[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 04

Экзамен. Продольные и поперечные моды лазера. Управление частотой генерации лазера.

Лазер — это устройство, излучающее свет с помощью усиливающей свет среды и зеркал, которые заставляют свет многократно проходить усиливающую среду. Зеркала лазера образуют так называемый лазерный резонатор.

Обычно одно зеркало лазера плоское и полупрозрачное, а другое — сферическое и глухое. Между зеркалами лазера находится усиливающая свет среда.

Мы для простоты рассмотрим резонатор лазера с двумя плоскими зеркалами.

В резонаторе работающего лазера присутствует стоячая волна. На зеркалах лазера находятся узлы стоячей волны. Следовательно, на длине

резонатора L укладывается целое число полуволн L = mλ , где m =1, 2, 3, ... — 2

целое число. Лазер может излучать только такой свет, длина волны λ которого удовлетворяет равенству L = mλ .

Целое число изменяется с шагом m =1. Тогда ν = c

2nL

изменения частоты или частотный интервал между соседними продольными модами лазера, он же межмодовый интервал.

Мы получили, что в резонаторе лазера разрешены частоты с постоянным

шагом ν = c — расческа разрешенных частот. 2nL

---------

Усиливающая лазерная среда — это среда с отрицательным коэффициентом поглощения. Коэффициент поглощения среды определяется равенством:

I (z) = I0e−z , где — коэффициент поглощения, I (z) — зависимость

интенсивности света, проходящего через поглощающую среду в направлении оси z, от координаты z.

Для лазерной среды коэффициент поглощения отрицателен < 0. Величину (− ) называют коэффициентом усиления среды.

Лазер генерирует излучения на частотах, разрешенных резонатором, для которых усиление среды (− ) больше, чем потери лазера 0 , приведенные к единице длины резонатора.

Рассмотрим теперь возможность управления частотой генерации лазера.

ν = c = mc — частота генерации лазера зависит от длины резонатора nλ 2nL

L. Изменяя длину резонатора, мы можем изменять частоту его генерации. Для изменения длины резонатора одно из его зеркал укрепляют на пьезокерамическом цилиндре. Подавая электрическое напряжение на цилиндр можно в небольших пределах изменять его длину на величину порядка одного микрона.

При изменении длины резонатора изменяется масштаб расчески разрешенных частот. Но обычно частотная ширина контура усиления лазерной среды гораздо меньше средней частоты генерации. В таком случае, при изменении длины резонатора, разрешенные частоты в пределах контура усиления сдвигаются почти без изменения межмодового интервала. То есть расческа разрешенных частот двигается относительно контура усиления лазерной среды почти без изменения шага расчески.

Если длину резонатора увеличить на половину длины световой волны λ , 2

то разрешенная резонатором длина волны λ снова станет разрешенной резонатором длиной волны, но с индексом продольной моды (m −1) на

единицу большим. При этом в процессе изменения длины резонатора расческа разрешенных частот сдвигается на один межмодовый интервал.

---------

Обсудим теперь поперечные моды лазера.

Если лазерный луч направить на экран, то форма лазерного пятна в простейших случаях может иметь вид нескольких светлых пятен в узлах прямоугольной матрицы. Различное расположение этих пятен описывают поперечными индексами, поперечными модами.

Индекс поперечной моды равен числу нулей интенсивности, как функции соответствующей координаты.

Так если форма лазерного пятна представляет собой две строки по три светлых пятна, то индексы соответствующей поперечной моды 2,1 — две темные полосы при перемещении по x координате и одна темная полоса при перемещении по y координате.

Экзамен. Пленка Троицкого. Селекция лазерных мод.

Обычно внутри частотного контура усиления лазерной среды при условии усиления больше потерь B−G>0 помещается несколько продольных

мод с интервалом ν = c . 2nL

Чтобы получить одночастотный режим генерации лазера нужно подавить генерацию на лишних продольных модах. Эту задачу селекции продольных мод можно решить с помощью пленки Троицкого.

Пленки Троицкого бывают двух типов: с металлическим напылением (поглощающая) и с диэлектрическим узором (рассеивающая).

Толщина пленки Троицкого должна быть гораздо меньше половины длины волны.

Пленку Троицкого помещают внутрь резонатора лазера перпендикулярно

лучу.

Если пленка Троицкого находится в узле стоячей волны поля E , то пленка не поглощает и не рассеивает свет.

Если же пленка Троицкого находится в пучности стоячей лазерной волны, то она поглощает или рассеивает свет и вносит дополнительные потери в соответствующую продольную моду.

Генерация остается только для тех продольных мод, для которых пленка находится в узле стоячей волны.

---------

Рассмотрим теперь селекцию поперечных лазерных мод.

Селекция поперечных мод обычно осуществляется внутрирезонаторной ирисовой диафрагмой.

Ирисовая диафрагма — отверстие в непрозрачном экране, диаметр которого можно изменять. Конструктивно ирисовая диафрагма состоит из нескольких металлических лепестков. Ирис — цветок.

Диафрагму ставят симметрично относительно оси резонатора. Моды с большими поперечными индексами имеют световое поле, которое частично занимает объем достаточно далеко расположенный от оси резонатора. Диаметр диафрагмы можно подобрать так, чтобы из всех поперечных мод генерация осталась только для низшей моды с индексами 0,0 или, как говорят, только для продольной моды.

Экзамен. Закон преломления (закон Снеллиуса) и закон отражения.

Закон Снеллиуса можно доказать с помощью построений Гюйгенса. Мы сделаем это при рассмотрении кристаллооптики, а сейчас докажем его иначе.

При преломлении света длина волны изменяется, а частота — нет. Если бы частота света изменялась, то на границу раздела падали бы волны с одной частотой, а уходили — с другой, что невозможно.

Рассмотрим плоскую световую волну, которая падает на плоскую границу двух сред. Плоские условия задачи означают плоские решения. Тогда отраженная и преломленная волны тоже будут плоскими.

Введем обозначения для волн:

i — падающая волна (input — падать),

r — отраженная волна (reflect — отражать),

t — преломленная волна (transpierce [trens'pies]— пронзать насквозь).

На границе раздела двух сред должны выполняться граничные условия

выполнялись одновременно во всех точках границы необходимо, чтобы пространственные частоты падающей, отраженной и преломленной волн были бы равны.

Рассмотрим составляющую Ex электрического поля вдоль границы раздела двух сред, составляющую, которая лежит в плоскости падения света. Плоскость падения — это плоскость, в которой лежит нормаль к границе раздела сред и волновой вектор падающей волны. Составляющая Ex для каждой из трех волн на границе раздела сред — синусоида, а сумма трех синусоид может дать ноль, только если их частоты одинаковы.

Выберем направление оси z перпендикулярно границе раздела двух сред. Тогда условие одинаковых пространственных частот трех волн на границе раздела примет вид:

Подставим это в равенство пространственных частот kx(i) = kx(r) = kx(t) и

получим:

k(i) sin(α(i) )= k(r) sin(α(r) )= k(t) sin(α(t) )

преломления двух сред.

Сократим формулу на отношение ω и получим c

n1 sin(α(i) )= n1 sin(α(r) )= n2 sin(α(t) ).

С учетом неравенства −π ≤ α(r) ≤ π , означающего, что отраженный свет

22

остается выше границы раздела сред, получим

α(i) = α(r) — угол падения равен углу отражения или закон отражения.

Обозначим α1 ≡ α(i) и α2 ≡ α(t) и получим закон преломления или закон Снеллиуса:

n1sin(α1) = n2 sin(α2 ).

Заметим, что если параллельных границ между разными средами много,

то

n sin(α ) = const для всех границ.

Экзамен. Формулы Френеля. Амплитудные коэффициенты отражения и пропускания.

Найдем амплитуды отраженной и преломленной волн из граничных условий, с учетом поперечности световых волн и с учетом законов отражения и преломления.

Уравнения Максвелла в дифференциальной форме

для границы раздела принимают следующий вид

Часть граничных условий удобно заменить учетом ортогональности световых волн и учетом закона отражения и закона преломления.

Далее удобно рассмотреть раздельно вариант поляризации света в плоскости падения || и вариант поляризации перпендикулярной плоскости падения .

I). Поляризация || параллельная плоскости падения света.

Выберем положительные направления для векторов E в падающей, отраженной и преломленной волнах:

.

Положительные направления электрического поля трех волн выбраны так, чтобы положительные направления магнитного поля этих волн совпадали друг с другом.

Для поляризации в плоскости падения рассмотрим первое уравнение граничных условий ε1E1n = ε2E2n , в котором нормальная, она же вертикальная, составляющая поля находится умножением на синус угла между лучом и

нормалью к границе:

ε1E(i) sin(α1)+ ε1E(r) sin(α1) = ε2E(t) sin(α2 ).

Здесь над границей поле E состоит из поля падающей и поля отраженной волн, а под границей поле E — это поле одной преломленной волны.

Разделим полученное уравнение на равенство n1sin(α1) = n2 sin(α2 ) и

Для нахождения амплитуд отраженной E(r) и преломленной E(t) волн нужно еще одно уравнение. Рассмотрим второе уравнение системы E1τ = E2τ , где проекция поля на горизонтальное направление получается умножением напряженности поля на косинус угла:

E(i) cos(α1)− E(r) cos(α1) = E(t) cos(α2 ). Решая два уравнения

амплитуд прошедшей и преломленной волн.

Здесь значок || у поля E означает, что волна поляризована параллельно плоскости падения света.

Обычно в этих выражениях пренебрегают отличием магнитной проницаемости среды от единицы ( =1). Тогда окончательно для

коэффициентов отражения и пропускания для поляризации света в плоскости падения.

---------

Преобразуем r|| к другому виду. Для этого сначала умножим разные

n1n2 и получим:

r= n2 cos(α1)− n1cos(α2 ) = n1n2 sin(α1)cos(α1)− n1n2 sin(α2 )cos(α2 ) =

||n2 cos(α1)+ n1cos(α2 ) n1n2 sin(α1)cos(α1)+ n1n2 sin(α2 )cos(α2 )

Окончательно:

r= tg(α1 −α2 ).

||tg(α1 +α2 )

Эта формула понадобиться нам в дальнейшем. Заметим, что она получена в приближении =1.

---------

II). Поляризация плоскости падения света.

Выберем положительные направления для векторов B трех световых волн так, чтобы положительные направления векторов E этих волн совпали.

уравнение системы и получим пару уравнений для амплитуд отраженной и преломленной волн:

Решая уравнения, находим формулы Френеля для амплитуды отраженной и преломленной световых волн для поляризации света, перпендикулярной плоскости падения света:

и, заменяя на единицу, как это обычно делают в учебниках по оптике,

(r)

получаем для амплитудных коэффициентов отражения r ≡ E( ) и пропускания

E i