[ Крылов ] Печатные лекции / Лекция 25

Дифракция рентгеновских лучей на кристалле. Лауэграммы.

В эффекте Комптона мы рассматривали неупругое рассеяние рентгеновских лучей с изменением энергии и длины волны рентгеновского кванта. Теперь мы рассмотрим упругое рассеяние. При упругом рассеянии или дифракции рентгеновский квант рассеивается не на конкретном электроне, а сразу на всем кристалле. Кристалл тяжелый по сравнению с одним электроном, поэтому отдача, которую испытывает кристалл, передает ему очень малую

энергию p2 , где p изменение импульса рентгеновского фотона, M — масса 2M

кристалла. Поэтому энергия рентгеновского фотона при рассеянии фотона всем кристаллом почти не изменяется.

Кристаллом рассеивается электромагнитная волна, а правильная периодическая структура кристалла при этом играет роль дифракционной решетки. Электромагнитная волна рассеивается, как волна вероятности поймать рассеянный рентгеновский квант. Вероятность поймать квант в любой точке пространства пропорциональна квадрату модуля комплексной амплитуды рассеянной волны или пропорциональна интенсивности рассеянной волны.

Свет видимого диапазона имеет большую длину волны и на кристалле не рассеивается, так как дифракционные максимумы решетки появляются только в

том случае, если шаг решетки больше половины длины волны света d > λ . 2

Пусть на кристалл падает параллельный пучок монохроматических рентгеновских лучей, которому соответствует плоская монохроматическая волна.

---------

Кристалл состоит из повторяющихся в правильном порядке узлов. В простейшем случае узел кристалла содержит один атом, но узел может содержать и несколько атомов, например, разных элементов, расстояние между которыми одного порядка с расстоянием между соседними узлами кристалла. Излучение рассеянное разными узлами в направлении дифракционного максимума должно быть синфазно.

Кристалл — это правильная периодическая структура. В одномерном случае период один, а в трехмерном случае — три периода. То есть в кристалле есть три необязательно ортогональных направления не лежащих в одной плоскости, и в этих трех направлениях есть три разных периода.

Следовательно, независимо от структуры кристалла его всегда можно представить, как повторяющиеся элементарные ячейки в виде одинаковых параллелепипедов. В каждой вершине параллелепипеда находятся узлы кристалла.

И действительно, мысленно проведем из одного узла кристалла векторы к трем другим узлам вдоль трех периодов кристалла. На этих трех векторах можно построить параллелепипед. Если внутри параллелепипеда не будет ни одного узла, то этот параллелепипед и будет элементарной ячейкой кристалла.

Для начала проще представить структуру кристалла в двумерном случае. Тогда ячейки кристалла будут одинаковыми параллелограммами.

Элементарную ячейку кристалла можно выбрать разными способами, что видно из нижеследующего рисунка.

На рисунке приведены возможные варианты элементарных ячеек для одного и того же двумерного кристалла.

Для синфазности света рассеянного всеми узлами кристалла необходимо и достаточно, чтобы были синфазны волны, рассеянные всеми узлами одной элементарной ячейки кристалла.

На примере одной из ячеек видно, что для синфазности волн, рассеянных всеми узлами одной ячейки, необходимо и достаточно, чтобы синфазными были волны рассеянные узлами A,B1,B2 , которые расположены на двух сторонах AB1 и AB2 , выходящих из одного узла A.

Аналогично в трехмерном случае нужно чтобы были синфазны волны рассеянные узлами A,B1,B2,B3 , расположенными на трех ребрах AB1, AB2 ,

рассеянным лучом kd и ребром d .

Разность хода лучей рассеянных на узлах A и B равна:

= BC − AD = AB cos(α ) − AB cos(β ) = (cos(α ) − cos(β )) d . Синфазность рассеянных узлами A и B волн означает, что разность хода

где m — целое число.

Для трех ребер элементарной ячейки кристалла получим три уравнения:(cos(α1) − cos(β1)) d1 = m1λ

(cos(α2 )− cos(β2 )) 2 = 2λd m .

(cos(α3)− cos(β3)) d3 = m3λ

Здесь d1,d2,d3 — длины ребер элементарной ячейки кристалла; m1,m2,m3

—целые числа;

α≡ ( )

i k0,di ;

β≡ ( )

i kd ,di .

---------

Мы получили систему из трех уравнений для трех неизвестных углов β1,β2,β3, которые задают направление дифракции рентгеновских лучей. Однако, чтобы задать направление, достаточно двух углов, а не трех. Вспомним, например, сферические координаты. Следовательно, три угла

β1,β2,β3, определяющие направление дифракции не являются независимыми переменными.

И действительно, задание углов β1 и β2 оставляет только два возможных значения для угла β3. Это видно, если рассмотреть пересечение двух конусов с вершинами в точке A, построенных вокруг векторов AB1 = d1 и AB2 = d2 с

угловыми радиусами β1 и β2 . Вектор kd должен находится на поверхности каждого из двух конусов. Линии пересечения конусов — это и есть два варианта направления kd , которым соответствуют два угла β3.

(cos(α1) − cos(β1)) d1 = m1λ

(cos(α3)− cos(β3)) d3 = m3λ

рассматривать, как систему относительно других трех неизвестных. Эти неизвестные β1,β2,λ .

Если кристалл освещать монохроматическим рентгеновским излучением с заданной длиной волны λ , то дифракционных максимумов может не быть вовсе, если окажется, что λ из решения системы не совпадает с λ излучения. Дифракционные максимумы появляются только для некоторых значений длин волн λ .

При облучении кристалла рентгеновским излучением со сплошным спектром кристалл сам выберет длины волн, для которых возможны дифракционные максимумы. В разные дифракционные максимумы пойдет излучение с разными длинами волн.

Картина дифракционных максимумов — это и есть лауэграмма.

Обычно для получения лауэграммы берут маленький кристалл, например, размером один миллиметр. Кристалл ставят в рентгеновский пучок лучей, а за кристаллом на расстоянии гораздо больше одного миллиметра ставят фотопластинку. Изображение на фотопластинке и будет лауэграммой.

Условие Вульфа-Брега для дифракции монохроматических рентгеновских лучей на поликристаллическом порошке.

Если для получения лауэграмм используется рентгеновское излучение со сплошным спектром, то в данном случае рассматривается дифракция монохроматического излучения. Вместо всех возможных длин волн в данном случае используются все возможные ориентации крупинки кристалла в порошке относительно направления падающей волны.

Согласно Вульфу и Брегу, если излучение зеркально отраженное от двух соседних плоскостей узлов кристалла синфазно, то в этом направлении будет дифракционный максимум.

На рисунке изображены две горизонтальные параллельные плоскости узлов, d — расстояние между плоскостями, θ — угол скольжения падающего излучения.

Разность хода лучей отраженных от двух плоскостей равна

= AB + BC = 2d sin(θ ).

Условие синфазности отраженных волн

= mλ ,

где m — целое число.

Объединяя оба равенства, получим

2d sin(θ ) = mλ — это и есть условие Вульфа-Брега.

Здесь m — целое число, d — межплоскостное расстояние, θ — угол скольжения.

Эксперимент ставится следующим образом.

На небольшой образец поликристаллического порошка направляют монохроматический параллельный рентгеновский пучок лучей. За порошком перпендикулярно падающему лучу ставят фотопластинку на расстоянии гораздо большем диаметра пучка лучей.

Схема опыта имеет осевую симметрию. Следовательно, дифракционная картина также будет иметь осевую симметрию. Дифракционная картина — концентрические кольца. Как видно из нижеследующего рисунка, угловой радиус кольца равен 2θ .

Факультативная вставка.

Рассмотрим, как условие Вульфа-Брега соотносится с условием Лауэ. Покажем, что условие Вульфа-Брега достаточно для выполнения условия

Лауэ:

(В-Б) => (Л).

Рассмотрим элементарную ячейку кристалла, как это делает Лауэ. Рассмотрим плоскость узлов, которая является продолжением одной из граней элементарной ячейки. В качестве параллельной плоскости узлов рассмотрим плоскость второй параллельной грани элементарной ячейки.

Лучи, зеркально отражающиеся от плоскости, всегда отражаются синфазно, поэтому плоское зеркало и отражает зеркально. Выберем ребра AB1 = d1 и AB2 = d2 в первой плоскости узлов. Тогда при выполнении условия Вульфа-Брега излучение, рассеянное узлами A,B1,B2 , будет синфазно, так как эти узлы лежат в первой плоскости узлов, и все точки этой плоскости излучают синфазно в направлении зеркального отражения от плоскости.

Если по условию Вульфа-Брега от второй плоскости узлов излучение отражается синфазно излучению, отраженному от первой плоскости, то каждая точка второй плоскости излучает в направлении зеркального отражения синфазно каждой точки первой плоскости. Узел B3 по построению лежит во второй плоскости узлов, следовательно, рассеянное им излучение в направлении зеркального отражения от плоскости синфазно рассеянному излучению в этом направлении узлами A,B1,B2 .

Таким образом, мы показали, что при выполнении условия Вульфа-Брега автоматически выполняются условия Лауэ.

---------

Обратное несправедливо.

Дифракционные максимумы Лауэ, заведомо не отвечают условию Вульфа-Брега, если направление дифракции не лежит в плоскости падения ни для одной из граней элементарной ячейки кристалла.

При вращении кристаллической крупинки вокруг падающего луча дифракционный максимум Лауэ формирует на фотопластинке дифракционное кольцо. Однако четко видны только те кольца, которые отвечают условию Вульфа-Брега.

---------

Если направление дифракции удовлетворяет условию Вульфа-Брега, то при поворотах кристаллической крупинки вокруг оси перпендикулярной плоскости узлов кристалла условие Вульфа-Брега сохраняется.

Если же направление дифракции Лауэ не удовлетворяет условию ВульфаБрега, то направление дифракции не лежит в плоскости падения луча на плоскость узлов кристалла. В таком случае при поворотах кристаллической крупинки вокруг оси перпендикулярной плоскости узлов кристалла направление дифракционного максимума не сохраняется. Поэтому соответствующие кольца на фотопластинке имеют очень малую интенсивность.

Конец факультативной вставки.

Термодинамика света. Абсолютно черное тело.

Абсолютно черное тело — это идеализация.

Абсолютно черное тело поглощает весь падающий на его поверхность свет. При этом никакой свет не отражается и не рассеивается.

Поверхность реального тела не может быть абсолютно черной, но можно смоделировать небольшой участок поверхности, который будет вести себя подобно поверхности абсолютно черного тела.

Рассмотрим большую полость внутри непрозрачного тела. Пусть полость соединяется с внешним пространством через малое отверстие. Поверхность, мысленно натянутая на это отверстие, и будет моделью поверхности абсолютно черного тела.

Дело в том, что при малой площади отверстия относительно площади внутренней поверхности полости свет, попадая в отверстие, многократно отражается и рассеивается внутри полости, прежде чем попадает обратно в выходное отверстие. При каждом акте рассеивания и отражения свет частично поглощается стенками полости. В таком случае даже при высоком отражении стенок полости обратно из отверстия свет почти не выходит.

---------

Раньше в других вопросах мы несколько раз упоминали о световом поле, которое находится в тепловом равновесии с веществом.

Если снаружи в рассматриваемую полость специально не светить, то внутри полости излучение будет находиться в тепловом равновесии со стенками полости.

Нагретое тело излучает свет. Тела при комнатной температуре тоже излучают свет только в инфракрасном диапазоне.

Если стенки рассматриваемой полости нагреть, то из отверстия будет выходить свет, который называют излучением абсолютно черного тела.

Закон Кирхгофа.

Смысл закона Кирхгофа в том, что хорошо светится только черное тело. Если тело плохо поглощает свет, то оно и излучает мало. Например,

прозрачный кристалл при нагревании светится слабо, а черное тело при нагревании до той же температуры светится ярко. Зеркало при нагревании тоже плохо светится. Нагретый белый мел хуже светится, чем нагретый черный уголь.

Закон Кирхгофа — это опытный факт, но его можно обосновать исходя из термодинамики, если рассмотреть термодинамическое равновесие света и вещества при некоторой температуре. Смысл рассмотрения в том, что, сколько света поглощается, столько должно и излучаться, чтобы температура тела не изменялась в условиях равновесия.

Для описания излучения поверхности тела вводят понятие светимости R . Светимость — это плотность потока энергии или энергия, которая в единицу времени излучается единицей площади поверхности. Это понятие очень близко понятию освещенности поверхности. Освещенность — это тоже энергия в

единицу времени через единицу площади, только для падающего на поверхность света, а не для света, излучаемого поверхностью. Оба понятия близки к понятию интенсивности света, которая тоже представляет собой энергию в единицу времени через единицу площади, только интенсивность рассматривается для света, который идет почти в одном направлении, а светимость и освещенность применимы для любого распределения света по направлениям.

Светимость характеризует излучение света поверхностью в телесный

поверхности к ее коэффициенту поглощения зависит от частоты света и от температуры поверхности, но не зависит ни от каких других свойств поверхности тела.

---------

В кинетической теории газов доказывается, что плотность потока

энергии или энергия, которая в единицу времени проходит через мысленную площадку единичной площади в одну сторону в единичном интервале частот.

dw

Здесь wν = dν — спектральная плотность объемной плотности энергии, которая в условиях термодинамического равновесия зависит от абсолютной

температуры T , w = dW — объемная плотность энергии W . dV

Пусть a(ν ) — коэффициент поглощения поверхности, который зависит

от частоты света ν . Коэффициент поглощения равен отношению поглощенной энергии к энергии, падающей световой волны, — это безразмерная величина.

4 времени единицей площади поверхности в единичном интервале частот света,

падающего на поверхность в условиях термодинамического равновесия. Сравним ее с величиной rν — испускательной способностью или

энергией, которая в единицу времени излучается единицей площади поверхности в единичном интервале частот.

В случае термодинамического равновесия света и поверхности вещества получаем:

wν (T ) c a(ν ) = rν (T ). 4

Тогда

rν (T ) = wν (T ) c — это математическое выражение закона Кирхгофа.

a(ν ) 4

Правая часть равенства не зависит от свойств вещества, поверхность которого рассматривается. Левая часть равенства — это отношение испускательной способности к коэффициенту поглощения. Оказывается, что это отношение имеет одинаковое значение, например, для белого мела и черного угля.

Закон Стефана-Больцмана.

Светимость абсолютно черного тела пропорциональна четвертой степени температуры — это опытный факт, это и есть закон Стефана-Больцмана.

Здесь σ — постоянная Стефана-Больцмана. Стефан открыл закон экспериментально, Больцман позднее обосновал его теоретически.

Закон смещения Вина.

Назовем λmax величину такую, что λ = λmax при wλ = max .

c wν = wλ ν 2 .

c

Аналогично wλ = wν λ2 .

Если обозначить ν =νmax при wν = max . Тогда νmax = b'T . Конец факультативной вставки.

Формула Планка.

Спектральная плотность объемной плотности энергии при термодинамическом равновесии света с веществом равна:

ekБT −1

энергия света в одном состоянии; число возможных состояний в единичном интервале частот пропорционально ν 2 .

Факультатив. Зеркальный ящик. Плотность возможных состояний в пространстве импульсов или волновых векторов.

Покажем, что число возможных состояний в единичном интервале частот

действительно пропорционально ν 2 . Величина импульса фотона равна:

p = mV = mc = mc2 = E = ω . c c c

Длина волнового вектора или волновое число равно:

k = 2π = 2πν = ω .

λ λν c

Сравнивая два выражения, получим p = k .

То есть импульс фотона и волновой вектор излучения — это почти одно и то же.

Волновой вектор k имеет координаты kx,ky,kz . Рассмотрим фазу

плоской волны

k,r − ωt = kxx + ky y + kzz −ω t .