[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 24

Эффект Комптона.

При рассеянии рентгеновского излучения на атомах мишени рассеянное излучение отличается по длине волны. Эффект Комптона состоит в том, что при рассеянии рентгеновских лучей на веществах с небольшим атомным номером изменение длины волны зависит только от угла рассеяния.

У легких элементов мал заряд атомного ядра, поэтому мала энергия связи любого электрона с ядром. Энергия связи мала по сравнению с энергией фотона, поэтому можно считать, что фотон рассеивается на свободном электроне.

Рассмотрим задачу рассеяния рентгеновского фотона на свободном электроне на основе законов сохранения энергии и импульса. Можно воспользоваться законами сохранения в нерелятивистской форме, так как энергия рентгеновского фотона hν гораздо меньше энергии покоя электрона mec2 .

Энергия фотона E = hν = mc2 , m — масса фотона, p = mV = mc —

импульс фотона. Тогда p = E = hν , следовательно

cc

E = hν

hν — энергия и импульс фотона.

cp =

Рассмотрим диаграмму процесса рассеяния:

.

Напишем уравнения сохранения для энергии и для двух проекций импульса:

Это три уравнения для трех неизвестных: ν2,V,α . Заметим, что угол θ мы будем рассматривать не как неизвестную величину, а как переменный параметр задачи. Дело в том, что при одинаковых начальных условиях

рентгеновский квант может рассеиваться и рассеивается в разных направлениях

θ .

Преобразуем уравнения 2 и 3 к следующему виду:

meV 2 = 2h(ν1 −ν2 ).

Приравняем оба полученных выражения для meV 2 и получим

На этом задача фактически решена, так как для каждого значения угла θ получено свое значение частоты рассеянного света ν2.

Преобразуем результат к более традиционной форме с учетом

Взаимодействие со светом этих двух уровней энергии описывается тремя процессами. Для каждого из этих процессов частота фотона связана с

разностью энергий уровней соотношением

E2 − E1 = hν = ω .

Первый процесс — спонтанное излучение. В этом процессе происходит ничем не спровоцированное излучение светового кванта с переходом атома с уровня 2 на уровень 1.

Второй процесс — поглощение света. В этом процессе происходит поглощение светового кванта с переходом атома с уровня 1 на уровень 2.

Третий процесс — вынужденное излучение. Это процесс вынужденного светом перехода атома с уровня 2 на уровень 1 с излучением светового кванта.

Обсудим, каковы вероятности этих трех процессов.

Для описания вероятностей Эйнштейн ввел в рассмотрение так называемые коэффициенты Эйнштейна:

A21,B12,B21.

A21 dt — вероятность спонтанного перехода 2 →1 для одного атома за время dt .

B12 wω dt — вероятность перехода 1→ 2 для одного атома за время dt

dw

под действием света, где wω ≡ dω — спектральная плотность объемной

плотности энергии светового поля на частоте рассматриваемого перехода

ω = E2 − E1 .

B21 wω dt — вероятность перехода 2 →1 для одного атома за время dt под действием света.

На основе термодинамических рассуждений, рассматривая тепловое равновесие света и вещества, Эйнштейн показал, что три коэффициента A21,B12,B21 должны быть связаны двумя соотношениями:

Интересно, что вероятность спонтанных переходов равна вероятности вынужденных переходов под действием света, в котором в каждом объеме

когерентности содержится половина фотона. Позднее была разработана квантовая теория светового поля, в которой считается, что в пустом пространстве, из которого нельзя поглотить кванты света, тем не менее, в каждом объеме когерентности содержится энергия половины фотона.

Инверсия заселенностей лазерной среды. Усиление света. Генерация света лазером.

По определению N1 ≡ ρ11N — заселенность или населенность уровня 1 с энергией E1,

Здесь N — концентрация атомов или молекул, ρ11 — вероятность обнаружить атом на уровне E1.

Вероятность ρ11 имеет два индекса, так как при квантовом описании атомов используется матрица плотности, диагональными элементами которой являются вероятности обнаружить атом на каждом из уровней энергии.

Аналогично

следовательно, вынужденных переходов снизу вверх с поглощением света больше, чем сверху вниз с излучением.

При термодинамическом равновесии среда поглощает свет на переходе между любой парой уровней энергии.

---------

Лазерная усиливающая свет среда всегда находится вне термодинамического равновесия.

Усиление света — это отрицательное поглощение. Поглощение будет отрицательным, если заселенность верхнего уровня больше заселенности нижнего уровня N2 > N1.

Это условие N2 > N1 противоположно равновесному соотношению заселенностей, поэтому условие N2 > N1 называется инверсией заселенностей.

При инверсии под действием света переходов 2 →1 оказывается больше, чем переходов 1→ 2, и среда усиливает свет.

---------

Рассмотрим пример создания инверсии заселенностей в четырехуровневой схеме уровней энергии в газовом разряде.

В плазме газового разряда свободные электроны ускоряются электрическим полем, ударяются о нейтральные атомы газа и, передавая часть энергии атому, переводят его из состояния с уровнем энергии 1 в состояние с уровнем энергии 4. Это так называемая накачка уровня 4 разрядом в газе.

Пусть в результате неупругих столкновений с другими атомами рассматриваемый атом быстро безизлучательно переходит с уровня энергии 4 на уровень 3. Такие переходы весьма вероятны, если кинетическая энергия атомов близка или больше разности энергий уровней 3 и 4.

Далее атом переходит с уровня 3 на уровень 2 с излучением фотона hν = E2 − E1.

Пусть с уровня 2 атомы быстро переходят на уровень 1 в результате неупругих столкновений атомов.

Если переходы 4 → 3 происходят быстро, то атомы накапливаются на уровне 3. Если переходы 2 →1 происходят быстро, то атомы не накапливаются на уровне 2. В результате между уровнями энергии 2 и 3 возникает инверсия заселенностей N3 > N2. Инверсия означает усиление света на переходе 3 → 2.

---------

Среда с усиливающим свет переходом используется в лазере для получения генерации света. Генератор из усилителя света получается в результате введения положительной обратной связи. Роль обратной связи для света играют два зеркала резонатора лазера.

Слева на рисунке изображено глухое (непрозрачное) сферическое зеркало, справа — полупрозрачное зеркало. Обратная связь, осуществляемая зеркалами, будет положительной, но не для всех световых длин волн, а только для тех, для которых на удвоенной длине резонатора укладывается целое число длин волн. В этом случае волна проходит резонатор лазера туда и обратно и наступает себе на хвост в той же фазе.

Через правое полупрозрачное зеркало свет выходит из лазера.

Генерация света будет в том случае, если усиление света при двойном проходе резонатора оказывается больше, чем потери на зеркалах резонатора и какие-либо другие возможные потери.

Факультатив. Интерферометр Фабри-Перо.

В интерферометре Фабри-Перо наблюдается многолучевая интерференция.

Интерферометр Фабри-Перо — это лазер без усиливающей свет среды, когда остаются только два зеркала.

Зеркала в общем случае сферические, но мы рассмотрим только простейший интерферометр Фабри-Перо с двумя плоскими зеркалами и рассмотрим его очень коротко.

Пусть снаружи на интерферометр нормально падает плоская монохроматическая волна света. Каждое из зеркал имеет высокий амплитудный коэффициент отражения r1 и r2 и небольшой амплитудный коэффициент пропускания τ1 и τ2. Расстояние L между зеркалами заполнено средой с показателем преломления n.

Рассмотрим амплитуду световой волны, проходящей через интерферометр. Световая волна будет многократно проходить пространство между зеркалами, каждый раз отражаясь от одного из двух зеркал. Каждый раз волна, падающая на второе зеркало, будет частично проходить сквозь него. Амплитуда волны на выходе из интерферометра E0вых представляет собой

бесконечный ряд амплитуд вышедших сквозь второе зеркало световых волн:

1− r1r2e4πiλ

Интенсивность пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды:

пропускания света. В лазере потери зеркал на пропускание компенсируются усилением лазерной среды, и пики становятся бесконечно узкими — это продольные моды излучения лазера.

Заметим, что, если угол α падения света на интерферометр отличен от нуля, то оптическая разность хода волны, которая не отражается от зеркал, и волны, которая отражается от зеркал по одному разу, равна 2 = 2nL cos(α ),

2nL

как и при отражении света от плоскопараллельной пластинки, а не cos(α ) , как можно было бы ожидать.

Рентгеновское излучение. Сплошной и линейчатый спектры. K,L,M,N,...–

серии спектральных линий.

Рентгеновское излучение получают с помощью рентгеновской трубки — это откачанная стеклянная трубка с двумя металлическими электродами, между которыми приложено напряжение в десятки киловольт.

Электроны ускоряются электрическим полем от катода к аноду. При ударе об анод электроны теряют энергию, часть которой переходит в энергию рентгеновского фотона.

Спектр образующегося излучения имеет следующий вид.

Спектр имеет сплошную и линейчатую составляющие.

Сплошной спектр — это тормозное излучение электронов, останавливающихся внутри материала анода, так как ускоренное движение зарядов всегда сопровождается излучением.

Обсудим подробнее линейчатый спектр.

Налетающий электрон имеет большую энергию и может выбить не только внешний электрон атома, но и один из электронов внутренних электронных оболочек атома. Если выбит электрон с внутренней оболочки атома, то электрон с любого из вышележащих уровней энергии может перейти на освободившейся уровень, что сопровождается излучением рентгеновского кванта E = hν .

Если электрон выбит с самого нижнего уровня энергии, то возможные переходы электронов с вышележащих уровней энергии образуют так называемую K -серию рентгеновских спектральных линий линейчатого спектра K1,K2,K3,...:

.

Если электрон выбит со второго уровня снизу, то возможные переходы электронов с вышележащих уровней энергии образуют L-серию рентгеновских линий: