Т.С. Жирнова Дифференциальные уравнения
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра высшей математики
ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ
Методические указания к выполнению индивидуальных заданий по курсу
«Математика» для студентов технических направлений
Составитель Т.С. Жирнова
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 4 от 22. 02. 01
Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией специальности 150200 Протокол № 5 от 05. 03. 01
Электронная копия хранится в библиотеке главного корпуса КузГТУ
Кемерово 2001
1
Введение
Методические указания рассчитаны на проведение практических занятий и организацию самостоятельной работы студентов по овладению различными методами интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений.
В начале каждого раздела методических указаний помещены некоторые определения, формулы, краткие сведения по теории и рекомендации, необходимые для решения последующих задач, а затем приведены подробные примерные решения типичных задач.
Для изучения и освоения данной темы необходимо знание основных разделов математического анализа: дифференциальное и интегральное исчисление. Теоретические основы для решения дифференциальных уравнений можно найти в учебном пособии В.М. Волкова, Е.А. Волковой, В.А. Гоголина и др. «Курс высшей математики» ч. 2, выпущенном КузГТУ в 1995 году.
По результатам изучения данного материала рекомендуется выполнить типовой расчёт. На с. 21 приведено содержание рекомендуемых индивидуальных заданий, условия к которым даны далее на с. 2129.
Индивидуальные задания взяты из методической разработки для преподавателей «Дифференциальные уравнения», составленной А.И. Каширцевой, Г.А. Камболиной, И.А. Коршиковой, Л.А. Лукиной, Л.И. Рогожкиной и выпущенной КузПИ в 1983 году.
2
1. Дифференциальные уравнения первого порядка
Уравнения, связывающие независимую переменную x, искомую функцию y и её первую производную y′, называются обыкновенными дифференциальными уравнениями первого порядка.
Общий вид дифференциального уравнения первого порядка: F(x,y, y′) = 0 или в разрешённом относительно y′ виде
y′ = f(x,y). |
(1.1) |
Данное уравнение имеет бесконечно много решений. Для того чтобы выделить из этого множества конкретное решение, необходимо задать дополнительное условие. Задача нахождения решения дифференциального уравнения первого порядка, удовлетворяющего условию
y(x0) = y0, |
(1.2) |
называется задачей Коши. Условие (1.2) называется начальным условием.
Общим решением дифференциального уравнения первого порядка (1.1) в области D изменения переменных x, y называется функция y =ϕ(x, c) , обладающая следующими условиями: 1) она является решением данного уравнения при любых значениях произвольной постоянной с; 2) для любого начального условия (x0, y0) D существует единственное значение с = с0, при котором решение y =ϕ(x, c0 ) удовлетворяет
условию (1.2).
Если общее решение дифференциального уравнения найдено в виде, не разрешённом относительно y, то оно называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение y =ϕ(x, c0 ) , получающееся из общего решения y =ϕ(x, c) при конкретном значении с = с0, называется частным решением.
1.1. Дифференциальное уравнение с разделяющимися переменными
Дифференциальное уравнение первого порядка называется уравнением с разделяющимися переменными, если его можно представить в виде
y′ = f1 (x) f2 ( y) . |
(1.3) |
3
Метод интегрирования этого уравнения с разделяющимися пере-
менными состоит в следующем. Учитывая, что y′ = dydx , разделим пере-
менные в уравнении (1.3), записав его в виде |
|
dy |
|
|
|
= f1 (x)dx. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
f2 ( y) |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Почленным интегрированием этого уравнения получаем общий |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
интеграл уравнения (1.3). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x+y +3x−2 y y′ = 0. |
||||||||||||||||||||||||||
Пример 1. Найти общий интеграл уравнения |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Умножим обе части уравнения на dx и разложим коэф- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
фициенты при dx и dy на множители: |
|
|
|
|
|
2x 2 y dx +3x 3−2 y dy = 0. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
Разделяем переменные, умножая на |
2−y 3−x : |
2x3−x dx = −3−2 y 2−y dy, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
18−y |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−y |
|
|
|
|
|
|
|
= |
+ c. |
||||||||||||||||
и интегрируем: |
∫ |
|
|
dx = −∫18 |
|
|
dy + c; |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ln18 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ln |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||
Пример 2. Решить задачу Коши: |
|
|
y′+ y tgx = 0; |
|
|
|
|
= −1. |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Решение. Разделяя переменные и интегрируя, находим сначала |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
общий интеграл данного уравнения: |
|
dy |
|
= −tgx dx; |
|
|
|
ln |
|
y |
|
= ln |
|
cos x |
|
+ln c; |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
y |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
y |
|
= c |
|
cos x |
|
; |
y = ±c cos x = c1 cos x . |
|
|
|
|
|
x = |
|
|
π |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Затем, подставляя в общий интеграл значения |
|
|
|
и y = -1, оп- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
ределяем |
соответствующее |
значение |
произвольной |
|
постоянной: |
||||||||||||||||||||||||||||||||
−1 = c1 cos π |
; c1= -2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Подставляя полученное значение с1 в выражение общего интеграла, получаем частное решение данной задачи Коши: y = -2 cosx.
1.2. Однородные дифференциальные уравнения
Дифференциальное уравнение первого порядка называется однородным, если его можно представить в виде:
|
y |
|
|
y′ =ϕ |
|
. |
(1.4) |
|
|||
|
x |
|
4
Данное уравнение приводится к уравнению с разделяющимися переменными путём введения вместо функции y новой функции
u = u(x) = |
y |
; |
при этом |
y = u x, |
y′ = u′ x + u. |
Подставляя эти выражения в |
||||
x |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
(1.4), мы получаем уравнение: |
u′ x +u =ϕ(u); или |
u′ = [ϕ(u) −u] |
1 |
, |
||||||
x |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
которое интегрируется путём разделения переменных. Пример 1. Решить уравнение y − xy′ = y(ln x − ln y).
Решение. Вначале установим, что данное уравнение – однородное:
|
′ |
|
y |
|
|
x |
|
|
|
y |
= |
|
−ln |
|
= |
||||
|
|
||||||||
|
x |
1 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
y |
|
y |
|
y |
|
y |
|||
|
1 |
+ ln |
|
|
=ϕ |
|
, |
|
|
|
|||||
x |
|
x |
x |
затем введём новую функцию |
|
|
|
u = |
y |
, |
при этом исходное уравне- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
||||||||||||
ние примет следующий вид: |
|
u + x |
|
|
|
= u(1 + ln u) или |
|
|
|
x |
= u ln u. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
dx |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|||||||||||||
Разделим переменные: |
|
|
|
|
|
du |
|
= |
dx |
и проинтегрируем данное |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
u ln u |
|
x |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
уравнение: |
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
d (ln u) |
|
= ∫ |
dx |
|
+ ln c; |
или |
ln |
|
ln u |
|
= ln |
|
x |
|
+ln c. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln u |
x |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Потенцируя и исключая вспомогательную переменную u, найдём |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
искомый общий интеграл. |
|
|
|
ln u |
|
= c |
|
x |
|
; |
|
u = ec1x ; |
y = xec1x . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Пример 2. Решить задачу Коши: |
(x − y) y′ = y; |
|
|
y(−1) =1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Решение. Выяснив, что уравнение однородное: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
y′ = |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
=ϕ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
x |
− y |
1 − |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
и полагая u = |
|
|
y |
, |
получим уравнение |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
u + xu′ = |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
или |
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
du |
|
|
= |
u 2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
1 |
−u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
1 −u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Разделяя переменные и интегрируя, имеем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
1 −u |
du = |
dx |
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
−ln |
|
u |
|
= ln |
|
x |
|
−c |
|
|
|
или |
1 |
|
+ ln |
|
xu |
|
= c. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Возвращаясь к переменной y, находим общий интеграл x = y(c −ln y ).
5
Подставив заданные значения переменных: y = 1 при x = -1, находим, что c = -1. Следовательно, искомый частный интеграл задачи Коши будет иметь вид x = −y(1+ln y ).
|
1.3. Линейные уравнения |
Уравнение вида |
|
y′+ P(x) y = Q(x) |
(1.5) |
называется линейным. Если Q(x) ≡0, то уравнение (1.5) называется линейным однородным, а если Q(x) ≠ 0 – линейным неоднородным.
Общее решение линейного однородного уравнения y′+ P(x) y = 0 легко получается разделением переменных:
|
dy |
= −P(x)dx; |
∫ |
dy |
= − |
∫ |
P(x)dx; |
ln |
|
y |
|
= − |
∫ |
P(x)dx + ln c1 , |
|
|
|
||||||||||||
|
y |
y |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
или, наконец: |
|
|
y = ±c1e−∫P( x)dx = ce−∫P( x)dx . |
|
|
Общее решение линейного неоднородного уравнения можно найти исходя из общего решения соответствующего однородного уравнения методом Лагранжа, варьируя произвольную постоянную, т.е. пола-
гая y = c(x)e−∫P( x)dx , где с(x) − некоторая, подлежащая определению, дифференцируемая функция от x. Для нахождения c(x) нужно подставить y в исходное уравнение, что приводит к уравнению
c′(x)e−∫P( x)dx = Q(x).
Отсюда c(x) = ∫Q(x)e∫P( x)dx dx +c2 , где c2 - произвольная постоянная. Тогда искомое общее решение неоднородного уравнения имеет вид
y = e |
−∫P( x)dx |
∫P( x)dx |
|
∫Q(x)e |
|
dx +c2 . |
|
|
|
|
|
Изложенный метод решения линейных уравнений первого порядка |
|||
называется методом вариации произвольной постоянной. |
Пример 1. Решить уравнение y′cos2 x + y = tqx.
Решение. Интегрируем соответствующее однородное уравнение y′cos2 x + y = 0;
разделив переменные, получим |
dy |
= − |
dx |
|
; |
ln |
|
y |
|
= tqx +ln c1 , |
|
|
|
||||||||
y |
2 |
x |
||||||||
y = ce−tqx . |
|
cos |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
исходного |
|
|
неоднородного уравнения ищем в виде |
|||||||||||||||||
y = c(x)e−tqx , где с(x) - неизвестная функция. При этом |
|||||||||||||||||||||
|
′ |
|
|
′ |
−tqx |
|
|
|
−tqx |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
= c (x)e |
|
−c(x)e |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
cos2 |
x |
|
|
|
|
|
|
||||||||||
Подставляя y и y′ в исходное уравнение, получим |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
′ |
|
|
−tqx |
|
|
|
|
−tqx |
1 |
|
|
|
2 |
|
−tqx |
|
|
сos |
|
x c (x) e |
|
−c(x) |
e |
|
|
cos |
|
x + c(x) e |
|
= tqx, |
|||||||||
|
|
|
cos2 x |
|
|
||||||||||||||||
или |
c′(x) cos2 x e−tqx = tqx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
etqx tqx |
|
|
|
tqx |
|
|
|
|
|
|||
Откуда |
|
|
c(x) = ∫cos2 x dx = e |
|
(tqx −1) + c2 . |
|
|
Таким образом, получаем общее решение данного уравнения:
|
y = tqx −1 +c2 e−tqx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Пример 2. Проинтегрировать уравнение |
y = xy′+ y′ln y. |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
Решение. По виду данное уравнение не является линейным. Одна- |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y′ = |
dy |
1 |
|
|
|
|
||||||
ко, если рассмотреть x как функцию от y и учесть, что |
|
dx = |
|
|
|
, |
по- |
||||||||||||||||||||
|
|
dx |
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
||||
лучим линейное уравнение относительно x, т.е. |
x′ = |
x |
|
+ |
|
ln y |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Интегрируем соответствующее однородное уравнение |
|
dx |
= |
x |
; |
||||||||||||||||||||||
|
dy |
|
y |
|
|||||||||||||||||||||||
при этом имеем |
|
dx |
= |
dy |
; |
x = cy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение неоднородного уравнения ищем, |
полагая x = c( y) y, |
от- |
|||||||||||||||||||||||||
куда |
|
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
= c ( y) y + c( y). |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Подстановка |
в |
|
|
исходное |
|
уравнение |
|
|
|
|
|
даёт |
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
′ |
|
1 + ln y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
c′( y) y |
|
|
+ c( y) y = c( y) y |
+ ln y, |
откуда |
c ( y) = c1 |
− |
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Решение исходного уравнения получаем умножением этого уравнения на y:
1.4. Уравнение Бернулли
Уравнением Бернулли называется дифференциальное уравнение первого порядка вида
7 |
|
y′+ P(x) y = Q(x) ym , |
(1.6) |
где m ≠ 0, m ≠ 1 (при m = 0 уравнение (1.6) является линейным, а
при
m = 1 - уравнением с разделяющимися переменными). Уравнение Бернулли, а также и линейное уравнение, рассмотрен-
ное в п. 1.3, можно проинтегрировать с помощью подстановки y(x) = u(x)v(x).
Посредством данной подстановки уравнение Бернулли сводится к двум дифференциальным уравнениям с разделяющимися переменными.
Имеем |
y |
′ |
= uv |
′ |
′ |
Подставляя значения |
y и y |
′ |
в (1.6), полу- |
||||||||||||
|
|
+ u v. |
|
||||||||||||||||||
чим |
′ |
′ |
|
|
|
|
|
|
m |
|
m |
или |
′ |
|
′ |
|
|
m |
|
m |
|
uv |
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
v |
. |
|||||||||
|
+u v + P(x)uv = Q(x)u |
|
|
u(v |
+ P(x)v) +u v = Q(x)u |
|
|
Пользуясь тем, что одна из неизвестных функций (например v) может быть выбрана совершенно произвольно (поскольку лишь произведение uv должно удовлетворять исходному уравнению), за v принимают любое частное решение уравнения v′+ P(x)v = 0 (например
v1 = e−∫P( x)dx ), обращающее, следовательно, в нуль коэффициент при u в последнем уравнении. Тогда это уравнение приведётся к уравнению
′ |
m |
v |
m |
, |
которое также является уравнением с разделяющимися |
u v = Q(x)u |
|
|
переменными. Подставляя в это уравнение частное решение v1 и разделяя переменные, найдём его общее решение u = u(x,c). Общее же решение исходного уравнения находим умножением u на v1:
y = v1u(x,c).
Пример 1. Решить уравнение x2 y 2 y′+ xy3 =1.
Решение. Разделив обе части уравнения на |
|
|
x2 y2 |
: |
|
|
y′+ |
|
y |
= y −2 |
1 |
, |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
x2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
убеждаемся, что это уравнение Бернулли, где P(x) = x−1 ; |
|
Q(x) = x−2 ; |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
m = −2. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
по формуле |
y = uv, имеем |
|
|
′ |
|
|
|
′ |
|
|
′ |
|
|||||||||||||||||
Заменяя функцию y |
|
y |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= u v |
+uv , |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
′ |
|
|
′ |
|
uv |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
′ |
|
′ |
+ |
|
v |
) = |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
= |
2 |
|
2 |
|
2 |
|
или |
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
2 . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
u v |
+ v u + |
|
|
x |
u |
v |
|
u v +u(v |
|
|
|
x |
|
x |
u |
v |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
Найдём частное решение уравнения |
v′+ |
|
= 0 |
или |
|
|
dv |
|
= − |
dx |
. |
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
x |
|
|
|
v |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|||||||
ln |
|
v |
|
= −ln |
|
x |
|
; |
|
|
|
|
|
v1 = |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
8
Подставляя v1 в уравнение и решая его, находим u как общий ин-
|
u′ |
1 |
|
|
|
|
|
u3 |
|
x2 |
c |
|
|
3 |
2 |
|
||
теграл этого уравнения: |
|
= |
|
; |
u 2 du |
= xdx; |
|
|
= |
|
+ |
|
; |
u = 3 |
2 x |
|
+c. |
|
x |
u 2 |
3 |
2 |
3 |
|
|||||||||||||
Следовательно, искомый общий интеграл данного уравнения равен |
|
|
||||||||||||||||
y =uv = 3 |
3 |
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1 |
|
2x |
|
x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2. Решить уравнение |
′ |
3 |
sin y |
|
|
|
|
′ |
|
|
|
|
|
|
||||
y x |
|
+ 2 y = xy . |
|
|
|
|
|
|
Решение. Данное уравнение будет уравнением Бернулли относи-
тельно |
функций |
x = x( y) |
|
и |
x′ = x′( y), |
если |
его |
записать в виде: |
||||||||||||||
2 yx′− x = −x3 sin y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Решение |
этого |
уравнения |
будем искать |
в виде |
|
|
произведения |
|||||||||||||||
x = u( y)v( y) = uv, при этом уравнение примет вид |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
′ |
′ |
3 |
v |
3 |
sin y |
или |
|
|
v(2 yu |
′ |
−u) + 2 yuv |
′ |
= −u |
3 |
v |
3 |
sin y. |
|||||
2 y(u v +uv ) −uv = −u |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
Выберем u(y) так, чтобы |
2 y |
du |
−u = 0 |
или |
2 |
du |
= |
dy |
|
, |
т.е. возьмём |
|||||||||||
|
u |
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dy |
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
отличное от нуля частное решение этого уравнения, например u1 = y.
|
Тогда функцию v(y) определим из уравнения |
2y yv′ = −y |
yv3 sin y |
||||||||||||
или |
2 |
dv |
= −v3 sin y. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
dy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Разделяя |
переменные |
|
и |
|
интегрируя, |
|
находим |
v |
= v(y): |
|||||
2∫ |
dv |
= −∫sin ydy −c. |
Отсюда |
|
− |
1 |
= cos y −c и |
v = |
1 |
. |
|
||||
3 |
|
2 |
|
|
|||||||||||
|
v |
|
|
|
|
|
|
|
v |
|
|
|
± c −cos y |
|
|
|
Таким образом, |
x = u1v = |
|
|
y |
или |
y = x2 (c −cos y). |
||||||||
|
± |
c −cos y |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
Заметим, |
что функция |
y ≡0 |
также является решением исходного |
|||||||||||
уравнения. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. Дифференциальные уравнения высших порядков
Дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид
|
|
|
′ |
′′ |
(n) |
) = 0 |
(2.1) |
||
|
F(x, y, y , y |
,..., y |
|
||||||
или |
y |
(n) |
|
′ |
|
|
(n−1) |
) . |
(2.2) |
|
= f (x, y, y ,..., y |
|
Задачей Коши для дифференциального уравнения (2.2) называется задача отыскания решения y(x), удовлетворяющего заданным начальным условиям
9 |
|
y(x0 ) = y0 , y′(x0 )= y0′, …, y(n−1)(x0 ) = y0(n−1). |
(2.3) |
Общим решением уравнения (2.1) или (2.2) называется такая функция y =ϕ(x, c1 , c2 ,..., cn ) , которая при любых допустимых значениях па-
раметров с1,с2,…,сn является решением этого дифференциального уравнения и для любой задачи Коши с условиями (2.3) найдутся постоянные с10 , с20 ,..., сn0 , определяемые из системы уравнений
y0 =ϕ(x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ), y0′ =ϕ′(x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ),
…………………………
y0(n−1) = ϕ(n−1) (x0 , c10 , c20 ,..., cn0 ).
Уравнение Ф(x, y, c1 , c2 ,..., cn ) = 0 , определяющее общее решение как
неявную функцию, называется общим интегралом дифференциального уравнения.
Всякое решение y =ϕ(x, c10 , c20 ,..., cn0 ) , |
полученное из общего реше- |
ния при конкретных значениях c1 = c10 , |
c2 = c20 ,…, cn = cn0 , называется |
частным решением дифференциального уравнения n-го порядка.
2.1.Уравнения, допускающие понижение порядка
1.Уравнение n-го порядка y(n) = f (x) решаем последовательным интегрированием. После n-кратного интегрирования получаем общий интеграл этого уравнения в виде явной функции от x и n произвольных
постоянных: |
y = ϕ(x) + c1 xn−1 + c2 xn−2 +... + cn . |
2. Дифференциальные уравнения вида F(x, y(k ), y(k +1),..., y(n)) = 0, не содержащие искомой функции y и (к – 1) первых производных от y, решаем понижением порядка путём введения новой неизвестной функции, равной низшей производной данного уравнения, т.е. y(k ) = z(x). При этом получается уравнение F(x, z, z′,..., z(n−k )) = 0, порядок которого на к единиц ниже порядка исходного уравнения.
3. Дифференциальные уравнения вида F( y, y′, y′′,..., y(n)) = 0, не содержащие независимой переменной x, также решаем понижением порядка путём введения новой функции y′ = z( y), аргументом которой