В.М. Волков Математика и математика в экономике. Контрольные задания №3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса (2 семестр)

Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Кузбасский государственный технический университет

Предмет:

Высшая математика

Файл:

y′ = 3 tg2

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

19.08.2013

Размер:

306.94 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

МИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ

ГОСУДАРСТВЕННОЕ УЧРЕЖДЕНИЕ КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИ-

ВЕРСИТЕТ

Кафедра прикладной математики

МАТЕМАТИКА И МАТЕМАТИКА В ЭКОНОМИКЕ

Контрольные задания № 3, 4 и методические указания для студентов заочной формы обучения экономических специальностей 1 курса ( 2 семестр )

(в том числе сокращённые сроки обучения)

Составитель В.М. Волков

Утверждены на заседании кафедры Протокол № 5 от 4.03.01 Рекомендованы к печати учебнометодической комиссией ИЭФ Протокол № 3 от 6.03.01

Электронная копия находится в библиотеке главного корпуса ГУ КузГТУ

Кемерово 2001

Контрольные работы № 3,4 составлены в соответствии с программой курса высшей математики для студентов-заочников. В составлении работ и методических указаний к ним принимали участие преподаватели: В.М.Волков, Е.А.Волкова, В.А.Гоголин, О.А.Зубанова, И.А.Ерма-кова, В.И.Немов, В.А.Похилько, Е.В.Прейс, С.М.Швыдко.

Номера задач контрольных работ студент должен выбрать по таблице «Выбор номеров контрольных задач» следующим образом:

найти строку, соответствующую первой букве фамилии; найти столбец, соответствующий последней цифре шифра;

на пересечении найденных строки и столбца взять номера задач контрольных работ № 3,4.

Контрольные работы, выполненные не по своему варианту, возвращаются непроверенными.

ПРОГРАММА 1 КУРСА (2 СЕМЕСТР )

1.Дифференциальное исчисление функции одной переменной

1.1.Производная функции, её геометрический и физический смысл. Правила дифференцирования. Логарифмическое дифференцирование. Производные функций, заданных неявно и параметрически.

Правило Лопиталя.

1.2.Дифференциал функции. Применение дифференциала к приближённым вычислениям.

1.3.Производные и дифференциалы высших порядков.

1.4.Условия возрастания и убывания функции. Точки экстремума. Необходимый и достаточный признаки существования экстремума.

1.5.Теорема о функции, непрерывной на замкнутом интервале. Отыскание наибольшего и наименьшего значений функции, непрерывной на замкнутом интервале. Применение теории экстремума к решению задач.

1.6.Выпуклость, вогнутость графика функции. Точки перегиба. Необходимый и достаточный признаки существования точек перегиба.

1.7.Асимптоты графика функции и способы их отыскания. Общая схема исследования функции и построения её графика.

					2
			Выбор номеров задач контрольных работ
							6
	0	1	2	3	4	5	6	7	8	9
							7 37 74
А,В,	1 31 80	2 32 79	3 33 78	4 34 77	5 35 76	6 36 75	7 37 74	8 38 73	9 39 72	10 40 71
Д	110 130	100 150	101 131	120 130	91 141	110 140	111 121	100 150	101 131	120 130
							17 47 64
Б,Ё,З	11 41 70	12 42 69	13 43 68	14 44 67	15 45 66	16 46 66	17 47 64	18 48 63	19 49 62	20 50 61
	109 129	99 149	102 132	119 129	92 142	109 139	112 122	99 149	102 132	119 129
							27 57 74
Г,Ж,	21 51 80	22 52 79	23 53 78	24 54 77	25 55 76	26 56 75	27 57 74	28 58 79	29 59 72	30 60 71
И,Л	108 128	98 148	103 133	118 128	93 143	108 138	113 123	98 148	103 133	118 128
							7 54 84
К	1 60 90	2 59 89	3 58 88	4 57 87	5 56 86	6 55 85	7 54 84	8 53 83	9 52 82	10 51 81
	107 127	97 147	104 134	117 127	94 144	107 137	114 124	97 147	104 144	117 127
							17 43 66
М,Н,	11 49 70	12 48 61	13 47 62	14 46 63	15 45 64	16 44 65	17 43 66	18 50 67	19 42 68	20 41 69
О	106 126	96 146	105 135	116 126	95 145	106 136	115 125	96 146	105 135	116 126
							27 37 76
П,Ы	21 31 80	22 32 71	23 33 72	24 34 73	25 35 74	26 36 75	27 37 76	28 38 77	29 39 76	30 40 79
	105 125	95 145	106 136	115 125	96 146	105 135	116 126	95 145	106 136	115 125
							7 54 86
С,У,	1 60 90	2 59 81	3 58 82	4 57 83	5 56 84	6 55 85	7 54 86	8 53 87	9 52 88	10 51 89
Е	104 124	94 144	107 137	114 124	97 147	104 134	117 127	94 144	107 137	114 124
							17 44 66
Р,Т,	11 50 70	12 49 61	13 48 62	14 47 63	15 46 64	16 45 65	17 44 66	18 43 67	19 42 68	20 41 69
Ф	103 123	93 143	108 138	113 123	98 148	103 133	118 128	93 143	108 138	113 123
							27 34 76
Х,Ц,	21 40 80	22 39 71	23 38 72	24 37 73	25 36 74	26 36 75	27 34 76	28 33 77	29 32 78	30 31 79
Ш	102 122	92 142	109 139	112 122	99 149	102 132	119 129	92 142	108 139	112 122
							7 57 86
Ч,Щ,	1 51 90	2 52 81	3 53 82	4 54 83	5 55 84	6 56 85	7 57 86	8 58 87	9 59 88	10 60 89
Э,Ю,	101 121	91 141	110 140	111 121	100 150	101 131	120 130	91 141	110 140	111 121
Я

2. Функции нескольких переменных 2.1.Понятие функции нескольких переменных. Область определения.

Непрерывность.

2.2. Частные производные первого порядка. Полный дифференциал функции, его применение к приближённым вычислениям.

2.3.Касательная плоскость к поверхности. Частные производные высших порядков.

2.4.Экстремум функции двух переменных. Наибольшее и наименьшее значения функции двух переменных.

2.5.Градиент. Производная функции двух переменных по направле-

нию.

МЕТОДИЧЕСКИЕ УКАЗАНИЯ К КОНТРОЛЬНЫМ РАБОТАМ

Контрольная работа № 3

В данную контрольную работу включены задачи дифференциального исчисления функции одной переменной [1, гл.6].

Для решения задач № 1-30 необходимо изучить литературу [1, гл.6, п.п.1-3]. Особое внимание следует обратить на правило дифференцирования сложной функции. Например, y = tg3 2x сложная функция, так как она может быть представлена в виде композиции элементарных функций. Задана степенная функция y = u3 , её аргумент u = tgv явля-

ется тригонометрической функцией, аргумент v которой в свою очередь является функцией от x: v = 2x . По правилу дифференцирования

сложной функции имеем

y′x = y′u u′v v′x = 3u2 cos12 v 2.

Подставляя вместо u, v их выражения через x, получим

Пример. Найти дифференциал функции y = e2x − 4 − ln2 3x . Решение. Дифференциал функции равен dy = y′ dx . Найдём произ-

водную, применяя правила дифференцирования разности функций и сложной функции, получим

′

−

(e2x

− ((ln 3x)2 )

1 (e2x

− 4)

2 e2x

2 − 2ln 3x

dy =

− 4)2

dx =

− 2ln 3x

dx.

e2x − 4

Пример. Найти дифференциал функции y =

x5−x 2

cos2 x

Решение. Так как функция представляет собой частное двух функ-

ций, то при нахождении производной применяем правило дифференцирования частного двух функций и при нахождении производной функции в числителе используем правило дифференцирования произ- ведения функций. Получаем

5−x

+ x

5−x

)

′

2 x − (cos2 x)

′

(x)′

cos

−x

dy =

(

dx =

cos4 x

[5−x 2

+ x5−x 2

ln 5(− 2x)]cos2 x − 2cosx(− sin x)x5−x 2

dx =

cos4 x

=	5−x 2 (cosx − 2x2 ln 5 cosx + 2x sin x)	dx.

	cos3 x

При решении задач № 1-30 (п. г)) следует использовать метод логарифмического дифференцирования.

Пример. Найти дифференциал функции y = (x2 + 7)arcsin x .

Решение. Так как основание и показатель являются функциями, то предварительно прологарифмируем данную функцию

ln y = arcsin x ln(x2 + 7).

Дифференцируем полученное равенство по переменной x

(ln y)′ = (arcsin x ln(x2 + 7))′.

y′ =

ln(x2

+ 7)+ arcsin x

2x.

1 − x2

x2 + 7

ln(x2

+ 7)+ arcsin x

y′ = y

2x .

1 − x2

+ 7

dy = (x2 + 7)arcsin x

ln(x2 + 7)+ arcsin x

dx.

1 − x2

Для решения задач № 31-60 следует использовать литературу [1,

гл.6, п.2; 2, гл.6, п.2].

Пример. Для функции y = ln(sin 3x) найти значения производных

d2y

при x =

dx2

cos 3x 3

(sin 3x)′

Решение.

= y′

= 3ctg3x .

sin 3x

(

−1

′

)

= y′′

= (3ctg3x)

= −

dx2

sin2

3ctg

= 0 .

3ctg

d2y

π = −

= −9 .

dx2

sin

Для решения задач №61-90 необходимо знать, что наибольшее и наименьшее значения функции на замкнутом интервале могут достигаться в критических точках, принадлежащих интервалу, или на границах интервала.

Пример. Найти наибольшее и наименьшее значения функции f (x)= 13 x3 − 52 x2 − 6x + 9 на отрезке [0,8].

Решение. Найдём критические точки, для этого производную функции приравняем к нулю f ′(x)= x2 − 5x − 6 = 0. Корни этого уравнения

x1 = −1; x2 = 6 . Отрезку [0,8] принадлежит только точка x2 = 6 . Най-

дём значения функции в данной критической точке и на концах интер-

вала f (6)= −45; f (0)= 9; f (8)= −28	1 .
	3

Итак, наибольшее значение функции равно 9 и достигается в точке x = 0. Наименьшее значение функции равно -45 и достигается в точке x = 6.

При решении задач № 91-120 труднее всего записать выражение оптимизируемой функции по указанным свойствам.

Пример. Закрытый бак имеет форму цилиндра. При данном объёме V каковы должны быть радиус основания и высота бака, чтобы расход материала на его изготовление был наименьшим.

Решение. Оптимизируемая функция - полная поверхность цилиндра

S = Sбок + 2Sосн = 2πrh + 2πr2 .

Это функция двух переменных r и h. Выразим одну переменную через другую, используя условие, что объём цилиндра должен остаться по-

стоянным, равным V . V = πr2h , отсюда h = πVr2 . Подставим это вы-

ражение в оптимизируемую функцию S , получим S = 2πr πVr2 + 2πr2 ,

S = 2rV + 2πr2 . Теперь функция S записана как функция одной пере-

менной r . Задача сводится к исследованию функции S(r) на экстремум

(минимум) [1, гл.6, п.7; 2, гл.7, п.2].

Так как функция определена на открытом промежутке (0, ∞), то она

может достигать наименьшего значения только в критических точках
этого промежутка. Найдём производную и приравняем её к нулю
S′(r)= − 2V + 4πr =	2(2πr3 − V)	.

r2	r2

S′(r)= 0 2πr3 − V = 0 r = 3 2Vπ .

Покажем, что в этой критической точке функция S(r) достигает минимума. Найдём S′′(r):

S′′(r)=

(

S′(r)

)

′

−

′

+ 4π,

+ 4πr

+ 4π = 12π f 0 ,

S′′ 3

2π

то есть при r =

функция S(r)

имеет минимум. Определим высоту

2π

= 23 V .

бака при r = 3

h =

2π

π 3

2π

В задачах № 121-150 требуется провести полное исследование указанных функций и построить их графики. Эти вопросы освещены в следующей литературе [1, гл.6, п.8; 2, гл.7, п.2].

При исследовании целесообразно придерживаться следующей схемы:

1)найти область определения функции, вычислить предельные значения на её границе, найти уравнения вертикальных и наклонных асимптот, если они существуют. Найти точки пересечения графика с осями координат;

2)с помощью первой производной найти интервалы возрастания и убывания функции, её экстремумы;

3)с помощью второй производной определить интервалы выпуклости и вогнутости графика функции и точки перегиба.

Рекомендуется построение графика функции проводить поэтапно параллельно с исследованием по указанной схеме.

Пример. Построить график функции y = 3x3 + 3x2 .

Решение. 1. Функция определена при всех x (− ∞, ∞) и непрерыв-

на в области определения, следовательно, нет вертикальных асимптот. Найдём уравнение наклонной асимптоты y = kx +b , где

k = lim

f (x)

3 x3

+ 3x2

∞

= lim

3 1

= 1,

= lim

x→±∞

)

x→±∞

∞

x→±∞

x→±∞(

(

− kx

)

x→±∞(

3 x3 +

3x2

− x

)

{

}

b = lim

lim

∞ − ∞

(

)

(

)

+ 3x

+ x

+ 3x

+ x

= lim

− x 3

(x3

+ 3x2 )2 + x3

x3 + 3x2 + x2

x→±∞

= lim

x3 + 3x

2 − x3

(x3

+ 3x2 )2 + x3 x3 + 3x2 + x

x→±∞

= lim

= 3

= 1.

x→±∞

1 +

+ 3

1 +

Получили уравнение наклонной асимптоты y = x +1. Функция пересекает ось ординат при y = 0 и ось абсцисс при x = −3 и x = 0.

Функция не обладает свойствами чётности, нечётности и периодичности.

2. Определим интервалы возрастания и убывания функции и её экстремумы, для чего находим первую производную

		x	3	+ 3x		2	)	1	′	=	1	(	x	3	+ 3x	2	)	−	2	(	3x	2	+ 6x	)	=	x2 + 2x	=
			3			2			′		1			3		2		−	3			2				x2 + 2x
y′ =								3											3							3 (x3 + 3x2 )2
	(										3															3 (x3 + 3x2 )2
=	x + 2				.
3	(			)	2
3	x x + 3				2
y′ = 0		при x1 = −2								и производная не существует при x2 = −3, x3 = 0 .

Эти критические точки разбивают область определения на интервалы
(− ∞,−3);	(− 3,−2);	(− 2,0); (0, ∞).

Внутри каждого интервала знак производной сохраняется. Чтобы определить знак производной на каждом интервале, выбираем в каждом из них по одной точке и вычисляем значение производной в этих точках. Например, в интервале (− ∞,−3) возьмём точку x = −4 ,

тогда y′(− 4)=

− 4 + 2

f 0 , следовательно, функция на интервале

(

)

− 4 −

(− ∞,−3) возрастает. На интервале (− 3,−2) функция возрастает, так

как y′(− 2,5)

= − 2,5 + 2 f 0. На интервале (− 2,0) функция убывает, так

− 2,5

y′(−1)=

−1 + 2

(0, ∞) функция возрастает, так

как

3 − 4 p 0.

На интервале

как

y′(1)= 1 + 2 f 0 .

3 16

Составим для наглядности таблицу изменения знаков производной

(− ∞,−3)

-3

(− 3,−2)

-2

(− 2,0)

(0, ∞)

y′

не суще-

ствует

возрас-

нет экст-

возрас-

макси-

убыва-

мини-

возрас-

тает

ремума

тает

мум

ет

мум

тает

ymax (− 2)= 3

≈ 1,6;

ymin (0)= 0.

3. Определим интервалы выпуклости , вогнутости, точки перегиба

графика функции, для чего найдём вторую производную:

′

y′′ =

(x + 2)(x3 + 3x2 )−

3 = (x3 + 3x2 )−3 +

−

3 (3x2

+ 6x)= −

+ (x + 2) −

(x3 + 3x2 )

3 x4

(x + 3)5

которая не равна нулю для любого конечного x. Поэтому точками перегиба могут быть те точки, в которых y′′ не существует, то есть

x1 = −3; x2 = 0 . Определим знак второй производной в каждом из ин-

тервалов, на которые найденные критические точки разбивают область определения, и составим таблицу изменения знаков второй производной

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Высшая математика