энергии E1 . Поглотив квант света, атом может перейти с этого уровня на один из более высоких уровней энергии. Разность энергий уровней равна энергии кванта света и связана с его частотой ω :

ωk1 = Ek − E1.

Частоты переходов ωk1 — это и есть резонансные частоты колебаний электронной оболочки в модели атома Томсона, которые входят в выражение для комплексной поляризуемости атома:

Энергии электрона, привязанного к атому, дискретные и отрицательные. При приближении к нулевой энергии уровни энергии сгущаются. Около нулевой энергии находится бесконечное число отрицательных дискретных уровней энергии. Положительные энергии электрона соответствуют отрыву электрона от атома — ионизации атома. Для положительных энергий возможны все значения в непрерывном диапазоне от нуля до бесконечности.

В таком случае спектр поглощения атома или зависимость коэффициента поглощения среды от частоты имеет следующий вид:

Частотная область прозрачности среды — любая область частот вдали от линий поглощения.

Как видно из рисунка, для любой частоты света в области прозрачности справа от выбранной частоты всегда много линий поглощения, а слева — мало.

Рассмотрим влияние одной линии поглощения, расположенной справа ωk1 > ω , на показатель преломления. Из неравенства ω1k > ω следует, что расстройка частоты света относительно частоты поглощающего свет перехода

отрицательная:

Ωk ≡ ω − ω1k < 0.

Отсюда следует n'−1> 0 положительный вклад в показатель преломления от линии поглощения, которая расположена справа от рассматриваемой частоты света.

Поскольку справа линий много, то их суммарный вклад в показатель преломления больше, чем вклад линий, расположенных слева, и этот вклад положительный. В результате показатель преломления сдвигается от единичного значения без среды в сторону увеличения. Поэтому

n' >1.

Исключением из правила являются области частот, где одна из левых линий поглощения ωk1 < ω достаточно близка к рассматриваемой частоте света ω , так чтобы ее отрицательный вклад в показатель преломления n'−1< 0 пересилил положительные вклады всех правых линий поглощения.

---------

Рассмотрим порядок величины вклада в коэффициент поглощения и вклада в показатель преломления при относительно больших расстройках x

больше, и поэтому, показатель преломления заметно отличается от единицы в частотной области прозрачности среды.

Оптика плазмы.

Плазма — это ионизованный газ. Например, в газоразрядных лампах дневного света светится плазма. Ионизация газа происходит под ударами

электронов, которые разгоняются электрическим полем. Плазма содержит газ нейтральных атомов, электроны и положительные ионы.

Ионы в тысячи раз тяжелее электронов и под действием электрического поля световой волны почти не смещаются. Взаимодействие света с плазмой — это в основном взаимодействие со свободными электронами плазмы.

Свободный электрон можно рассматривать, как предельный случай электрона в атоме, если считать, что возвращающая сила со стороны ядра атома равна нулю.

В модели атома Томсона квадрат резонансной частоты ω02 ≡ 4πρq был 3m

введен, как величина пропорциональная отношению возвращающей силы к смещению от положения равновесия. Если возвращающая сила равна нулю, то и резонансная частота тоже равна нулю ω0 = 0. Тогда вместо комплексной

величина имеет смысл числа электронов электронной оболочки атома, участвующих в резонансном колебании.

Обычно потери на излучение за один период резонансной частоты атома

малы 2γ ≈10−9 ÷10−6 , тогда γ << ω0 . В случае свободного электрона γ <<ω . В

ω0

результате можно отбросить второе слагаемое в знаменателе выражения для поляризуемости свободного электрона на частоте светового поля ω и получить

Рассмотрим формулу Клаузиуса-Моссотти:

считая, что диэлектрическая проницаемость среды ε и поляризуемость α

— комплексные величины, зависящие от частоты электрического поля. Нелинейная зависимость диэлектрической проницаемости ε от

поляризуемости α вызвана отличием электрического поля E, действующего на молекулу, от среднего поля в среде. В плазме электроны свободно перемещаются в пространстве, поэтому считают, что отличия действующего поля от среднего поля нет. Для нейтральных газов отличием двух полей можно

пренебречь при малой концентрации N молекул. Для малой концентрации молекул ε ≈1, тогда ε + 2 ≈ 3 и

ε −1 ≈ 4π Nα => ε ≈1+ 4π Nα .

33

Для свободных электронов плазмы тоже будем считать, что ε ≈1+ 4π Nα ,

только при этом концентрация электронов N не обязана быть малой

величиной. Учтем, что n2 = ε , и получим n2 ≈1+ 4π Nα .

Подставим сюда выражение для поляризуемости свободных электронов

e2

α = − meω2 и получим

n2 =1− 4π Ne2 . meω2

Это равенство можно переписать в виде:

ω2 n2 =1− p ,

ω2

квадратом плазменной частоты, так как имеет размерность квадрата частоты. Взаимодействие плазмы со световым полем существенно различается в

двух спектральных диапазонах: если частота света меньше плазменной частоты ω < ωp и если частота света больше плазменной частоты ω > ωp .

В первом диапазоне световых частот ω < ωp получим, что квадрат показателя преломления является отрицательной величиной:

ω2

n2 =1− p < 0 .

ω2

Тогда сам показатель преломления — чисто мнимая величина n = in''. Коэффициент поглощения среды связан с мнимой частью показателя

преломления соотношением = 2ω n''. c

Следовательно, плазма поглощает свет с частотой ниже плазменной частоты.

Во втором диапазоне световых частот ω > ωp получим:

ω2

n2 =1− p > 0

ω2

и показатель преломления — вещественная величина. Отсутствие мнимой

части означает отсутствие поглощения = 2ω n'' = 0. c

Следовательно, плазма прозрачна для света с частотой выше плазменной частоты.

Оптика металлов. Прозрачность сред для рентгеновского излучения.

В металле, как и в плазме, есть свободные электроны. Поэтому взаимодействие света с металлом похоже на взаимодействие света с плазмой.

Металл — твердая фаза вещества, поэтому концентрация свободных электронов в металле гораздо выше, чем в обычной плазме. Плазменная частота

плазменная частота ωp для металлов оказывается в рентгеновском диапазоне

частот.

По этой причине рентгеновский свет с частотой ω > ωp проходит через металл почти без поглощения, а в видимом диапазоне при условии ω < ωp

металлы очень сильно поглощают свет, свет поглощается в очень тонком слое

гораздо меньше λ всегда означает высокий коэффициент отражения. По этой 2

причине металлы хорошо отражают свет, причем в инфракрасном диапазоне, где длина волны больше, отражение света выше.

---------

Врентгеновском диапазоне частот энергия кванта света E = hν = ω оказывается гораздо больше, чем энергия связи внешнего электрона с атомом.

Втаком случае внешние электроны атома можно считать почти свободными не только у металлов, но и у диэлектриков. Поэтому диэлектрики в рентгеновском диапазоне излучений ведут себя также как и металлы.

Врезультате рентгеновский свет ω > ωp проходит почти без поглощения

не только через металлы, но и через любые вещества. Любое вещество прозрачно в рентгеновском диапазоне излучения.

Однородная и неоднородная (доплеровская) ширина спектральной линии.

Форма спектрального контура линии поглощения совпадает с формой спектрального контура линии излучения. По этой причине будем говорить просто о спектральной линии.

Если молекул много, то движение молекул изменяет ширину и форму спектральной линии. Есть две основных причины изменения ширины и формы спектральной линии. Обе причины легче анализировать на примере газообразной фазы вещества.