Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

320.7 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра высшей математики

ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ

Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по курсу

«Математика» для студентов технических направлений

Составитель Т.С. Жирнова

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 4 от 22. 02. 01

Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 150200 Протокол № 5 от 05. 03. 01

Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса КузГТУ

Кемерово 2001

Введение

Методические указания рассчитаны на проведение практических занятий и организацию самостоятельной работы студентов по овладению различными методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.

В начале каждого раздела методических указаний помещены некоторые определения, формулы, краткие сведения по теории и рекомендации, необходимые для решения последующих задач, а затем приведены подробные примерные решения типичных задач.

Для изучения и освоения данной темы необходимо знание основных разделов математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление. Теоретические основы для решения дифференциальных уравнений можно найти в учебном пособии В.М. Волкова, Е.А. Волковой, В.А. Гоголина и др. «Курс высшей математики» ч. 2, выпущенном КузГТУ в 1995 году.

По результатам изучения данного материала рекомендуется выполнить типовой расчёт. На с. 21 приведено содержание рекомендуемых индивидуальных заданий, условия к которым даны далее на с. 2129.

Индивидуальные задания взяты из методической разработки для преподавателей «Дифференциальные уравнения», составленной А.И. Каширцевой, Г.А. Камболиной, И.А. Коршиковой, Л.А. Лукиной, Л.И. Рогожкиной и выпущенной КузПИ в 1983 году.

1. Дифференциальные уравнения первого порядка

Уравнения, связывающие независимую переменную x, искомую функцию y и её первую производную y′, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.

Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F(x,y, y′) = 0 или в разрешённом относительно y′ виде

y′ = f(x,y).

(1.1)

Данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить из этого множества конкретное решение, необходимо задать дополнительное условие. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию

y(x0) = y0,

(1.2)

называется задачей Коши. Условие (1.2) называется начальным условием.

Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (1.1) в области D изменения переменных x, y называется функция y =ϕ(x, c) , обладающая следующими условиями: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной с; 2) для любого начального условия (x0, y0) D существует единственное значение с = с0, при котором решение y =ϕ(x, c0 ) удовлетворяет

условию (1.2).

Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешённом относительно y, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение y =ϕ(x, c0 ) , получающееся из общего решения y =ϕ(x, c) при конкретном значении с = с0, называется частным решением.

1.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде

y′ = f1 (x) f2 ( y) .

(1.3)

Метод интегрирования этого уравнения с разделяющимися пере-

менными состоит в следующем. Учитывая, что y′ = dydx , разделим пере-

менные в уравнении (1.3), записав его в виде

= f1 (x)dx.

f2 ( y)

Почленным интегрированием этого уравнения получаем общий

интеграл уравнения (1.3).

2x+y +3x−2 y y′ = 0.

Пример 1. Найти общий интеграл уравнения

Решение. Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэф-

фициенты при dx и dy на множители:

2x 2 y dx +3x 3−2 y dy = 0.

Разделяем переменные, умножая на

2−y 3−x :

2x3−x dx = −3−2 y 2−y dy,

2 x

18−y

−y

+ c.

и интегрируем:

∫

dx = −∫18

dy + c;

ln18

Пример 2. Решить задачу Коши:

y′+ y tgx = 0;

= −1.

Решение. Разделяя переменные и интегрируя, находим сначала

общий интеграл данного уравнения:

= −tgx dx;

= ln

cos x

+ln c;

= c

cos x

;

y = ±c cos x = c1 cos x .

x =

Затем, подставляя в общий интеграл значения

и y = -1, оп-

ределяем

соответствующее

значение

произвольной

постоянной:

−1 = c1 cos π

; c1= -2.

Подставляя полученное значение с1 в выражение общего интеграла, получаем частное решение данной задачи Коши: y = -2 cosx.

1.2. Однородные дифференциальные уравнения

Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде:

	y
y′ =ϕ		.	(1.4)

	x

Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными путём введения вместо функции y новой функции

u = u(x) =	y	;	при этом	y = u x,	y′ = u′ x + u.	Подставляя эти выражения в
	x

(1.4), мы получаем уравнение:					u′ x +u =ϕ(u); или		u′ = [ϕ(u) −u]	1	,
								x

которое интегрируется путём разделения переменных. Пример 1. Решить уравнение y − xy′ = y(ln x − ln y).

Решение. Вначале установим, что данное уравнение – однородное:

	′		y			x
y		=			−ln		=

			x	1
						y

y			y		y
	1	+ ln		=ϕ		,

x			x	x

затем введём новую функцию

u =

при этом исходное уравне-

ние примет следующий вид:

u + x

= u(1 + ln u) или

= u ln u.

Разделим переменные:

и проинтегрируем данное

u ln u

уравнение:

∫

d (ln u)

= ∫

+ ln c;

или

ln u

= ln

+ln c.

ln u

Потенцируя и исключая вспомогательную переменную u, найдём

искомый общий интеграл.

ln u

= c

;

u = ec1x ;

y = xec1x .

Пример 2. Решить задачу Коши:

(x − y) y′ = y;

y(−1) =1.

Решение. Выяснив, что уравнение однородное:

y′ =

=ϕ

− y

1 −

и полагая u =

получим уравнение

u + xu′ =

или

u 2

−u

1 −u

Разделяя переменные и интегрируя, имеем

1 −u

du =

−

−ln

= ln

−c

или

+ ln

= c.

Возвращаясь к переменной y, находим общий интеграл x = y(c −ln y ).

Подставив заданные значения переменных: y = 1 при x = -1, находим, что c = -1. Следовательно, искомый частный интеграл задачи Коши будет иметь вид x = −y(1+ln y ).

	1.3. Линейные уравнения
Уравнение вида
y′+ P(x) y = Q(x)	(1.5)

называется линейным. Если Q(x) ≡0, то уравнение (1.5) называется линейным однородным, а если Q(x) ≠ 0 – линейным неоднородным.

Общее решение линейного однородного уравнения y′+ P(x) y = 0 легко получается разделением переменных:

= −P(x)dx;

∫

= −

∫

P(x)dx;

= −

∫

P(x)dx + ln c1 ,

или, наконец:

y = ±c1e−∫P( x)dx = ce−∫P( x)dx .

Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. пола-

гая y = c(x)e−∫P( x)dx , где с(x) − некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от x. Для нахождения c(x) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению

c′(x)e−∫P( x)dx = Q(x).

Отсюда c(x) = ∫Q(x)e∫P( x)dx dx +c2 , где c2 - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид

y = e	−∫P( x)dx	∫P( x)dx
y = e	∫Q(x)e		dx +c2 .

Изложенный метод решения линейных уравнений первого порядка
называется методом вариации произвольной постоянной.

Пример 1. Решить уравнение y′cos2 x + y = tqx.

Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение y′cos2 x + y = 0;

разделив переменные, получим	dy	= −	dx		;	ln	y	= tqx +ln c1 ,

	y		2	x
y = ce−tqx .			cos

x = c1 y −1−ln y.

Решение

исходного

неоднородного уравнения ищем в виде

y = c(x)e−tqx , где с(x) - неизвестная функция. При этом

′

−tqx

= c (x)e

−c(x)e

cos2

Подставляя y и y′ в исходное уравнение, получим

′

−tqx

сos

x c (x) e

−c(x)

cos

x + c(x) e

= tqx,

cos2 x

или

c′(x) cos2 x e−tqx = tqx.

etqx tqx

tqx

Откуда

c(x) = ∫cos2 x dx = e

(tqx −1) + c2 .

Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:

y = tqx −1 +c2 e−tqx .

Пример 2. Проинтегрировать уравнение

y = xy′+ y′ln y.

Решение. По виду данное уравнение не является линейным. Одна-

y′ =

ко, если рассмотреть x как функцию от y и учесть, что

dx =

по-

лучим линейное уравнение относительно x, т.е.

x′ =

ln y

Интегрируем соответствующее однородное уравнение

;

при этом имеем

;

x = cy.

Решение неоднородного уравнения ищем,

полагая x = c( y) y,

от-

куда

′

= c ( y) y + c( y).

Подстановка

исходное

уравнение

даёт

′

1 + ln y

c′( y) y

+ c( y) y = c( y) y

+ ln y,

откуда

c ( y) = c1

−

Решение исходного уравнения получаем умножением этого уравнения на y:

1.4. Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида

7
y′+ P(x) y = Q(x) ym ,	(1.6)

где m ≠ 0, m ≠ 1 (при m = 0 уравнение (1.6) является линейным, а

при

m = 1 - уравнением с разделяющимися переменными). Уравнение Бернулли, а также и линейное уравнение, рассмотрен-

ное в п. 1.3, можно проинтегрировать с помощью подстановки y(x) = u(x)v(x).

Посредством данной подстановки уравнение Бернулли сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.

Имеем

′

= uv

′

Подставляя значения

y и y

′

в (1.6), полу-

+ u v.

чим

′

или

′

+u v + P(x)uv = Q(x)u

u(v

+ P(x)v) +u v = Q(x)u

Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), за v принимают любое частное решение уравнения v′+ P(x)v = 0 (например

v1 = e−∫P( x)dx ), обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при u в последнем уравнении. Тогда это уравнение приведётся к уравнению

′	m	v	m	,	которое также является уравнением с разделяющимися
u v = Q(x)u

переменными. Подставляя в это уравнение частное решение v1 и разделяя переменные, найдём его общее решение u = u(x,c). Общее же решение исходного уравнения находим умножением u на v1:

y = v1u(x,c).

Пример 1. Решить уравнение x2 y 2 y′+ xy3 =1.

Решение. Разделив обе части уравнения на

x2 y2

y′+

= y −2

убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где P(x) = x−1 ;

Q(x) = x−2 ;

m = −2.

по формуле

y = uv, имеем

′

Заменяя функцию y

= u v

+uv ,

′

) =

или

2 .

u v

+ v u +

u v +u(v

Найдём частное решение уравнения

v′+

= 0

или

= −

= −ln

;

v1 =

Подставляя v1 в уравнение и решая его, находим u как общий ин-

u′

теграл этого уравнения:

;

u 2 du

= xdx;

;

u = 3

2 x

+c.

u 2

Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения равен

y =uv = 3

+ c .

Пример 2. Решить уравнение

′

sin y

′

y x

+ 2 y = xy .

Решение. Данное уравнение будет уравнением Бернулли относи-

тельно

функций

x = x( y)

x′ = x′( y),

если

его

записать в виде:

2 yx′− x = −x3 sin y.

Решение

этого

уравнения

будем искать

в виде

произведения

x = u( y)v( y) = uv, при этом уравнение примет вид

′

sin y

или

v(2 yu

′

−u) + 2 yuv

′

= −u

sin y.

2 y(u v +uv ) −uv = −u

Выберем u(y) так, чтобы

2 y

−u = 0

или

т.е. возьмём

отличное от нуля частное решение этого уравнения, например u1 = y.

Тогда функцию v(y) определим из уравнения

2y yv′ = −y

yv3 sin y

или

= −v3 sin y.

Разделяя

переменные

интегрируя,

находим

= v(y):

2∫

= −∫sin ydy −c.

Отсюда

−

= cos y −c и

v =

± c −cos y

Таким образом,

x = u1v =

или

y = x2 (c −cos y).

c −cos y

Заметим,

что функция

y ≡0

также является решением исходного

уравнения.

2. Дифференциальные уравнения высших порядков

Дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид

			′	′′	(n)	) = 0			(2.1)
	F(x, y, y , y			,..., y
или	y	(n)		′			(n−1)	) .	(2.2)
			= f (x, y, y ,..., y

Задачей Коши для дифференциального уравнения (2.2) называется задача отыскания решения y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям

9
y(x0 ) = y0 , y′(x0 )= y0′, …, y(n−1)(x0 ) = y0(n−1).	(2.3)

Общим решением уравнения (2.1) или (2.2) называется такая функция y =ϕ(x, c1 , c2 ,..., cn ) , которая при любых допустимых значениях па-

раметров с1,с2,…,сn является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (2.3) найдутся постоянные с10 , с20 ,..., сn0 , определяемые из системы уравнений

y0 =ϕ(x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ), y0′ =ϕ′(x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ),

…………………………

y0(n−1) = ϕ(n−1) (x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ).

Уравнение Ф(x, y, c1 , c2 ,..., cn ) = 0 , определяющее общее решение как

неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.

Всякое решение y =ϕ(x, c10 , c20 ,..., cn0 ) ,	полученное из общего реше-
ния при конкретных значениях c1 = c10 ,	c2 = c20 ,…, cn = cn0 , называется

частным решением дифференциального уравнения n-го порядка.

2.1.Уравнения, допускающие понижение порядка

1.Уравнение n-го порядка y(n) = f (x) решаем последовательным интегрированием. После n-кратного интегрирования получаем общий интеграл этого уравнения в виде явной функции от x и n произвольных

постоянных:

y = ϕ(x) + c1 xn−1 + c2 xn−2 +... + cn .

2. Дифференциальные уравнения вида F(x, y(k ), y(k +1),..., y(n)) = 0, не содержащие искомой функции y и (к – 1) первых производных от y, решаем понижением порядка путём введения новой неизвестной функции, равной низшей производной данного уравнения, т.е. y(k ) = z(x). При этом получается уравнение F(x, z, z′,..., z(n−k )) = 0, порядок которого на к единиц ниже порядка исходного уравнения.

3. Дифференциальные уравнения вида F( y, y′, y′′,..., y(n)) = 0, не содержащие независимой переменной x, также решаем понижением порядка путём введения новой функции y′ = z( y), аргументом которой

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика