В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр)

По результатам исследования строим график функции

Контрольная работа №4

Для решения данной контрольной работы следует проработать литературу по теме «Функции нескольких переменных» [2, гл. IX, с. 4- 24, с. 31-38, с. 41-44; 6, гл. I, с. 9-16, гл. YI, с. 248-251; 7, гл. YIII, с. 208221].

При решении задач 1-30, если функция двух переменных задана только аналитическим выражением, то под областью определения понимают совокупность всех точек плоскости OXY, в которых аналитическое выражение определено и принимает действительные значения. Например, для функций z = ϕ(x,y), где ϕ(x,y) - некоторая функция двух

переменных, выполнены условия:

1)z = (a ) область определения D : ϕ(x,y)≠ 0 ;

ϕx,y

2)z = 2n ϕ(x,y) область определения D : ϕ(x,y)≥ 0,n f0 - целое;

3)z = lnϕ(x,y) область определения D : ϕ(x,y)f0 ;

4)z = arcsinϕ(x,y) область определения D : ϕ(x,y)≤1 .

11

Областью определения первого слагаемого является часть плоскости, выделенная штриховкой на рис.1.

Рис. 1 Рис. 2 Рис. 3

Второе слагаемое определено при x2 + y2 −1 f 0 x2 + y2 f1. Изобра-

зим штриховкой область определения второго слагаемого на чертеже

(рис. 2).

Область определения нашей функции есть пересечение областей определения слагаемых функции (рис. 3). Точки линий x = −2, x = 2 при-

надлежат области определения, а точки окружности x2+y2 =1 не принадлежат области определения.

Для решения задач 31-60 нужно уметь находить частные производные первого и второго порядка [2, гл. IX, с. 1217; 6, гл. YI, с. 253256; 7, гл. YIII, с. 209210].

Пример. Показать, что функция z = x2 sin yx удовлетворяет уравне-

нию ∂2z = ∂2z .

∂x∂y ∂y∂x

Решение. Найдём частные производные функции z = x2 sin yx перво-

го порядка. Рассматривая y как постоянную величину, получим частную производную функции z по x :

12

Рассматривая x как постоянную величину, получим частную производную функции z по y :

Подставим частные производные второго порядка в заданное уравнение

cos yx + yx sin yx = cos yx + yx sin yx .

Получили тождество, то есть функция z удовлетворяет заданному уравнению.

При решении задач 61-90 во втором пункте нужно использовать приложения полного дифференциала к приближённым вычислениям

[2, гл. IX, с. 2021; 6, гл. YI, с. 264-266; 7, гл. YIII, с. 219221].

Пример. Дана функция z = x2 + xy − y и две точки A(1,2) и B(1,03;1,98). Требуется: 1) вычислить значение z1 в точке B; 2) вычислить приближённое значение z1 функции в точке B, исходя из значения z0 функ-

ции в точке A и заменив приращение функции при переходе от точки A к точке B дифференциалом; 3) оценить в процентах относительную погрешность, получающуюся при замене приращения функции её дифференциалом; 4) составить уравнение касательной плоскости к поверхно-

сти z = x2 + xy − y в точке C(1,2,z0 ).

Решение. 1. z1 = z(B)= (1,03)2 +1,03 1,98 −1,98 =1,1203 .

2. Используем формулу

f (x0 + ∆x,y0 + ∆y)≈ f (x0 ,y0 )+ fx′(x0 ,y0 )∆x + fy′(x0 ,y0 )∆y .

13

Положим x0 =1, x0 + ∆x =1,03, y0 = 2, y0 + ∆y =1,98. Тогда ∆x = 0,03; ∆y = −0,02 .

Для заданной функции вычисляем частные производные

f (x0 ,y0 )= f (1,2)= z0 =1 + 2 − 2 =1.

Следовательно:

z1 = f (x0 ,y0 )+ fx′(x0 ,y0 )∆x + fy′(x0 ,y0 )∆y =1 + 4 0,03 + 0 (− 0,02)=1,12 .

3. Относительную погрешность определяем по формуле

4. Используем уравнение касательной плоскости:

fx′(x0 ,y0 )(x − x0 )+ fy′(x0 ,y0 )(y − y0 )− (z − z0 )= 0

к поверхности z = f (x,y). Подставляем в уравнение касательной плоско-

сти все данные, найденные в п. 2, получим

4(x −1)+ 0(y − 2)− (z −1)= 0 или 4x − z − 3 = 0 .

Для решения задач 91 –120 следует знать, что функция, непрерывная в ограниченной замкнутой области, достигает наибольшего и наименьшего значений или в критических точках, лежащих внутри, или на границе области, или в угловых точках границы области [2, гл. IX, с.

ниченном прямыми x = 0; y = 0; x + y = 6 .Найти наибольшее и наимень-

шее значения функции z .

Решение. Построим заданную область (рис. 4). Найдём критические точки внутри области, пользуясь необходимым условием существова-

ния экстремума z′x = 0,

z′y = 0.

вид z = −y2 + 4y , то есть является функцией одной переменной. Опре-

z = 2x2 − 4x −12 , то есть является функцией одной переменной. Определим критические точки z′x = 4x − 4, 4x − 4 = 0, x =1. Получаем точку

Из полученных значений z1 = 2,z2 = 0,z3 = 4,z4 = −14,z5 = 36,z6 = −12 выбираем наибольшее и наименьшее. Получаем

zнаиб = z(A)= 36, zнаим = z(M3 )= −14 .

При решении задач 121 –150 нужно использовать понятия скалярного поля, производной по заданному направлению и градиента функции

[2, гл. IX, с. 3138; 6, гл. YIII, с. 343-348].

Например, для определения градиента функции z = 5x2y − 7xy2 + 5xy в точке A(1,2) нужно найти значения частных производных в этой точке.