и, следовательно, по теореме Фубини
|
|
|
k |
1 |
|
|
|
Zk |
dω = kZ |
(−1)i+1 Z |
∂ui |
dui du1 . . . dui . . . duk |
|
1 i=1 |
|
|
|
X |
|
∂fi |
c |
|
J |
J − |
0 |
|
Zk
X
=(−1)i+1[fi|ui=1 − fi|ui=0] du1 . . . duci . . . duk
Jk−1 i=1
kZ
XlX |
Jk−1 |
c |
= |
(−1)i+l |
fi|ui=l du1 . . . dui . . . duk . |
i=1 =0,1 |
|
|
Последняя сумма по i и l является суммой интегралов от формы ω по всем граням куба Jk, т.е. по границе куба Jk. Знак перед интегралами определяет правильную (согласованную) ориентацию граней куба. Противоположные грани куба имеют противоположную ориентацию. В целом согласованную ориентацию граней можно описать следующим образом. Базис векторов τ1, . . . τk−1, лежащих в данной грани куба, определяет правильную ориентацию этой грани, если векторы N, τ1, . . . τk−1, где N — вектор внешней нормали к данной грани, определяют ориентацию пространства Rk. Действительно, если e1, . . . ek — стандартный базис Rk, то при i = 1 согласованную ориентацию грани u1 = 1 определяют векторы e2, . . . ek (т.е. форма du2 . . . duk), а вектор внешней нормали совпадает с вектором e1. Для остальных граней утверждение вытекает из свойства антисимметричности форм.
Можно также сказать, что если форма объема Ω задает ориентацию куба Jk, то правильную ориентацию ∂Jk задает форма NyΩ.
В дальнейшем согласованную ориентацию нам будет удобнее описывать при помощи не внешней нормали, а внутренней. Если n — вектор внутренней нормали к грани куба Jk, то базис векторов τ1, . . . τk−1, лежащих в данной грани, определяет согласованную ориентацию этой грани, если векторы n, τ1, . . . τk−1 задают противоположную ориентацию по отношению к ориентации пространства Rk.