Электростатика. 15.7

Электростатика. 15.8

Для упрощения математических расчетов во многих случаях бывает удобно игнорировать тот факт, что заряды имеют дискретную структуру, и считать, что они “размазаны” определенным образом в пространстве. Другими словами удобно заменить истинное дискретное распределении зарядов фиктивным непрерывным распределением. Такой подход позволяет существенно упростить расчеты, не внося в тоже время значительных ошибок. При переходе к непрерывному распределению, вводят понятие о плотности зарядов (линейной λ, поверхностной σ или объемной ρ):

С учетом эти распределений принцип суперпозиции может быть

Электростатика. 15.9

Зная вектор Е в каждой точке, можно представить электрическое поле наглядно с помощью линий напряженности, или другими словами линий вектора Е. Эти линии проводят так, чтобы касательная к ним в каждой точке совпадала с направлением вектора Е, а густота линий, была бы пропорциональна модулю вектора Е. Кроме того этим линиям приписывают направление, совпадающее с направлением вектора Е.

По полученной картине можно легко судить о конфигурации данного электрического поля – о направлении и модуле

вектора Е в разных точках поля.

Электростатика. 15.10

Линии Е точечного заряда, очевидно, представляют собой совокупность радиальных прямых, направленных от заряда, если он положителен, и к заряду, если он отрицателен. Линии одним концом опираются на заряд, другим уходят в бесконечность. Линии нигде кроме заряда, не начинаются и не заканчиваются; они, начавшись на заряде (если заряд положителен), уходят в бесконечность, либо, приходя из бесконечности, заканчиваются на заряде (если заряд отрицателен).

Лекция 16 Поток вектора напряженности электрического поля. Теорема

Остроградского – Гаусса

Поле Е обладает, двумя чрезвычайно важными свойствами,

знание которых помогает глубже проникнуть в суть понятия

поля и сформулировать его законы, а также открыло

возможность решить ряд вопросов весьма просто и изящно.

Эти свойства связаны с потоком вектора Е и его циркуляцией.

Поток и циркуляция являются двумя важнейшими

характеристиками всех векторных полей.

Из принципа построения линий

напряженности следует, что густота линий Е равна модулю вектора Е. Тогда число линий, пронизывающих элементарную площадку dS, нормаль n которой составляет угол α с вектором Е,

определяется как EdScosα. Эта величина и есть поток dФ вектора Е сквозь

площадку dS. В более компактной форме dФ=EndS EdS

Электростатика. 16.2

Выбор направления вектора n

условен, его можно было бы направить и в противоположную

сторону. Если имеется некоторая

произвольная поверхность S то поток вектора Е сквозь нее

Ф EdS

S

Эта величина алгебраическая: она зависит не только от конфигурации поля Е, но и от выбора направления нормали. В случае замкнутой поверхности, нормаль принято брать направленной наружу области, области охватываемой этой поверхностью.

Электростатика. 16.3

Поток вектора напряженности электростатического поля через

замкнутую поверхность обладает специфическим свойством:

его величина пропорциональна электрическому заряду, расположенному внутри этой поверхности. Это утверждение

составляет физический смысл теоремы Гаусса.

Доказательство.

Окружим заряд q сферой радиуса r, центр которой совпадает с началом координат. Известно, что внешняя нормаль n к

элементу поверхности dS сферы направлена по радиусу

n rr

Электростатика. 16.4

Поток вектора E через поверхность сферы равен:

2)Пусть поверхность S является произвольной достаточно гладкой замкнутой поверхностью, причем начало

координат - место расположения заряда q - лежит внутри поверхности S. Заметим,

где α - угол между внешней нормалью n и радусом-вектором r точки, в окрестности которой расположен элемент поверхности dS; dΩ - элемент

телесного угла, под которым виден

элемент поверхности dS из начала

координат.

Электростатика. 16.5

В этом случае прямое вычисление потока вектора E через

замкнутую поверхность S приводит к результату

Здесь следует иметь ввиду, что для выпуклой замкнутой поверхности S величина d Ω>0 и

суммарное значение интеграла в данном выражении равно 4π. Если поверхность S не является строго выпуклой, то для части поверхности cosα>0, а для части поверхности cosα>0, в этом случае d Ω является

алгебраической величиной, но в результате Длявсеслучая,равно получаетсякогда начало4π.координат (т.е. точка расположения заряда q) лежит вне замкнутой поверхности суммарное значение

Ω=0, поскольку видимая часть поверхности и невидимая из начала координат часть поверхности приводят к одному и тому

же абсолютному значению телесного угла, но противоположных

Электростатика. 16.6

3)Реальное электростатическое поле обусловлено

совокупностью точечных зарядов (принцип суперпозиции), для каждого из которых соотношенqие

ФÑEndS 0

доказано для произвольной замкнутой поверхности S. Но тем самым доказана справедливость теоремы Гаусса для

произвольного электростатического поля: поток вектора напряженности электростатического поля через произвольную замкнутую поверхность S равен суммарному электрическому заряду, находящемуся внутри поверхности S, деленному на

величину ε .

Использование0 теоремы Гаусса в интегральной форме в отдельных случаях, отличающихся высокой степенью симметрии расположения электрических зарядов в пространстве, позволяет эффективно рассчитывать характеристики электростатического

поля.