[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 07

Экзамен. Параллелепипед Френеля.

За одно полное внутреннее отражение не удается получить разность фаз

π для двух линейных поляризаций. За два полных внутренних отражения 2

можно набрать сдвиг фаз 2 δϕ = π между двумя линейными поляризациями, 2

что позволяет получить циркулярно поляризованный свет из света линейной поляризации.

Свет нормально падает на переднюю грань параллелепипеда Френеля. Угол α при вершине параллелепипеда подобран так, чтобы выполнить условие

параллелепипед свет имеет линейную поляризацию, приведенную на нижеследующем рисунке.

А на выходе свет имеет круговую поляризацию.

Кристаллооптика.

Экзамен. Направление векторов D,E,B,H,k,S для плоской световой

волны в кристалле.

Рассмотрим сначала решение волновых уравнений для векторов E и B в

этих комплексных выражений. Далее будем рассматривать вещественные плоские волны.

Для нас будет важно, что оба поля зависят от координат и времени только через их комбинацию в виде (k,r −ω t). Обозначим эту комбинацию буквой

ϕ= (k,r )− ω t .

ϕ— это фаза волны без учета начальной фазы, которая может оказаться различной для различных проекций векторов E(ϕ ) и B(ϕ ).

Рассмотрим производную по времени, например, от вектора E(ϕ ):

Что в операторном виде можно записать, как:

∂= −ω d .

∂t dϕ

Рассмотрим производную от вектора E(ϕ ) по x координате:

ни от времени, ни от координат, так как вся зависимость электрического и

магнитного полей от времени и координат есть только через зависимость от ϕ = (k,r )−ω t .

Нас интересуют электромагнитные поля на оптических частотах, а не постоянные поля, поэтому константы в правых частях равенств можно считать

Факультативная вставка.

Обсудим подробнее, почему константы равны нулю. Рассмотрим, например первое уравнение системы:

косинусам одной частоты ω , возможно с разными начальными фазами. Равенство kxDx + kyDy + kzDz = const можно рассматривать, как Фурье

разложение константы, стоящей в правой части равенства. Если рассмотреть Фурье разложение константы, то в нем не могут присутствовать частоты отличные от нулевой частоты, что следует из единственности Фурье

следует равенство (k,D)= 0.

Аналогично остальные равенства системы уравнений можно расписать в декартовых координатах и пользуясь единственностью Фурье разложения получить:

Факультативно заметим, что из ортогональности векторов с вещественными координатами следует ортогональность тех же векторов с комплексными координатами. Это ортогональность не в том смысле, что скалярное произведение равно нулю, а в том смысле, что вещественным поворотом осей координат можно обнулить все координаты кроме одной для одного вектора и одновременно обнулить все координаты кроме другой для второго вектора.

Из полученных соотношений ортогональности видно, что вектор B

перпендикулярен 4-м остальным векторам k,D,E,S . Эти 4-е вектора лежат в одной плоскости, перпендикулярной вектору B .

Сгруппируем соотношения ортогональности по три:

Рассмотрим рисунок, на котором вектор B перпендикулярен плоскости рисунка, тогда остальные 4-е вектора окажутся в плоскости рисунка:

---------

Напомним, почему в кристалле векторы E и D различаются по направлению.

Вкристалле D = εˆE , где εˆ — тензор диэлектрической проницаемости. εˆ

—симметричный тензор второго ранга. В тензорной алгебре есть теорема о том, что симметричный тензор второго ранга поворотом системы координат можно привести к диагональному виду:

Если тензор диэлектрической проницаемости диагонален, то оси координат x, y,z — совпадают с главными диэлектрическими осями кристалла

рассматривать, как некоторый поворот от вектора E к вектору D при умножении на матрицу εˆ .

---------

Что будет, если этот поворот вектора D относительно вектора E выведет вектор D из плоскости перпендикулярной вектору B ?

Раньше мы выяснили, что в кристалле векторы B и D должны быть ортогональны в плоской световой волне в анизотропной среде. Если условие ортогональности D = εˆE B не выполнено, то такое направление вектора E невозможно в бегущей в кристалле плоской световой волне. Оказывается (без доказательства), что в этом случае, падающая на кристалл плоская световая волна распадается на две бегущие волны с разрешенными в кристалле и взаимно ортогональными направлениями поляризации, направлениями вектора E . Для каждой из этих волн условие εˆE B будет выполнено.

Эти две волны распространяются в кристалле независимо друг от друга и несколько в различающихся направлениях. Это явление расщепления падающей на кристалл плоской волны на две волны называется двулучепреломлением, и связано с тем, что показатели преломления кристалла для этих поляризаций различаются по величине.

Экзамен. Лучевая и фазовая скорости световой волны в кристалле.

И лучевая и фазовая скорости световой волны в кристалле являются аналогами одной и той же фазовой скорости в некристаллической изотропной среде. Групповую скорость волн в кристалле мы рассматривать не будем.

Лучевая скорость Vл в кристалле по определению показывает направление движения энергии световой волны, то есть, совпадает по

направлению с вектором Пойнтинга S = 4cπ [E, H ]:

Vл ↑↑ S .

В некристаллической изотропной среде интенсивность света или среднее значение вектора Пойнтинга связано с фазовой скоростью Vф соотношением:

котором усреднение по времени можно и опустить S = wVф . Это соотношение для фазовой скорости Vф справедливо для изотропной среды, а в кристалле

аналогично вводится понятие лучевой скорости Vл через вектор Пойнтинга S и объемную плотность энергии электромагнитного поля w:

S = wVл.

---------

Рассмотрим теперь фазовую скорость света в кристалле.

Фазовая скорость — скорость движения поверхности постоянной фазы.

kz − ω t + ϕ0 — фаза волны с волновым вектором k , направленным вдоль оси z.

Тогда kz − ω t + ϕ0 = const — уравнение поверхности постоянной фазы, фазовой поверхности или фронта волны.

Возьмем производную по времени от уравнения постоянной фазы, считая, что z координата фронта волны — функция времени.

Тогда

Vф = ω — фазовая скорость света в кристалле. k

Из формулы Vф = dz следует, что фазовая скорость направлена вдоль оси dt

z, направление которой было выбрано вдоль волнового вектора k . То есть

Vф ↑↑ k .

---------

Максимумы световой волны содержат максимум энергии и поэтому перемещаются вместе с энергией светового поля с лучевой скоростью Vл , как же при этом возможно, что поверхности постоянной фазы перемещаются с другой, фазовой скоростью Vф и в другом направлении?

Рассмотрим рисунок, показывающий перемещение максимумов световой волны вместе с энергией со скоростью Vл :

Водних направлениях вектор E поляризует кристалл сильнее, в других

—слабее. Когда кристалл сильно поляризуется на оптической частоте, диполи атомов сильнее излучают, их излучение, интерферируя с проходящей мимо световой волной, не изменяют ее амплитуду, так как мы рассматриваем только прозрачные кристаллы. Сильное излучение диполей сильнее поворачивает фазу волны и сильнее замедляет волну.

Врезультате скорость света в кристалле зависит именно от направления вектора E .

---------

Рассмотрим свет, линейно поляризованный вдоль одной из главных диэлектрических осей x, y,z . В главных осях тензор диэлектрической

проницаемости имеет следующий вид:

получаем: Vф =Vл — фазовая и лучевая скорости в кристалле совпадают, если

линейная поляризация (вектор E ) направлена вдоль одной из главных диэлектрических осей кристалла.

Аналогично в рассматриваемом случае поляризации света вдоль главной диэлектрической оси z можно ввести определение величин nz :

ny ≡ ε yµ .

Еще раз отметим, что показатели преломления nx,ny,nz соответствуют свету, поляризованному вдоль осей x, y,z , а не свету направленному вдоль осей

x, y,z .

Экзамен. Фазовая пластинка.

Фазовая пластинка — плоскопараллельная кристаллическая пластина, у которой две главные диэлектрические оси с разными диэлектрическими проницаемостями лежат в плоскости пластины.

Выберем направление оси z перпендикулярно фазовой пластинке, и направим оси x и y вдоль главных диэлектрических осей пластинки.

Пусть на фазовую пластинку нормально падает линейно поляризованный

свет.

Электромагнитные волны поперечны, поэтому электрическое поле E падающей волны можно разложить по главным диэлектрическим осям x и y .

Каждая из двух составляющих будет иметь свою лучевую и

оси y .

Разная фазовая скорость приводит к появлению разности фаз на выходе из пластины для двух линейных поляризаций Ex и Ey .

Пластину называют фазовой, так как она вносит дополнительную разность фаз для двух линейных поляризаций.

Экзамен. Пластинки λ и λ .

4 2

Пластинки λ и λ — фазовые пластинки.

42

Если оптическая разность хода двух линейных поляризаций равна λ , то