Е.А. Волкова Теория вероятностей иматематическая статистика. Программа, методические указания и контрольные работы №7, 8 для студентов экономических специальностейзаочной формы обучения

1

Введение

Настоящее пособие составлено в соответствии с методическими указаниями по высшей математике, разработанными учебнометодическим управлением по высшему образованию, и с учетом особенностей учебных программ, по которым обучаются студенты в Кузбасском государственном техническом университете. Пособие содержит программу, методические указания и контрольные задания по теории вероятностей и математической статистике (контрольные работы №7 и 8). Назначение его – дать индивидуальные контрольные задания и помочь студентам в решении практических задач.

При его составлении участвовали преподаватели кафедры Л.Е. Мякишева, Т.К.Скадина, Э.Ф.Золотарева, О.А. Зубанова, Е.А. Волкова, Е.В.Прейс, О.С.Георгинская, И.А.Ермакова.

Выбор варианта индивидуального задания по теории вероятностей (контрольная работа № 7) осуществляется по табл.1: номера задач варианта находятся на пересечении строки, определяемой по первой

Например, Юрин Ю.П. (шифр ЭУз – 98276) выполняет в контрольной работе № 7 номера: 6, 21, 41, 49, 61 (пересечение 6 строки и 6 столбца таблицы № 1) и вариант 14 (к = Е[0,4 (6 + 29)] = E(14,0) = 14 ) контрольной работы № 8.

2

Таблица 1

3

Программа

1.Теория вероятностей

1.Основные понятия теории вероятностей: испытание, событие, вероятность.

2.Статистическое, классическое и геометрическое определение вероятности.

3.Алгебра событий (сложение и умножение событий). Противоположные события.

4.Теоремы сложения и умножения вероятностей и следствия из них.

5.Теорема о полной вероятности события. Формула Байеса.

6.Повторные независимые испытания. Формулы Бернулли, Пуассона, Муавра-Лапласа.

7.Понятие случайной величины, их типы. Законы распределения вероятностей дискретной случайной величины (табличный, графический).

8.Функция распределения вероятностей случайной величины, ее свойства. Плотность вероятностей случайной величины, ее свойства.

9.Числовые характеристики случайной величины: математическое ожидание, дисперсия, среднее квадратическое отклонение.

10.Основные законы распределения случайных величин: нормальный, равномерный, показательный, биномиальный.

11.Закон больших чисел. Теоремы Бернулли и Чебышева. Центральная предельная теорема Ляпунова.

2.Математическая статистика

1.Генеральная совокупность и выборка. Вариационный ряд. Гистограмма и полигон частот. Эмпирическая функция распределения.

2.Числовые характеристики вариационного ряда: выборочное среднее, выборочная дисперсия и среднее квадратическое отклонение.

3.Доверительная вероятность, доверительные интервалы для выборочного среднего и среднего квадратического отклонения.

4.Понятие о критериях согласия. Проверка гипотез о теоретическом законе распределения, о равенстве средних и дисперсий генеральных совокупностей.

5.Элементы теории линейной регрессии и корреляции.

6.Понятие о нелинейной и множественной регрессии. Корреляционное отношение, коэффициенты парной корреляции.

5

Во втором случае, выбирая три книги из пяти, мы имеем дело с соединениями, отличающимися друг от друга хотя бы одним элементом (порядок не важен) - это сочетания из пяти элементов по три. Их число равно

А в последнем случае при расстановке трех книг на полке внутри каждой тройки книг учитываем все возможные перестановки из трех элементов (Р3) и общее число соединений, отличающихся либо элементом, либо их порядком, – это есть размещения из пяти элементов по

Пример 2. Найти вероятности того, что номера трех томов, выбранных поочередно из данных пяти, будут идти в возрастающем порядке.

Решение. Обозначим через A интересующее нас событие. Число (n) всех возможных нумераций трех книг из пяти определяется по фор-

муле для числа размещений n = A53 = 60 . Число же тех нумераций, которые дают только возрастание томов без учета перестановок внутри

При нахождении вероятностей сложных событий в задачах 16-30 следует пользоваться теоремами сложения, умножения и следствиями из них ([1] гл.2-4; [2] гл. 2).

Пример 3. Два стрелка делают по одному выстрелу. Вероятность поражения мишени первым стрелком равна 0,8, а вторым – 0,7. Найти вероятности попадания в мишень обоими стрелками; поражения мишени хотя бы одним стрелком.

Решение. Пусть событие A – попадание в мишень первым стрелком, B – вторым. Тогда событие C, заключающееся в одновременном поражении мишени обоими стрелками, является произведением событий А и В (С = А·В). Эти события происходят независимо друг от друга. Поэтому вероятность их произведения определяется по формуле

P(А·В) = Р(А) Р(В) и равна P(С) =Р(А·В) = 0,7·0,8 = 0,56.

6

Рассмотрим теперь событие D – поражение цели хотя бы одним стрелком. Оно заключается в поражении мишени либо первым стрелком, либо вторым, либо обоими вместе. Это событие является суммой исходных событий, т.е. D = А + В. События А и В являются совместными, т.к. могут происходить в одном и том же испытании. Поэтому следует воспользоваться формулой Р(А+В) = Р(А) + Р(В) – –Р(А·В).

Получим Р(D) = Р(А+В) = 0,7 + 0,8 - 0,7 0,8 = 0,94.

Пример 4. Пластмассовые заготовки для деталей поступают с пресса №1, выпускающего 50% всей продукции, с пресса №2, выпускающего 30%, и с пресса №3, дающего 20%. При этом доля нестандартной продукции у первого пресса 0,10, у второго – 0,05, а у третьего

– 0,02. Наудачу взятая заготовка оказалась стандартной. Определить вероятность того, что она поступила с первого пресса.

Решение. Событие А – взятая заготовка стандартная. Она могла быть изготовлена прессом №1 (гипотеза Н1), прессом №2 (гипотеза Н2) или прессом №3 – Н3. Вероятности этих гипотез соответственно равны Р(Н1)=0,5; Р(Н2)=0,3; Р(Н3)=0,2. Событие А может произойти с событием Н1 с условной вероятностью PH1 (A) = 1- 0,1 = 0,9 . Аналогично имеем

P( A) = ∑3 P(H j ) PHj ( A),

j = 1

равна P(A) = 0,5 0,9 + 0,3 0,95 + 0,2 0,98 = 0,931.

Для нахождения вероятности РА(Н2) – того, что заготовка изготовлена первым прессом, при условии, что она стандартная, применим

7

Для решения задач №30-45 следует знать условия, к которым применимы формулы Бернулли, Пуассона, локальная и интегральная теоремы Муавра-Лапласа ([1], гл. 5, 6 §5; [2], гл. 3, 4 §1).

Пример 5. Монету подбрасывают 5 раз. Найти вероятность того, что герб выпадет ровно 2 раза.

Число повторных независимых испытаний – подбрасываний монеты n = 5 – мало. Вероятность выпадения герба в одном испыта-

нии p = 12 , вероятность противоположного события – выпадения циф-

Пример 6. В городе каждая десятая машина – иномарка. За час по центральной улице проезжает 900 машин. Какова вероятность того, что иномарки составляют среди них не более 90 машин.

Решение. Число независимых испытаний n = 900 – велико, а веро-

ятность появления иномарки p = 101 не близка к нулю. В этих условиях

используют приближенные формулы Муавра – Лапласа. Так как нас интересует вероятность появления события не более 90 раз, то приме-

По прил. 1 определим значения функции Лапласа Ф(0) = 0, Ф(–30) = –Ф(30) = – 0,5 (функция Лапласа нечетная Ф(–х) = – Ф(х) и при x > 5

Ф(х) = 0,5).

8

Итак, Р900(не более 90) = 0 + 0,5 = 0,5.

Пример 7. Учебник издан тиражом 10000 экземпляров. Вероятность его неправильной брошюровки равна 0,0001. Найти вероятность того, что тираж содержит две бракованные книги.

Решение. Так как число испытаний n = 10000 – велико, а вероятность p = 0,0001 близка к нулю, то используем формулу Пуассона. Для

Закон распределения дискретных случайных величин, их числовые характеристики (задачи №46-60) рассмотрены в гл. 6-8 [1], гл.4 [2],

гл.11 [3].

При составлении закона распределения случайной величины для нахождения вероятностей возможных значений можно использовать основные теоремы и формулы теории вероятностей.

Пример 8. Рабочий обслуживает два станка. В течение смены первый станок потребует внимания рабочего с вероятностью 0,2, второй – с вероятностью 0,3. Составить закон распределения числа станков, потребовавших внимания рабочего в течение смены. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Дискретная случайная величина Х – число станков, потребовавших внимания рабочего. Обозначим событие Аi – внимание потребовал i-й станок, тогда, Ai – i-й станок не потребовал внимания

рабочего. Итак, Р(А1) = 0,2, P( A1) = 1 – Р(А1) = 0,8, Р(А2) = 0,3, P(A2 ) = =1 – Р(А2) = 0,7.

Определим вероятность того, что случайная величина Х примет возможные значения 0, 1, 2:

9

В ряде задач на повторные независимые испытания вычисление вероятностей возможных значений случайной величины и ее числовых характеристик упрощается.

Пример 9. Каждый из трех независимо работающих приборов регистрирует уровень шума, превышающий установленную норму с вероятностью 0,9. Составить закон распределения числа приборов, зарегистрировавших шум, превышающий норму. Вычислить его числовые характеристики.

Решение. Случайная величина Х – число приборов, зарегистрировавших превышение уровня шума, может принимать четыре значения (к = 0, 1, 2, 3); соответствующие вероятности найдем по формуле Бер-

нулли при n = 3; p = 0,9; q = 1– p = 0,1; к = 0, 1, 2, 3.

P(X = 0) = P3(0) = C30p0q3 = 0,001, P(X = 1) = P3(1) = C31p1q2 = 0,027, P(X = 2) = P3(2) = C32p2q1 = 0,243, P(X = 3) = P3(3) = C33p3q0 = 0,729.

Запишем закон распределения случайной величины: