27.3. Уравнения Колмогорова. Предельные вероятности состояний

При анализе случайных процессов с дискретными состояниями используют граф состояний, в котором каждое состояние S₀, S₁, …, S_n исследуемой системы изображают в виде прямоугольника, а переход из состояния S_i в состояние S_j под воздействием простейших потоков событий показывают дугой (стрелкой). Если около дуг записаны интенсивности потоков _ij, то граф состояния называют размеченным.

Пусть двухканальная СМО может находиться в одном из трех состояний: S₀ – оба канала свободны; S₁ – один канал занят обслуживанием (любой из двух), а другой свободен; S₂ – оба канала заняты обслуживанием. Переходы системы из состояния S₀ в состояние S₁ и из S₁ в S₂ происходят под воздействием простейших потоков заявок с интенсивностями ₀₁ и ₁₂ соответственно, а из S₁ в S₀ и из S₂ в S₁ – под воздействием потоков обслуживания с интенсивностями ₀₁ и ₁₂. Тогда размеченный граф состояний СМО имеет вид, изображенный на рис.27.1.

Рис.27.1. Размеченный граф состояний

Пребывание СМО в том или ином состоянии носит вероятностный характер. Обозначим p_i(t) вероятность, что в момент времени t СМО находится в состоянии S_i. Поскольку нахождение СМО в состояниях S₀, S₁ и S₂ образует полную группу событий, то

.

Зададим малое приращение времени t и найдем вероятность того, что СМО в момент времени t + t будет находиться в состоянии S₁. Это достигается разными вариантами.

а) В момент t СМО находилась в состоянии S₁. Она могла быть выведена из этого состояния простейшим потоком с суммарной интенсивностью ₁₀ + ₁₂. Как показано выше, вероятность этого приближенно равна

(₁₀ + ₁₂)t.

Тогда вероятность невыхода из S₁ приближенно равна

1 - (₁₀ + ₁₂)t.

Согласно теореме умножения вероятностей, вероятность того, что СМО останется в состоянии S₁ в момент t + t приближенно равна:

.

б) В момент t СМО находилась в состоянии S₀. Переход СМО из S₀ в S₁ происходит под воздействием потока с интенсивностью ₀₁ с вероятностью приближенно равной ₀₁t. Тогда вероятность, что при этом СМО будет находиться в состоянии S₁ в момент t + t в этом варианте приближенно равна p₀(t)₀₁t.

в) В момент t СМО находилась в состоянии S₂. Переход СМО из S₂ в S₁ происходит под воздействием потока с интенсивностью ₂₁ с вероятностью приближенно равной ₂₁t. Тогда вероятность, что при этом СМО будет находиться в состоянии S₁ в момент t + t в этом варианте приближенно равна p₂(t)₂₁t.

Применяя теорему сложения вероятностей для всех этих вариантов, можно записать:

.

Раскрыв скобки, перенеся p₁(t) в правую часть приближенного равенства и поделив уравнение на t, получим:

.

При переходе к пределу при t  0 приближенные равенства перейдут в точные и получится дифференциальное уравнение:

.

Проводя аналогичные рассуждения для других состояний СМО, можно получить систему дифференциальных уравнений, которые называются уравнениями Колмогорова. При записи этих уравнений опустим зависимость вероятностей от времени, которая при этом подразумевается.

В общем случае система дифференциальных уравнений Колмогорова может быть построена по следующему алгоритму:

• В левой части уравнения стоит производная по времени вероятности i-го состояния.

• В правой части уравнения стоит сумма произведений вероятностей всех состояний, из которых идут стрелки в i-тое состояние на интенсивности соответствующих потоков минус произведение вероятности i-того состояния на суммарную интенсивность потоков, выводящих из i-того состояния.

Такое дифференциальное уравнение записывается для каждого состояния. При задании начальных условий можно решить систему дифференциальных уравнений Колмогорова и найти изменение во времени вероятностей состояний p_i(t).

Можно показать, что при t   эти вероятности независимо от начальных условий стремятся к некоторым предельным значениям, которые называются предельными (или финальными) вероятностями СМО. Смысл предельных вероятностей состоит в том, что они показывают среднее относительное время нахождения СМО в данном состоянии.

Так как предельные вероятности не изменяются во времени, то, заменяя в уравнениях Колмогорова производные нулями, получим систему алгебраических уравнений для определения предельных вероятностей.

Можно показать, что ранг матрицы такой системы на единицу меньше числа уравнений, поэтому при решении следует отбросить одно из уравнений и добавить так называемое условие нормировки

.

Систему таких уравнений можно составить по размеченному графу. Слева в уравнениях стоит предельная вероятность данного состояния, умноженная на суммарную интенсивность всех потоков, выводящих из данного состояния, а справа – сумма вероятностей всех состояний, которые непосредственно могут перейти в данное состояние на интенсивности соответствующих потоков.

Пример. Расчетный узел в отделе игрушек детского универмага состоит из 2 кассовых аппаратов. Размеченный граф состояний такой СМО имеет вид:

S₀ – обе кассы свободны; S₁ – одна касса свободна, а другая занята; S₂ – обе кассы заняты. Найти относительное время пребывания СМО в каждом состоянии, если ₀₁ = 60; ₁₂ = 48; ₁₀ = ₂₁ = 36 (покупателей/час).

Решение. Относительное время пребывания СМО в каждом состоянии равно предельным вероятностям состояний. Составляем систему уравнений:

Из системы уравнений для предельных вероятностей, полученных выше, убрали второе уравнение, как самое сложное, и добавили условие нормировки. Подставляя значения интенсивностей потоков, получаем:

откуда

Решая, находим

.

Следовательно, 20,4 % рабочего времени обе кассы свободны, 34,1 % времени занята одна касса и 45,5 % времени заняты обе кассы.