Магнитное поле в вакууме 18.7

Элементарный заряд q равен ρdV, где dV – элементарный

объем, ρ – объемная плотность заряда, являющегося носителем тока, учтем также, что ρv=j плотность тока.

Магнитное поле создаваемое линейным элементом тока выглядит следующим образом:

Полное поле В в соответствии с принципом суперпозиции находим интегрированием этих выражений по всем элементам тока

Магнитное поле в вакууме 18.8

Как и любое другое векторное поле, поле В может быть представлено наглядно с помощью лини вектора В. Их проводят обычным способом – так, чтобы касательная к этим линиям в каждой точке совпадала с направлением вектора В, а густота линий была бы пропорциональна модулю вектора В в данном месте.

Магнитное поле обладает, как и электрическое поле, двумя важнейшими свойствами – поток и циркуляция вектора В.

Поток вектора В сквозь любую замкнутую поверхность

Равенство потока вектора В нулю также является следствием

того, что в природе не существует магнитных зарядов на которых начинались бы или заканчивались линии магнитной

индукции В.

Магнитное поле в вакууме 18.9

Расчеты магнитного поля токов часто упрощаются при учете

симметрии в конфигурации токов, создающих поле. В этом случае расчеты можно выполнять с помощью теоремы о

циркуляции вектора магнитной индукции.

Пусть в пространстве, где создано магнитное поле, выбран некоторый условный замкнутый

контур (не обязательно плоский) и указано положительное направление обхода контура. На каждом отдельном малом участке dl этого контура можно

определить касательную составляющую Bl вектора B в данном месте, то есть определить проекцию вектора B на

направление касательной к данному участку контура.

Магнитное поле в вакууме 18.10

Теорема о циркуляция вектора В: циркуляция вектора В по произвольному контуру равна произведению μ0 на алгебраическую сумму токов, охватываемых контуром:

ÑBdl 0 Ik

Причем Ik – величины алгебраические. Ток считается

положительным, если его направление связано с направлением обхода по контуру правилом правого винта. Ток противоположного отрицательным.

Лекция 19

Применение теоремы о циркуляции вектора В. Поле прямого тока. Применение теоремы о циркуляции вектора В. Поле соленоида.

Магнитно поле прямого тока.

Пусть постоянный ток I течет вдоль бесконечно длинного прямого провода, имеющего круглое сечение радиуса а. Необходимо найти индукцию В поля снаружи и внутри провода.

Из симметрии задачи следует, что линии вектора В в данном

случае должны иметь вид окружностей с центром на оси провода. Причем модуль вектора В должен быть одинаков во всех точках на расстоянии r от оси провода. Поэтому по теореме о

Магнитное поле в вакууме 19.3

Магнитное поле соленоида.

Пусть ток I течет по проводнику, намотанному по винтовой линии на поверхность цилиндра. Такой, обтекаемый током цилиндр называется соленоидом. Пусть на единицу длины соленоида приходится n витков проводника. Если шаг винтовой линии достаточно мал, то каждый виток соленоида

можно приближенно заменить замкнутым витком. Предполагается, что сечение проводника настолько мало, что можно считать, соленоида.

Магнитное поле в вакууме 19.4

Опыт показывает на то, что в центральной части катушки магнитное поле практически однородно и значительно сильнее, чем вне катушки. В предельном случае бесконечно длинного соленоида однородное магнитное поле целиком сосредоточено внутри соленоида.

Из соображений симметрии ясно, что линии вектора В внутри соленоида направлены вдоль его оси, причем вектор В

составляет с направлением тока

Такая конфигурация линий поля подсказывает выбрать контур в виде прямоугольника, две стороны которого параллельны линиям поля, причем одна из них находится вне соленоида. Вторые две стороны

оказываются перпендикулярны линиям магнитной индукции.

Магнитное поле в вакууме 19.5

В итоге получаем, что циркуляция по трем из четырех сторон

прямоугольника равна нулю. По стороне вне соленоида, так

как там нет поля. По сторонам перпендикулярным полю, так

как проекция линий поля на них равна нулю. Тогда согласно

теореме о циркуляции получаем

Bl 0nlI

Т.е. поле внутри длинного соленоида однородно (за исключением областей, прилегающих к торцам соленоида).

Произведение nI называют числом ампервитков.

Магнитное поле в вакууме 19.6

Магнитное поле тороида.

Тороид представляет собой провод, навитый на каркас, имеющий форму тора. Предполагается, что катушка по которой течет ток I плотно, то есть виток к витку, намотана на

немагнитный тороидальный сердечник.

Из соображений симметрии можно понять, что линии вектора В

должны быть окружностями, центры которых расположены на оси тороида. Они направлены так, что глядя вдоль них, мы увидели бы ток в витках, циркулирующим по часовой стрелке. Поэтому ясно, что в качестве контура следует взять одну из таких окружностей.