Logic шпора
.doc
17 . Обращение суждений. Суждение – это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности. Обращение - преобразование суждения, в результате которого в заключении субъект исходного суждения становится предикатом, а предикат – субъектом. Схема: S есть Р. Р есть S. Обращение подчиняется правилу распределенности терминов в суждениях, согласно которому субъект распределен в общих и не распределен в частных суждениях, предикат распределен в отрицательных и не распределен в утвердительных суждениях. В соответствии с этим правилом различают простое (чистое) обращение и обращение с ограничением. Простым (или чистым) называется обращение без изменения количества суждения. Оно бывает тогда, когда и S и Р распределены или не распределены. Если же предикат исходного суждения не распределен, то он не может быть распределен и в заключении, где он является субъектом. Поэтому его объем ограничивается. Такое обращение называется обращением с ограничением. Иными словами, обращение с ограничением получается тогда, когда изменяется количество исходного суждения, т.е. изменяется кванторное слово ( так «все» меняется на «некоторые» и наоборот). Схема обращения суждения А (Р не распр): Все S суть Р. Некоторые Р суть S Простое обращение: Все квадраты – равносторонние прямоугольники. Все равносторонние прямоугольники – квадраты. С ограничением: “Все студенты нашей группы (S) сдали экзамены (Р не распр)”. Следовательно, некоторые сдавшие экзамены – студенты нашей группы”. Обращая суждение, необходимо опираться на правило вывода: термин, не распределенный в посылке, не может быть распределен в заключении. => становясь S выводного суждения, Р также не может быть распределен. Его объем ограничивается (“некоторые ”). Схема обращения суждения Е. Так как в нем и S, и Р распр., то его обращение простое. “Ни один студент нашей группы не является неуспевающим. Следовательно, ни один неуспевающий не является студентом нашей группы”. Ни одно S не есть Р. Ни одно Р не есть S Частноутвердительное суждение (I). Простое обращение. Р, не распределенный в исходном суждении, не распределен и в выводном суждении. “Некоторые студенты нашей группы – отличники. Следовательно, некоторые отличники – студенты нашей группы”. Некоторые S cуть Р. Некоторые Р суть S С ограничением. Когда Р распределен, S нет. «Некоторые музыканты – композиторы. Все композиторы – музыканты». Было некоторые, стало все. Некоторые S cуть Р. Все Р суть S Частноотрицательное суждение (О), как правило, не обращается. «Некоторые животные не являются собаками. ???». |
18 . Превращение суждений.
Суждение – это форма мысли, посредством которой что-либо утверждается или отрицается, и которая принимает логическое значение истинности или ложности. Превращение суждения – изменяется качество посылки без изменения ее количества, при этом Р заключения является отрицанием предиката посылки, т.е. преобразование суждения в суждение, противоположное по качеству с предикатом, противоречащим предикату исходного суждения. Схема: S есть Р. S не есть не-Р. При этом частноутвердительное суждение превращатется в частноотрицательное и наоборот, а общеутвердительное – в общеотрицательное и наоборот. Превращать можно любые категорические суждения: общеутвердительные, общеотрицательные, частноутвердительные и частноотрицательные. Общеутвердительное суждение (А) превращается в общеотрицательное (Е). Записывается А → Е. Все S суть Р. Ни одно S не есть не-Р. «Все волки – хищные животные. Ни один волк не является нехищным животным». Общеотрицательное суждение (Е) превращается в общеутвердительное (А). Е → А Ни одно S не есть Р. Все S суть не-Р. «Ни одна ель не является лиственным деревом. Все ели – нелиственные деревья». Частноутвердительное суждение (I) превращается в частноотрицательное (О). I → O Некоторые S cуть Р.Некоторые S не суть не-Р Например: “Некоторые грибы съедобны. Некоторые грибы несъедобны». Частноотрицательное суждение (О) превращается в частноутвердительное (I). О → I Некоторые S не суть Р. Некоторые S суть не-Р Например: “Некоторые из присутствующих не являются совершеннолетними. Следовательно, некоторые из присутствующих являются несовершеннолетними”. Таким образом, чтобы превратить суждение, нужно заменить его связку на противоположную, а предикат – на понятие, противоречащее предикату исходного суждения. Суждение, полученное посредством превращения, сохраняет количество, но изменяет качество исходного суждения. Субъект исходного суждения не изменяется. Заключения, полученные с помощью этой логической операции, содержат новые знания о предмете. |
19. Противопоставление предикату.
Противопоставление предикату - это непосредственное умозаключение, при котором в заключении предикатом является субъект, а субъектом – понятие, противоречащее предикату исходного суждения, связка же меняется на противоположную. Непосредственное умозаключение – дедуктивное умозаключение, делаемое из одной посылки. Схема: S есть Р. не-Р не есть S. То есть, мы вместо Р берем не-Р, меняем местами не-Р и S, связку меняем на противоположную. Противопоставление предикату является сложной операцией, состоящей из двух других - превращения, а затем обращения результата превращения. Так, если взять суждение типа А - "Все рыцари - благородные люди", то в результате превращения его мы получим суждение типа Е с понятием, отрицающим предикат посылки, - "Ни один рыцарь не является неблагородным человеком". Подвергнув же это суждение обращению, мы получим суждение типа Е с отрицанием предиката посылки (не-Р) на месте субъекта - "Ни один неблагородный человек не является рыцарем". Что и вытекает из общего правила для противопоставления предиката. Для А. Все S есть Р. Ни одно не-Р не есть S. (пример с рыцарем). Для Е. Ни одно S не есть Р. Некоторые не-Р есть S. Ни одна поганка не является съедобным грибом. Некоторые несъедобные грибы – поганки. Для О. Некоторые S не есть Р. Некоторые не-Р есть S. Некоторые студенты – отличники. Некоторые неотличники – студенты. Для I правило не работает. Из такого суждения мы не можем осуществить однозначного противопоставления предикату, так как в результате превращения такого суждения образуется частно-отрицательное суждение типа О, которое не имеет однозначного формального обращения. Поэтому, частно-утвердительное суждение не имеет формального противопоставления предикату.
|
20. Закон тождества.
Внешне самым простым из логических законов является закон тождества. Он говорит: если высказывание истинно, то оно истинно. Иначе говоря, каждое высказывание вытекает из самого себя и является необходимым и достаточным условием своей истинности. Символически: А → А; если А, то А. Например: «Если дом высокий, то он высокий», «Если трава черная, то она черная» и т.п. «В процессе определенного рассуждения всякое понятие и суждение должно быть тождественным самим себе». Пример нарушения: Материя вечна. Сукно – материя. Сукно вечно. В процессе рассуждения нельзя подменять одно понятие другим. Часто такая ошибка возникает из-за слов омонимов. В приложениях закона тождества к конкретному материалу с особой наглядностью обнаруживается общая черта всех логических законов. Они представляют собой тавтологии, как бы повторения одного и того же и не несут содержательной, «предметной» информации. Это — общие схемы, отличительная особенность которых в том, что, подставляя в них любые конкретные высказывания (как истинные, так и ложные), мы обязательно получим истинное выражение. 21. Закон противоречия.
Закон противоречия говорит о противоречащих друг другу высказываниях, т.е. о высказываниях, одно из которых является отрицанием другого. К ним относятся, например, высказывания «Луна - спутник Земли» и «Луна не является спутником Земли», «Трава — зеленая» и «Неверно, что трава зеленая» и т.п. В одном из противоречащих высказываний что-то утверждается, в другом — это же самое отрицается. Если обозначить буквой А произвольное высказывание, то выражение не-А (неверно, что А) будет отрицанием этого высказывания. Идея, выражаемая законом противоречия: высказывание и его отрицание не могут быть вместе истинными. Используя вместо высказываний буквы, эту идею можно передать так: неверно, что А и не-А. Неверно, например, что трава зеленая и не зеленая, что Луна — спутник Земли и не спутник Земли и т.п. Закон противоречия выражается формулой: ~ (A & ~ A), неверно, что А и не-А. Закон противоречия говорит о противоречивых высказываниях — отсюда его название. Но он отрицает противоречие, объявляет его ошибкой и тем самым требует непротиворечивости — отсюда другое распространенное понятие — закон непротиворечия. Если применить понятия истины и лжи, закон противоречия можно сформулировать так: никакое высказывание не является вместе истинным и ложным. Иногда закон противоречия формулируют следующим образом: из двух противоречащих друг другу высказываний одно является ложным. |
22. Закон исключенного третьего.
Закон исключённого третьего, как и закон противоречия, устанавливает связь между противоречащими друг другу высказываниями. Он утверждает: из двух противоречащих высказываний одно является истинным, другое ложным, а третьего не дано. Символически: A v ~ А, А или не-А. Например: «Аристотель умер в 322 г. до н.э. или он не умер в этом году», «Личинки мух имеют голову или не имеют ее» и т.п. Само название закона выражает его смысл: дело обстоит так, как говорится в рассматриваемом высказывании, или так, как говорится в его отрицании, и никакой третьей возможности нет. Человек говорит прозой или не говорит прозой, собака выполняет команду или не выполняет ее и т.п. — других вариантов не существует. Мы можем не знать, противоречива некоторая теория или нет, но на основе закона исключенного третьего еще до начала исследования мы вправе заявить: она или непротиворечива или противоречива. Отрицающие пары суждений: Это S есть Р. Это S не есть Р (единичные суждения); Все S есть Р. Некоторые S не есть Р (суждения А и О); Ни одно S не есть Р. Некоторые S есть Р (Суждения Е и I). В отношении пар А и О, Е и I действует как данный закон, таки закон противоречия. В этом их сходство. Но например в паре А Е будет действовать только закон противоречия: Все грибы съедобны. Ни один гриб не является съедобным. Они оба могут быть ложными, но не истинными.
23. Закон достаточного основания
Закон достаточного основания – согласно этому закону, для того, чтобы признать высказывание о предмете истинным, должно быть указано достаточное основание. Всякая истинная мысль должна быть достаточно обоснованна. Ложные мысли обосновать нельзя. Был сформулирован в XVII в. Лейбницем. У этого закона нет формулы, у него только содержательный характер. В доказательстве аргументами для подтверждения тезиса служат единичные факты, аксиомы, постулаты. В настоящее время выделяется достаточное условие (основание, необходимость), которое не является достаточным, но тем не менее не противоречит закону, это что-то ранее доказанное, аксиомы, леммы, данные эксперимента и т.д. |
24. Общая характеристика умозаключения. Виды умозаключений.
Умозаключение – это форма мысли, в результате которой выводится новое знание на основе раннее известного. Раннее известное знание называется посылками, новое заключением. Все рыбы дышат жабрами (1-ая посылка), карась рыба (2-ая посылка), карась дышит жабрами (заключение). Логический переход от посылок к заключению – вывод. По составу или по структуре все умозаключения делятся на 2-е группы: Непосредственные – это такие умозаключение, заключение в которых выводится из одной посылки. Все львы хищники, нет львов, которые не были бы хищниками. Посредственные – это такие умозаключения, заключение в которых выводится из 2-х и более посылок. По характеру логического следования все умозаключения делятся на 2-е группы: Дедуктивные (необходимые) – между посылками и заключением которых имеет место отношение логического следования. Отношение логического следования имеет место тогда и только тогда, когда: 1. Посылки связанны по смыслу. 2. Импликация если А, то В, является логическом законом, то есть тождественно-истинной формой. Тождественно-истинная формула – это формула, принимающая логическое значение истины при всех наборах логических значений входящих в неё переменных. Для выяснения дедуктивного суждения: 1) Символически выразить посылки и заключение. 2) Присоединить посылки к друг другу логическим союзом конъюнкция и получить то, что обозначается как совокупность посылок, то есть основание импликации. 3) присоединить посылки и заключение логическим союзом импликация. 4) Построить таблицу истинности для полученного выражения и проверить является ли оно логическим законом. Если нет, тогда будет вероятностным. Не дедуктивные (вероятностные) – это такие умозаключения, между посылками и заключениями которых не имеет место отношение логического следования.
|
25. Простой категорический силлогизм.
Термин силлогизм – от греч. syllogismos – выведение следствия. Категорический силлогизм (или просто: силлогизм) — это дедуктивное умозаключение, в котором из двух категорических высказываний выводится новое категорическое высказывание. Выражения «Все ... есть ...», «Некоторые ... есть ...», «Все ... не есть ...» и «Некоторые ... не есть...» рассматриваются как логические постоянные, т.е. берутся как единое целое. Это не высказывания, а определенные логические формы, из которых получаются высказывания путем подстановки вместо многоточий каких-то имен. Подставляемые имена называются терминами силлогизма. Существенным является следующее традиционное ограничение: термины силлогизма не должны быть пустыми или отрицательными. В силлогизме, как и во всяком дедуктивном умозаключении, в заключении не может содержаться информация, отсутствующая в посылках. Заключение только развертывает информацию посылок, но не может привносить новую информацию, отсутствующую в них. Примером силлогизма может быть: Все жидкости упруги. Вода — жидкость. Вода упруга. В каждом силлогизме должно быть три термина: меньший, больший и средний. Меньшим термином называется субъект заключения (в примере таким термином является термин «вода»). Большим термином именуется предикат заключения («упруга»). Термин, присутствующий в посылках, но отсутствующий в заключении, называется средним («жидкость»). Меньший термин обозначается обычно буквой S, больший — буквой Р и средний — буквой М. Посылка, в которую входит больший термин, называется большей. Посылка с меньшим термином называется меньшей. Большая посылка записывается первой, меньшая — второй. Логическая форма приведенного силлогизма такова: Все М есть Р. Все S есть М. Все S есть Р.
|
26. Фигуры и модусы категорического силлогизма.
Фигуры кат. силл. различаются по положению среднего термина в посылках (является он субъектом или предикатом в большей и меньшей посылках). Различаются четыре фигуры силлогизма. 1. Все птицы (М) имеют крылья (Р). Все страусы (S) — птицы (М). Все страусы имеют крылья. 2. Все рыбы (Р) дышат жабрами (М). Киты (5) не дышат жабрами (М). Все киты, не рыбы. 3. Все бамбуки (М) цветут один раз в жизни (Р). Все бамбуки (М) — многолетние растения (S) Некоторые многолетние растения цветут один раз в жизни. 4. Все рыбы (Р) плавают (М). .. Все плавающие (М) живут в воде (S). Некоторые живущие в воде — рыбы. Посылками и заключениями силлогизмов могут быть категорические суждения четырех видов: SaP, SiP, SеР и SoP. Силлогизмы, как и все дедуктивные умозаключения, делятся на правильные и неправильные. Задача логической теории силлогизма — систематизировать правильные силлогизмы, указать их отличительные черты. Модусами силлогизма называются разновидности фигур, отличающиеся характером посылок и заключения. Всего с точки зрения всевозможных сочетаний посылок и заключения в каждой фигуре насчитывается 64 модуса. В четырех фигурах 4 х 64 = 256 модусов. Из всех возможных модусов силлогизма только 24 модуса являются правильными, по шесть в каждой фигуре. Из них 5 модусов ослабленны, т.е. их заключения О и I. Итого 19. 1-я фигура: Barbara, Celarent, Darii, Ferio, 2-я фигура: Cesare, Camestres, Festino, Baroco, З-я фигура: Barbari, Cesaro, iai, oao, aii, eio 4-я фигура: aai, aee, iai, eao, eio В каждом из этих названий содержатся три гласных буквы. Они указывают, какие именно категорические высказывания используются в модусе в качестве его посылок и заключения. Так, название Celarent означает, что в этом модусе первой фигуры большей посылкой является общеотрицательное высказывание (SeP), меньшей — общеутвердительное (SaP) и заключением — общеотрицательное высказывание (SeP).
1 2 3 4 |
.
27. Общие правила категорического силлогизма.
Кат. силлогизм – вид дедуктивного умозаключения, в кот. из 2х категорических высказываний получается новое. Для того, чтобы получить истинное заключение, надо брать истинные посылки и соблюдать следующие правила. Правила терминов. 1. Должны быть только 3 термина (SPM), ошибка учетверение термина. Движение вечно, хождение в университет это движение, хождение в университет вечно. В 1-ой посылке термин употребляется в общефилософском смысле, во второй – конкретный вид механического передвижения 2. Средний термин должен быть распределён хотя бы в одной из посылок. Все гусеницы едят салат. Я ем салат. Я гусеница. При анализе силлогизма рассматривать где больший, где меньший термин, надо с конца. Необходимо квалифицировать ошибку: Надо найти S, M, P. В заключении первый термин всегда – меньший, второй – всегда больший, тот термин, который не указан в заключении, но присутствует в посылках - средний. Обозначить распределённость терминов в посылках и заключении. Та посылка, которая содержит больший термин, называется большей. Та, которая меньший – меньшей. 3. Термин, не распределённый в посылке, не может быть распределён в заключении. «Во всех городах за полярным кругом есть белые ночи. СПб не за полярным кругом. В СПб нет булых ночей». Р вывода распределен, а в посылке нет. Правила посылок 1. Из 2-ух отрицательных посылок нельзя получить достоверную. Одна из посылок должна быть утверждающим суждением. Ни один папоротник никогда не цветёт. Данное растение не цветёт. Данное растение – папоротник. 2. Из 2-ух частных посылок заключение не следует с необходимостью, оно будет неопрелделенным. 1-а из посылок должна быть общим суждением. Некоторые учащиеся являются студентами. Некоторые дворники являются учащимися. Некоторые дворники-студенты. 3. Если 1-а из посылок является отрицательным суждением, то и заключение должно быть отрицательным. Все гейзеры – горячие источники. Это источник не горячий. Это не гейзер. 4. Если одна из посылок является частным суждением, то и заключение должно быть частным. Все христиане выступают за мир на земле. Некоторые студенты – христиане. Некоторые студенты за мир на земле. |
28. Первая фигура категорического силлогизма, ее модусы.
Возьмем силлогизм: Все металлы (М) ковки (Р) Железо (S) — металл (М). Железо (S) ковко (Р).
Отношения между тремя терминами этого силлогизма (модус Barbara) представляются тремя концентрическими кругами. Эта схема интерпретируется так: если все М (металлы) входят в объем Р (ковких тел), то с необходимостью S (железо) войдет в объем Р (ковких тел), что и утверждается в заключении «Железо ковко». Правило первой фигуры: Большая посылка должна быть общей. Меньшая утвердительной. !(Celarent, Darii, Ferio)!
29. Энтимема.
В обычных рассуждениях нередки силлогизмы, в которых не выражается явно одна из посылок или заключение. Такие силлогизмы называются энтимемами ( в переводе «в уме). Примеры энтимем: «Щедрость заслуживает похвалы, как и всякая добродетель», «Он — ученый, поэтому любопытство ему не чуждо», «Керосин — жидкость, поэтому он передает давление во все стороны равномерно» и т.п. В первом случае опущена меньшая посылка «Щедрость — это добродетель», во втором — большая посылка «Всякому ученому не чуждо любопытство», в третьем — опять-таки большая посылка «Всякая жидкость передает давление во все стороны равномерно». Для оценки правильности рассуждения в энтимеме следует восстановить ее в полный силлогизм. |
30. Язык логики высказываний. 31. Определение формулы логики высказываний.
Логика высказываний является теорией тех логических связей высказываний, которые не зависят от внутреннего строения (структуры) простых высказываний. Логика высказываний — это определенная совокупность формул, т.е. сложных высказываний, записанных на специально сконструированном искусственном языке. Язык логики высказываний включает: 1) неограниченное множество переменных: А, В, С, ... , А1, В1, С1, ..., представляющих высказывания; 2) особые символы для логических связок: & — «и», v — «или», v (с точкой наверху) — «либо, либо», → — «если, то», ↔ — «если и только если», ~ — «неверно, что»; 3) скобки, играющие роль знаков препинания обычного языка. Чтобы использовать меньшее количество скобок операция отрицания выполняется первой, затем идут конъюнкция и дизъюнкция, и только после этого импликация и эквивалентность. Формулам логики высказываний, образованным из переменных и связок, в естественном языке соответствуют предложения. К примеру, если А есть высказывание «Сейчас день», В — высказывание «Сейчас светло» и С — высказывание «Сейчас холодно», то формула: А → В v С, иди со всеми скобками: (А → (В v С)), представляет высказывание «Если сейчас день, то сейчас светло или холодно». Формула: В & С → А, или ((В & С) → А), представляет высказывание «Если сейчас светло и холодно, то сейчас день». Формула: ~ B → ~ A, или ((~ B) → (~A)), представляет высказывание «Если неверно, что сейчас светло, то неверно, что сейчас день» и т.п. Подставляя вместо переменных другие конкретные (истинные или ложные) высказывания, получим другие переводы указанных формул на обычный язык. Формула, которой не соответствует осмысленное предложение, построена неправильно.
|
32. Семантические таблицы логических союзов. 33. Построение таблицы истинности для данной формулы.
Логика высказываний исходит из следующих двух допущений: 1.всякое высказывание является либо истинным, либо ложным (принцип двузначности); 2.истинное значение сложного высказывания зависит только от истинностных значений входящих в него простых высказываний и характера их связи. Эти определения формулировались в виде таблиц истинности и назывались табличными определениями союзов. Соответственно, само построение логики высказываний, опирающееся на данные определения, называется табличным ее построением. Согласно принятым определениям: — конъюнкция (и) истинна, когда оба входящих в нее высказывания истинны; — дизъюнкция (или)истинна, когда хотя бы одно из входящих в нее высказываний истинно; — строгая дизъюнкция (или) истинна, когда одно из входящих в нее высказываний истинно, а второе ложно; — импликация (если.. то) истинна в трех случаях: ее основание и следствие истинны; основание ложно, а следствие истинно; и основание, и следствие ложны; — эквивалентность (если и только если) истинна, когда два приравниваемых в ней высказывания оба истинны или оба ложны; — отрицательное высказывание истинно, когда отрицаемое высказывание ложно, и наоборот. С помощью таблиц истинности в случае любого сложного высказывания можно определить, при каких значениях истинности входящих в него простых высказываний это высказывание истинно, а при каких ложно. Каждой формуле логики высказываний соответствует таблица истинности, показывающая, при каких подстановках конкретных высказываний в данную формулу она дает истинное сложное высказывание, а при каких ложное. Всегда истинная формула логики высказываний, или тавтология, — это формула, дающая истинное высказывание при любых подстановках в нее конкретных (т.е. истинных или ложных) высказываний. Всегда ложная формула, или логическое противоречие, всегда превращается в ложное высказывание при подстановке конкретных высказываний вместо ее переменных. Покажем для примера что формула (A → B) → (~ B → ~ A) является тавтологией. Для этого переберем варианты подстановок вместо переменных А и В конкретных высказываний. В результирующей колонке таблицы встречается только значение «истинно», т.е. формула является всегда истинной |