В.М. Волков Математика и математика в экономике. Программа, контрольные работы №5, 6 и методические указания для студентов 2 курса (3 семестр) заочной формы обучения
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра прикладной математики
МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ
Программа, контрольные работы № 5, 6 и методические указания для студентов 2 курса ( 3 семестр ) заочной формы обучения специальностей 060400, 060500, 060800
Составитель В.М.Волков
Утверждены на заседании кафедры Протокол № 6 от 09. 04. 02 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией специальности 060400 Протокол № 5 от 20. 05. 02
Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ
Кемерово 2002
1
Контрольные работы № 5, 6 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников инженерноэкономических специальностей. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, О.С.Георгинская, В.А.Гоголин, И.А.Ермакова.
Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:
найти строку, соответствующую первой букве фамилии; найти столбец, соответствующий последней цифре шифра зачётной книжки;
на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 5, 6.
Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.
ПРОГРАММА курса «Высшая математика» для инженерно-
экономических специальностей (2 курс, 3 семестр)
1.Неопределённый интеграл
1.1.Первообразная (неопределённый интеграл), её свойства. Таблица интегралов.
1.2.Непосредственное интегрирование. Интегрирование по частям и подстановкой.
1.3.Использование таблиц (справочников) неопределённых интегралов.
2. Определённый интеграл
2.1.Задачи, приводящиеся к понятию определённого интеграла.
2.2.Определённый интеграл как предел интегральных сумм.
2.3.Основные свойства определённого интеграла.
2.4.Производная интеграла по переменному верхнему пределу. Формула Ньютона-Лейбница.
2.5.Приложение определённого интеграла к вычислению площадей плоских фигур, длин дуг кривых, объёмов тел вращения.
3. Криволинейные интегралы
3.1.Задачи, приводящиеся к криволинейным интегралам.
3.2.Определение криволинейных интегралов по длине дуги и по координатам, их основные свойства и вычисление.
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Выбор номеров задач контрольных работ |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
№ |
|
0 |
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
5 |
|
|
|
|
7 |
|
|
8 |
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
7 37 74 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
А,В, |
1 31 80 |
2 32 79 |
3 33 78 |
4 34 77 |
5 35 76 |
6 36 75 |
8 38 73 |
9 |
39 |
72 |
10 40 71 |
|||||||||||||||||
Д |
110 130 |
100 150 |
101 131 |
120 130 |
91 141 |
110 140 |
111 121 |
100 150 |
101 131 |
120 130 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 47 64 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Ё,Е,З |
11 41 70 |
12 42 69 |
13 43 68 |
14 44 67 |
15 45 66 |
16 46 65 |
18 48 63 |
19 49 62 |
20 50 61 |
|||||||||||||||||||
|
109 129 |
99 149 |
102 132 |
119 129 |
92 142 |
109 139 |
112 122 |
99 149 |
102 132 |
119 129 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 57 74 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Г,Ж, |
21 51 80 |
22 52 79 |
23 53 78 |
24 54 77 |
25 55 76 |
26 56 75 |
28 58 73 |
29 59 72 |
30 60 71 |
|||||||||||||||||||
И,Л |
108 128 |
98 148 |
103 133 |
118 128 |
93 143 |
108 138 |
113 123 |
98 148 |
103 133 |
118 128 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
54 |
84 |
|
|
|
|
|
|
|
К |
1 |
60 |
90 |
2 |
59 |
69 |
3 |
58 |
88 |
4 |
57 |
87 |
5 |
56 |
86 |
6 |
55 |
85 |
8 |
53 |
83 |
9 |
52 |
82 |
10 51 81 |
|||
|
107 127 |
97 147 |
104 134 |
117 127 |
94 144 |
107 137 |
114 124 |
97 147 |
104 144 |
117 127 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 43 66 |
|
|
|
||||||||||||||||||
М,Н, |
11 49 70 |
12 48 61 |
13 47 62 |
14 46 63 |
15 45 64 |
16 44 65 |
18 50 67 |
19 42 68 |
20 41 69 |
|||||||||||||||||||
О |
106 126 |
96 146 |
105 135 |
116 126 |
95 135 |
106 136 |
115 125 |
96 146 |
105 136 |
116 126 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 37 76 |
|
|
|
||||||||||||||||||
П,Ы |
21 31 80 |
22 32 71 |
23 33 72 |
24 34 73 |
25 35 74 |
26 36 75 |
28 38 77 |
29 39 78 |
30 40 79 |
|||||||||||||||||||
|
105 125 |
95 145 |
106 136 |
115 125 |
96 146 |
105 135 |
116 126 |
95 145 |
106 136 |
115 125 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 54 86 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
С,У, |
1 60 90 |
2 59 81 |
3 58 82 |
4 57 83 |
5 56 84 |
6 55 85 |
8 53 87 |
9 |
52 |
88 |
10 51 89 |
|||||||||||||||||
Б |
104 124 |
94 144 |
107 137 |
114 124 |
97 147 |
104 134 |
117 127 |
94 144 |
107 137 |
114 124 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
17 44 66 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Р,Т, |
11 50 70 |
12 49 61 |
13 48 62 |
14 47 63 |
15 46 64 |
16 45 65 |
18 43 67 |
19 42 68 |
20 43 69 |
|||||||||||||||||||
Ф |
104 123 |
96 143 |
108 138 |
113 123 |
98 148 |
103 133 |
118 128 |
93 143 |
108 138 |
113 123 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
27 34 76 |
|
|
|
||||||||||||||||||
Х,Ц, |
21 40 80 |
22 39 71 |
23 38 72 |
24 37 73 |
25 36 74 |
26 35 75 |
28 33 77 |
29 32 78 |
30 31 79 |
|||||||||||||||||||
Ш |
112 122 |
92 142 |
109 139 |
112 122 |
99 149 |
102 132 |
119 129 |
92 142 |
108 139 |
112 122 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
7 57 86 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
Ч,Щ, |
1 51 90 |
2 52 82 |
3 53 81 |
4 54 83 |
5 55 65 |
6 55 84 |
8 58 87 |
9 |
59 |
88 |
10 60 89 |
|||||||||||||||||
Э,Ю, |
101 121 |
91 141 |
110 140 |
111 121 |
100 150 |
101 131 |
120 130 |
91 141 |
110 140 |
111 121 |
||||||||||||||||||
Я |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2
3
3.3.Приложение интегралов к вычислению масс неоднородных линий и работы переменной силы.
4.Обыкновенные дифференциальные уравнения
4.1.Задачи, приводящиеся к дифференциальным уравнениям. Основные определения.
4.2.Дифференциальные уравнения первого порядка. Задача Коши. Теорема существования и единственности решения задачи Коши.
4.3.Интегрирование простейших типов дифференциальных уравнений: с разделяющимися переменными, однородных и линейных.
4.4.Дифференциальные уравнения второго порядка. Задача Коши. Уравнения, допускающие понижение порядка.
4.5.Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
4.6.Применение дифференциальных уравнений для решения задач физики и механики.
МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ
Контрольная работа №5
Для вычисления неопределённых интегралов № 1-30 необходимо проработать литературу: [1, гл.7, с. 285-312; 3, гл.5, с. 253-286; 6, гл.4,
с. 154-183; 7, гл.9, с. 225-286], где содержатся практические рекомендации по данной теме.
Для выполнения задания 1-30 (пункт а) нужно из таблицы интегралов выбрать такой, к которому можно свести данный интеграл.
Например, при вычислении
|
|
dx |
= ∫(5x |
+ 2) |
− |
5 |
|
|
∫ 3 |
( |
3dx |
||||||
5x + 2 5 |
|
|||||||
|
) |
|
|
|
|
|
||
используем табличный интеграл |
|
|
|
|
|
|||
|
|
∫undu = un+1 |
+ c . |
|
|
|
||
|
|
|
n + 1 |
|
|
|
|
Согласно этой формуле подводим под знак дифференциала основание степени. Так как d(5x + 2)= 5dx, то умножим и разделим интеграл на 5,
то есть
4
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
− |
5 |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
∫ 3 |
( |
5x |
+ 2 5 = ∫(5x + |
2) |
|
3dx = 5 ∫(5x + 2) |
|
3 5dx = |
5 ∫(5x |
+ 2) |
|
|
3d(5x + 2)= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
5 |
+1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
= 1 (5x + 2) 3 |
|
|
|
+ c |
= − |
3 |
(5x + 2)− |
+ c = − |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
+ c . |
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
5 |
|
5 |
+ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
103 (5x + 2) |
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
Интеграл ∫x e3x 2 −1dx |
|
|
сводится к табличному ∫eudu = eu + c путём |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
подведения |
|
под |
|
|
|
знак |
|
дифференциала |
показателя |
степени |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d(3x2 − 1)= 6xdx. Таким образом: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
∫x e3x |
|
−1dx = |
|
∫e3x |
|
−1 6xdx = |
|
∫e3x |
|
|
−1d(3x2 − 1)= |
|
e3x |
|
|
|
|
−1 + c . |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
6 |
|
6 |
|
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
В примере |
|
∫ 3cosx dx используем формулу ∫ du |
= ln |
|
u |
|
+ c , |
где под |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 + sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
знаком |
дифференциала |
|
|
находится |
знаменатель |
дроби. |
Так как |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
d(2 + sinx)= cosxdx , то |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(2 + sinx) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
3∫ |
cosxdx |
|
|
= 3∫ |
|
= 3 ln |
|
2 + sinx |
|
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 + sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 + sinx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
При вычислении интегралов в пункте б применяются методы
подстановки |
и |
|
интегрирования |
по |
частям, |
|
то |
есть по формуле |
||||||||||||||
∫udv = uv − ∫ vdu |
мы от исходного интеграла ∫udv |
переходим к более |
||||||||||||||||||||
простому ∫ vdu . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. ∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx , то есть возьмём |
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
u |
= arctgx du = |
|
|
|
|
|
, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
+ x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
dv = xdx v |
= ∫dv |
= ∫xdx = |
|
|
. |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
(здесь при нахождении v константу c полагаем равной 0). Получим |
||||||||||||||||||||||
∫x arctgxdx = ∫arctgx xdx = |
x2 |
arctgx − |
|
1 |
∫x2 |
|
dx |
. |
||||||||||||||
|
|
2 |
|
+ x2 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|||||||
Возьмём |
∫x2 |
|
отдельно |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
+ x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫x2 |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
x2 |
+ 1 − 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
= x − arctgx + c . |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
= |
∫ |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = |
∫ |
1 − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx = ∫dx |
− ∫ |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
1 + x2 |
|
x2 + 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
+ x |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 + x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
Итак |
|
|
|
|
|
|
∫x arctgxdx = x2 arctgx − |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
(x − arctgx)+ c . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Пример. Найти |
∫x e−3xdx . Пусть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
u = x du = dx, |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
−3x |
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
d(− 3x)= − |
|
−3x . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
dv |
= e |
|
|
|
dx |
v = |
∫e |
|
|
|
dx = − |
|
|
|
∫e |
|
|
|
e |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
∫x e |
−3x |
dx |
|
|
|
− |
1 |
e |
−3x |
|
|
|
− |
1 |
e |
−3x |
|
|
|
|
|
|
xe−3x |
+ |
1 |
∫e |
−3x |
dx = |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
= x |
3 |
|
|
− |
∫ |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
dx = − |
3 |
|
3 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − xe−3x |
− e−3x |
+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Пример. |
|
|
При |
вычислении |
|
|
|
|
интеграла |
|
I = ∫ 2 + |
|
|
x + 1 dx |
сделаем |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
||||||
подстановку u = |
|
x + 1 u2 = x + 1 x = u2 − 1 dx = 2udu, |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
x + 3 = u2 − 1 + 3 = u2 + 2 . Получим |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2u + u2 du . |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
I = ∫ 2 + |
|
x + 1 dx = ∫ |
|
|
|
2 + u 2udu = 2∫ |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2u + u2 |
|
|
|
|
|
x + 3 |
|
|
|
|
|
|
|
u2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
Дробь |
|
|
неправильная (степень числителя не меньше степени |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
u2 + 2 |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
знаменателя). Выделим целую часть |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(u2 + 2)− 2 + 2u |
= 1 − |
|
|
|
|
|
2 |
|
+ |
2u |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
2 + |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2u + u2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
u2 + 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 u2 + |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
Итак I = 2∫ |
du = |
|
|
∫du |
− ∫ |
|
2du |
|
+ |
|
∫ |
|
2udu |
= 2u − |
4 |
|
|
arctg |
|
u |
+ |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
u2 |
|
+ 2 |
|
2 |
u2 |
|
|
|
|
2 |
|
u2 |
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
|
|
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
+ 2 ln(u2 + 2)+ c = 2 |
x + |
|
1 − |
4 |
arctg |
|
|
x +1 + 2 ln x + 3 + c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
du |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Здесь ∫du и ∫ |
|
|
|
|
табличные, а |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
u2 + 2 |
2 |
+ 2) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2udu |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∫ |
|
|
|
= ∫ |
d(u |
|
|
= ln(u2 + 2)+ c . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
+ 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
u |
|
+ 2 |
|
|
|
|
u |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6
В пункте в приведены интегралы от дробнорациональных функций, метод интегрирования которых приведён в литературе [1,
гл. YII, с. 303-311; 7, гл. IX, с. 235-245].
Пример. Найти ∫ |
|
|
x2 − |
2 |
dx . |
|
x |
3 |
− 4x |
2 |
+ 3x |
||
|
|
|
|
Подынтегральная функция является правильной дробно - рациональной функцией, так как степень числителя меньше степени знаменателя. Для разложения её в сумму простейших дробей найдём корни знаменателя x3 − 4x2 + 3x = x(x2 − 4x + 3)= 0. Тогда x = 0,x =1,x = 3 . Так как корни действительные и различные числа, разложение имеет
вид |
x2 − 2 |
= |
A |
+ |
B |
|
+ |
C |
|
. Для нахождения неопределённых |
x3 − 4x2 + 3x |
|
x − |
1 |
x − |
3 |
|||||
|
|
x |
|
|
коэффициентов A,B,C приводим к общему знаменателю выражение в правой части и приравниваем числители
x2 − 2 = A(x −1)(x − 3)+ Bx(x − 3)+ Cx(x −1).
Подставляя в это равенство корень x = 0, получаем − 2 = 3A A = −23 .
При |
|
|
|
x =1, |
получаем |
|
|
−1 = −2B B = 1 . |
При |
|
x = 3 , |
получаем |
||||||||||||||||||||||||||||||
7 = 6C C = 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
. Заменяя подынтегральное выражение, получаем |
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
1 |
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
x |
2 |
− 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
dx |
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
∫ |
|
|
|
|
|
dx = ∫ |
|
|
|
|
|
|
+ |
|
|
+ |
|
|
dx = −2 ∫dx |
+ 1 ∫ |
|
+ 7 ∫ |
|
= |
||||||||||||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x |
x −1 |
x − |
|
|
|
3 |
||||||||||||||||||||||
|
x |
− 4x |
+ 3x |
|
|
|
|
|
3 |
3 x 2 x −1 6 x − |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= − |
2 |
∫ |
dx |
|
+ |
1 |
∫ |
d(x −1) |
+ |
7 |
|
∫d(x − 3) |
= − |
2 ln x + |
1 ln x −1 + |
7 ln x − 3 + C = |
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 x 2 x −1 |
|
|
|
|
6 x − 3 |
|
|
|
3 |
2 |
|
6 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
= ln |
x −1 6 (x − 3)7 |
|
+ C. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Для нахождения площадей плоских фигур и объёмов тел вращения в задачах № 31-60 рекомендуется изучить литературу [1, гл.8, с. 340-344, 347; 3, гл.6, с. 340-346; 4, гл.12, с. 416-418,426; 6, гл.5, с. 189,199; 7, гл.10, с. 269-271].
7
При вычислении интегралов в этих задачах и в дальнейшем можно пользоваться таблицей интегралов в справочниках [10, с. 841-851; 11,
с. 114-156].
Пример. Найти площади частей, на которые круг x2 + y2 = 12 делится параболой y = x2 .
Сделаем схематический чертёж ( рис.1) и найдём точки пересечения этих линий
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
= 12 |
|
|
|
|
2 |
= 12 − y |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
x |
|
|
12 |
− y2 = y |
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
= y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
y = x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
y2 + y − 12 = 0 y = − 1 ± 1 + 48 = − 1 ± 7 , y = 3. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
В |
точке |
пересечения |
|
x2 = 3 x1 = − |
3, x2 = |
|
|
. |
|
Площадь |
меньшей |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
||||||||||||||||||||||||||||||
части |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
3 |
|
|
x3 |
|
|
3 |
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
S1 = |
∫ |
12 − x2 dx − |
∫ x2dx = |
|
|
|
12 − x2 + 6 arcsin |
|
|
|
|
|
|
|
− |
|
|
|
= |
|||||||||||||||
2 |
|
12 |
|
|
|
3 |
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
− |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
− 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
3 |
|
|
− |
3 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
= |
|
3 |
12 − 3 + 6 arcsin |
3 |
− |
|
− |
|
3 |
12 |
− 3 |
− 6 arcsin |
|
3 |
|
− |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
2 |
12 |
|
2 |
12 |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
− |
|
3 |
3 |
− |
− 3 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
π |
− 2 3 = 3 + 2π. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
3 |
|
|
= 3 3 + 12 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
y = x2 |
|
|
|
|
|
|
y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
y = x
x
x
x2 + y2 =12
Рис.1 |
Рис.2 |
При вычислении интеграла ∫ 12 − x2 dx мы воспользовались справочни-
ком [10] (интеграл № 51) или [11] ( интеграл № 157).
Площадь большей части S2 = πr2 −S1 = π 12 − 3 − 2π =10π − 3 .
8
Пример. Найти объём тела, образованного вращением вокруг оси OX фигуры, ограниченной линиями y = x, y = x sinx, 0 ≤ x ≤ π .
Сделаем схематический чертёж ( рис.2) и найдём точки пересечения
этих линий y = x |
x − x sinx = |
y = x |
sinx |
|
π |
0, x1 = 0, 1 − sinx = 0, sinx = 1, x2 = π2 .
π
|
|
|
b |
b |
|
|
|
|
|
|
V = V1 − V2 = π∫y12dx − π∫y22dx = π∫2 x2dx − π∫2 x2 sin xdx = |
||||||||||
|
|
|
a |
a |
0 |
|
|
0 |
|
|
|
|
3 |
|
|
π |
|
|
3 |
|
|
|
x |
|
|
2 |
|
π |
|
|
||
= π |
|
− 2xsin x + (x2 |
− 2)cosx |
|
= π |
|
− π + 2 |
, |
||
|
|
|
|
|||||||
|
3 |
|
|
|
|
24 |
|
|
||
|
|
|
0 |
|
|
|
||||
∫x2 sin xdx = 2xsin x −(x2 − 2)cosx. |
|
|
|
|
При нахождении длины дуги в задачах № 61-90 следует помнить, что дифференциал длины дуги выражается различными формулами [1,
гл.8, с. 347-352; 4, гл.12, с. 432-436; 7, гл.10, с.270].
1. ds = 1 + (y′x )2 dx , если линия задана в декартовых координатах;
2. ds = (x′t )2 + (y′t )2 dt , если линия задана параметрически
x = x(t), y = y(t);
3. ds = r2 + (r′(θ))2 dθ, если линия задана в полярных координатах
r = r(θ).
Пример. Найти длину дуги кривой r = cos2 θ |
, |
0 ≤ θ ≤ |
π . |
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
θ |
2 |
|
|
|
θ |
|
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
Вычисляем ds = r2 |
+ (r′(θ)) |
2 |
dθ, rθ′ |
= 2cos |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
2 |
− sin |
2 |
|
2 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
r2 + (r′(θ)) |
2 |
= cos4 |
θ |
+ cos2 |
θ |
sin2 |
θ |
= cos2 |
θ |
|
|
|
θ |
+ sin2 |
θ |
|
= cos2 |
θ |
, |
|||||
|
2 |
2 |
2 |
2 |
cos2 |
2 |
|
|
2 |
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
ds = cos2 θ2dθ = cos θ2 dθ,
ππ
2 |
θ |
dθ = 2sin |
θ |
|
2 |
|
π |
|
= 2 |
2 |
= 2 . |
|
|||||||||||
S = ∫cos |
|
|
|
|
= 2 sin |
|
− sin0 |
|
|||
0 |
2 |
|
2 |
|
0 |
|
4 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
9
При решении задач № 91-120 необходимо изучить криволинейные интегралы второго рода (по координатам) и научиться их вычислять в зависимости от задания пути интегрирования [2, с. 82-89; 3, с. 472-479; 5, с.217-226].
r |
Пример. |
r |
Вычислить |
работу, |
совершаемую |
силой |
||
|
|
r |
при перемещении некоторой массы по дуге |
|||||
F = (x2 |
− 2xy)i + (y2 − 2xy)j |
|||||||
параболы y = x2 |
от точки A(1,1) до точки B(-1,1). |
|
||||||
|
Составляем криволинейный интегралA = |
∫ (x2 − 2xy)dx + (y2 − 2xy)dy . |
||||||
Так как y = x2 , то y′ = 2x, |
|
|
AB |
|
||||
dy = 2xdx , и при движении массы из точки A |
в точку B x принимает значения от 1 до -1, которые и будут пределами интегрирования по одной переменной x . Следовательно, имеем
A = |
∫ (x |
2 |
− 2xy)dx |
+ (y |
2 |
− 2xy)dy |
1 |
|
|
|
|
2 |
− 2x |
3 |
|
|
|
|
2 |
) |
2 |
− 2x x |
2 |
|
|
|||||||||||
|
|
= ∫ |
(x |
|
|
)+ (x |
|
|
|
|
2x dx = |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
AB |
|
|
|
|
|
|
|
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
2x |
4 |
|
|
|
|
2x |
6 |
|
|
|
4x |
5 |
|
|
1 |
|
|
|
14 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
= |
∫ |
(x2 − 2x3 + 2x |
5 |
− 4x |
4 )dx = |
x |
|
− |
|
|
+ |
|
|
|
− |
|
|
|
|
|
= |
. |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
−1 |
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
− |
1 |
|
15 |
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
r |
Пример. Вычислить работу, |
|
|
совершаемую |
|
|
переменной силой |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
r |
r |
при перемещении некоторой массы по дуге кривой, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
F = −y2x |
i + x2y j |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
заданной параметрически x = |
|
cost, |
|
|
y = |
|
|
sin t , от точки A до точки B с |
||||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениями параметра t1 = 0, t2 |
= π . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
Составляем |
криволинейный |
интеграл |
|
A = |
|
∫ (− xy2 )dx + x2ydy и |
AB
сводим его к определённому интегралу по t . Для этого находим дифференциалы
dx = d( |
cost)= |
− sin t |
sin t)= |
cost |
2 cost dt, dy = d( |
2 sin t dt . |
|||
После подстановки вместо x, y,dx,dy |
их выражений через t |
криволинейный интеграл превращается в определённый интеграл по переменной t , то есть
π |
|
|
|
(− sin t) |
|
|
|
|
2 |
− sin t |
cos t |
+ cost |
sin t |
cost |
|||
A = ∫ |
|
2 cost |
|
dt = |
||||
0 |
|
|
|
|
2 |
sin t |