Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

323.75 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ

КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Программа, контрольные работы № 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса ( 3 семестр ) заочной формы обучения специальностей 060400, 060500, 060800

Составитель В.М.Волков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 09. 04. 02 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 060400 Протокол № 5 от 20. 05. 02

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2002

Контрольные работы № 5, 6 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженерноэкономических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, О.С.Георгинская, В.А.Гоголин, И.А.Ермакова.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии; найти столбец, соответствующий последней цифре шифра зачётной книжки;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 5, 6.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно-

экономических специальностей (2 курс, 3 семестр)

1.Неопределённый интеграл

1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.

1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.

1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.

2. Определённый интеграл

2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла.

2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.

2.3.Основные свойства определённого интеграла.

2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.

2.5.Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел вращения.

3. Криволинейные интегралы

3.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.

3.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги и по координатам, их основные свойства и вычисление.

															2
									Выбор номеров задач контрольных работ
																				6
№		0			1			2			3			4			5						7			8		9
																			7 37 74
А,В,	1 31 80			2 32 79			3 33 78			4 34 77			5 35 76			6 36 75						8 38 73			9	39	72	10 40 71
Д	110 130			100 150			101 131			120 130			91 141			110 140			111 121			100 150			101 131			120 130
																			17 47 64
Ё,Е,З	11 41 70			12 42 69			13 43 68			14 44 67			15 45 66			16 46 65						18 48 63			19 49 62			20 50 61
	109 129			99 149			102 132			119 129			92 142			109 139			112 122			99 149			102 132			119 129
																			27 57 74
Г,Ж,	21 51 80			22 52 79			23 53 78			24 54 77			25 55 76			26 56 75						28 58 73			29 59 72			30 60 71
И,Л	108 128			98 148			103 133			118 128			93 143			108 138			113 123			98 148			103 133			118 128
																			7	54	84
К	1	60	90	2	59	69	3	58	88	4	57	87	5	56	86	6	55	85				8	53	83	9	52	82	10 51 81
	107 127			97 147			104 134			117 127			94 144			107 137			114 124			97 147			104 144			117 127
																			17 43 66
М,Н,	11 49 70			12 48 61			13 47 62			14 46 63			15 45 64			16 44 65						18 50 67			19 42 68			20 41 69
О	106 126			96 146			105 135			116 126			95 135			106 136			115 125			96 146			105 136			116 126
																			27 37 76
П,Ы	21 31 80			22 32 71			23 33 72			24 34 73			25 35 74			26 36 75						28 38 77			29 39 78			30 40 79
	105 125			95 145			106 136			115 125			96 146			105 135			116 126			95 145			106 136			115 125
																			7 54 86
С,У,	1 60 90			2 59 81			3 58 82			4 57 83			5 56 84			6 55 85						8 53 87			9	52	88	10 51 89
Б	104 124			94 144			107 137			114 124			97 147			104 134			117 127			94 144			107 137			114 124
																			17 44 66
Р,Т,	11 50 70			12 49 61			13 48 62			14 47 63			15 46 64			16 45 65						18 43 67			19 42 68			20 43 69
Ф	104 123			96 143			108 138			113 123			98 148			103 133			118 128			93 143			108 138			113 123
																			27 34 76
Х,Ц,	21 40 80			22 39 71			23 38 72			24 37 73			25 36 74			26 35 75						28 33 77			29 32 78			30 31 79
Ш	112 122			92 142			109 139			112 122			99 149			102 132			119 129			92 142			108 139			112 122
																			7 57 86
Ч,Щ,	1 51 90			2 52 82			3 53 81			4 54 83			5 55 65			6 55 84						8 58 87			9	59	88	10 60 89
Э,Ю,	101 121			91 141			110 140			111 121			100 150			101 131			120 130			91 141			110 140			111 121
Я

3.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.

4.Обыкновенные дифференциальные уравнения

4.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.

4.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.

4.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.

4.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.

4.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.

4.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа №5

Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253-286; 6, гл.4,

с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.

Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.

Например, при вычислении

		dx	= ∫(5x	+ 2)	−	5
∫ 3	(	dx			−	3dx
∫ 3		5x + 2 5				3dx
		)
используем табличный интеграл
		∫undu = un+1		+ c .
			n + 1

Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d(5x + 2)= 5dx, то умножим и разделим интеграл на 5,

то есть

−

∫ 3

(

+ 2 5 = ∫(5x +

3dx = 5 ∫(5x + 2)

3 5dx =

5 ∫(5x

+ 2)

3d(5x + 2)=

)

−

= 1 (5x + 2) 3

+ c

= −

(5x + 2)−

+ c = −

+ c .

+ 1

103 (5x + 2)

−

Интеграл ∫x e3x 2 −1dx

сводится к табличному ∫eudu = eu + c путём

подведения

под

знак

дифференциала

показателя

степени

d(3x2 − 1)= 6xdx. Таким образом:

∫x e3x

−1dx =

∫e3x

−1 6xdx =

∫e3x

−1d(3x2 − 1)=

e3x

−1 + c .

В примере

∫ 3cosx dx используем формулу ∫ du

= ln

+ c ,

где под

2 + sinx

знаком

дифференциала

находится

знаменатель

дроби.

Так как

d(2 + sinx)= cosxdx , то

d(2 + sinx)

3∫

cosxdx

= 3∫

= 3 ln

2 + sinx

+ c .

2 + sinx

При вычислении интегралов в пункте б применяются методы

подстановки

интегрирования

по

частям,

то

есть по формуле

∫udv = uv − ∫ vdu

мы от исходного интеграла ∫udv

переходим к более

простому ∫ vdu .

Пример. ∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx , то есть возьмём

= arctgx du =

+ x

dv = xdx v

= ∫dv

= ∫xdx =

(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим

∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx =

arctgx −

∫x2

+ x2

Возьмём

∫x2

отдельно

+ x2

∫x2

+ 1 − 1

= x − arctgx + c .

∫

dx =

∫

1 −

dx = ∫dx

− ∫

1 + x2

x2 + 1

+ x

1 + x2

Итак

∫x arctgxdx = x2 arctgx −

(x − arctgx)+ c .

Пример. Найти

∫x e−3xdx . Пусть

u = x du = dx,

−3x

d(− 3x)= −

−3x .

= e

v =

∫e

dx = −

∫e

∫x e

−3x

−

−3x

−

−3x

xe−3x

∫e

−3x

dx =

= x

−

∫

dx = −

= − xe−3x

− e−3x

+ c .

Пример.

При

вычислении

интеграла

I = ∫ 2 +

x + 1 dx

сделаем

x + 3

подстановку u =

x + 1 u2 = x + 1 x = u2 − 1 dx = 2udu,

x + 3 = u2 − 1 + 3 = u2 + 2 . Получим

2u + u2 du .

I = ∫ 2 +

x + 1 dx = ∫

2 + u 2udu = 2∫

2u + u2

x + 3

u2 + 2

Дробь

неправильная (степень числителя не меньше степени

u2 + 2

знаменателя). Выделим целую часть

(u2 + 2)− 2 + 2u

= 1 −

2 +

2u + u2

u2 + 2

2 u2 +

Итак I = 2∫

du =

∫du

− ∫

2du

∫

2udu

= 2u −

arctg

+ 2

+ 2 ln(u2 + 2)+ c = 2

x +

1 −

arctg

x +1 + 2 ln x + 3 + c .

Здесь ∫du и ∫

табличные, а

u2 + 2

+ 2)

2udu

∫

= ∫

d(u

= ln(u2 + 2)+ c .

+ 2

В пункте в приведены интегралы от дробнорациональных функций, метод интегрирования которых приведён в литературе [1,

гл. YII, с. 303-311; 7, гл. IX, с. 235-245].

Пример. Найти ∫			x2 −		2	dx .
	x	3	− 4x	2	+ 3x

Подынтегральная функция является правильной дробно - рациональной функцией, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Для разложения её в сумму простейших дробей найдём корни знаменателя x3 − 4x2 + 3x = x(x2 − 4x + 3)= 0. Тогда x = 0,x =1,x = 3 . Так как корни действительные и различные числа, разложение имеет

вид	x2 − 2	=	A	+	B		+	C		. Для нахождения неопределённых
	x3 − 4x2 + 3x				x −	1		x −	3
			x

коэффициентов A,B,C приводим к общему знаменателю выражение в правой части и приравниваем числители

x2 − 2 = A(x −1)(x − 3)+ Bx(x − 3)+ Cx(x −1).

Подставляя в это равенство корень x = 0, получаем − 2 = 3A A = −23 .

При

x =1,

получаем

−1 = −2B B = 1 .

При

x = 3 ,

получаем

7 = 6C C = 7

. Заменяя подынтегральное выражение, получаем

−

− 2

∫

dx = ∫

dx = −2 ∫dx

+ 1 ∫

+ 7 ∫

x −1

x −

− 4x

+ 3x

3 x 2 x −1 6 x −

= −

∫

d(x −1)

∫d(x − 3)

= −

2 ln x +

1 ln x −1 +

7 ln x − 3 + C =

3 x 2 x −1

6 x − 3

= ln

x −1 6 (x − 3)7

+ C.

3 x2

Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418,426; 6, гл.5, с. 189,199; 7, гл.10, с. 269-271].

При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11,

с. 114-156].

Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .

Сделаем схематический чертёж ( рис.1) и найдём точки пересечения этих линий

						2	+ y		2	= 12						2	= 12 − y			2
				x			+ y			= 12				x			= 12 − y				12	− y2 = y
								2								2					12	− y2 = y
								2								2	= y
				y = x										x			= y
				y2 + y − 12 = 0 y = − 1 ± 1 + 48 = − 1 ± 7 , y = 3.
																			2			2
	В	точке			пересечения								x2 = 3 x1 = −								3, x2 =			.		Площадь						меньшей
	В	точке			пересечения								x2 = 3 x1 = −								3, x2 =		3	.		Площадь						меньшей
части
		3								3				x								x					3			x3		3
																																3

S1 =		∫	12 − x2 dx −							∫ x2dx =							12 − x2 + 6 arcsin												−			=
S1 =		∫	12 − x2 dx −							∫ x2dx =					2		12 − x2 + 6 arcsin					12							−	3		=
	−	3								− 3					2							12				−		3		3	−	3
		3								− 3																−		3			−	3
=	3	12 − 3 + 6 arcsin									3	−			−		3	12	− 3		− 6 arcsin				3			−
=	2	12 − 3 + 6 arcsin									12	−			−	2		12	− 3		− 6 arcsin			12				−
	2										12					2								12
−	3	3	−	− 3		3							π		− 2 3 = 3 + 2π.
−	3		−	3			= 3 3 + 12						6		− 2 3 = 3 + 2π.
	3			3									6
							y				y = x2											y
											y = x2

y = x

x2 + y2 =12

Рис.1

Рис.2

При вычислении интеграла ∫ 12 − x2 dx мы воспользовались справочни-

ком [10] (интеграл № 51) или [11] ( интеграл № 157).

Площадь большей части S2 = πr2 −S1 = π 12 − 3 − 2π =10π − 3 .

Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x sinx, 0 ≤ x ≤ π .

Сделаем схематический чертёж ( рис.2) и найдём точки пересечения

этих линий y = x	x − x sinx =
y = x	sinx
	π

0, x1 = 0, 1 − sinx = 0, sinx = 1, x2 = π2 .

			b	b
V = V1 − V2 = π∫y12dx − π∫y22dx = π∫2 x2dx − π∫2 x2 sin xdx =
			a	a		0			0
		3			π			3
	x	3			2		π	3
= π	x		− 2xsin x + (x2	− 2)cosx		= π	π		− π + 2	,
= π			− 2xsin x + (x2	− 2)cosx		= π			− π + 2	,
	3						24
	3				0		24
∫x2 sin xdx = 2xsin x −(x2 − 2)cosx.

При нахождении длины дуги в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1,

гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с.270].

1. ds = 1 + (y′x )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;

2. ds = (x′t )2 + (y′t )2 dt , если линия задана параметрически

x = x(t), y = y(t);

3. ds = r2 + (r′(θ))2 dθ, если линия задана в полярных координатах

r = r(θ).


Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ												,	0 ≤ θ ≤					π .
										θ	2				θ		1	2
Вычисляем ds = r2			+ (r′(θ))			2	dθ, rθ′		= 2cos	θ					θ		1	.
Вычисляем ds = r2			+ (r′(θ))				dθ, rθ′		= 2cos	2	− sin				2		2	.
										2					2		2
r2 + (r′(θ))	2	= cos4	θ	+ cos2	θ		sin2	θ	= cos2	θ				θ		+ sin2			θ	= cos2	θ	,
r2 + (r′(θ))		= cos4	2	+ cos2	2		sin2	2	= cos2	2	cos2			2		+ sin2				= cos2	2	,
			2		2			2		2				2					2		2

ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,

ππ

2	θ	dθ = 2sin	θ	2		π		= 2	2	= 2 .

S = ∫cos					= 2 sin		− sin0
0	2		2	0		4			2

При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и научиться их вычислять в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с.217-226].

r	Пример.		r	Вычислить		работу,	совершаемую	силой
				r	при перемещении некоторой массы по дуге
F = (x2		− 2xy)i + (y2 − 2xy)j
параболы y = x2				от точки A(1,1) до точки B(-1,1).
	Составляем криволинейный интегралA =						∫ (x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy .
Так как y = x2 , то y′ = 2x,							AB
					dy = 2xdx , и при движении массы из точки A

в точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем

A =

∫ (x

− 2xy)dx

+ (y

− 2xy)dy

− 2x

)

− 2x x

= ∫

)+ (x

2x dx =

−1

∫

(x2 − 2x3 + 2x

− 4x

4 )dx =

−

−1

−

Пример. Вычислить работу,

совершаемую

переменной силой

при перемещении некоторой массы по дуге кривой,

F = −y2x

i + x2y j

заданной параметрически x =

cost,

y =

sin t , от точки A до точки B с

соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2

= π .

Составляем

криволинейный

интеграл

A =

∫ (− xy2 )dx + x2ydy и

сводим его к определённому интегралу по t . Для этого находим дифференциалы

dx = d(	cost)=	− sin t	sin t)=	cost
		2 cost dt, dy = d(		2 sin t dt .
После подстановки вместо x, y,dx,dy			их выражений через t

криволинейный интеграл превращается в определённый интеграл по переменной t , то есть

π			(− sin t)
2	− sin t	cos t		+ cost	sin t	cost
A = ∫			2 cost				dt =
0					2	sin t

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика