В.А. Гоголин Финансовая математика

10

5. АНАЛИЗ ИНВЕСТИЦИОННЫХ ПРОЕКТОВ

Инвестиционные процессы – это потоки платежей, в которых инвестиции отрицательны, доходы положительны, их целью является наращение капитала.

Схема инвестирования. Инвестор берет в банке со ставкой процента i кредит на сумму I и вкладывает ее в некоторое предприятие. Затем начинает получать доходы от предприятия и, чтобы вернуть кредит I, вкладывает их в тот же банк. Например, I = 2000, i = 8%. Через 1 год наращенная сумма составляет: –2000 1.08 = –2160, однако инвестор получает доход R1 = 1000 и его долг уменьшается и составляет –2160 +1000 = –1160. В конце второго года доход составляет R2 = 800, а долг: –1160 1.08 + 800 = –453. В конце третьего года R3 = 800, и счет в банке положительный: –453 1.08 + 800 = +311, что означает, что за срок 3 года инвестиции окупились и получен некоторый чистый доход. Если эту величину дисконтировать к моменту 0 – началу инвестирования по ставке 8%, то получим 311⁄ (1 + +0,08)3 = 247. Эта величина называется приведенным чистым доходом проекта. Смысл ее заключается в следующем. В рассматриваемом случае инвестор затратил I=2000, затем получал доходы R1, R2, R3, и в конце 3-го года у него на счету сумма 311. Это равносильно тому, что инвестор без затрат в момент 0 получил доход 247 и в конце 3-го года по ставке 8% у него накопилась сумма 311.

Приведенный чистый доход Vp определяется как сумма (алгебраическая) всех платежей, дисконтированных к моменту 0 по действующей ставке процента i:

где Rk – поток платежей в момент tk , (Rk> 0 – доход, Rk < 0 – затраты, инвестиции).

Доходность проекта (рентабельность):

d = Vp ⁄⁄-I , (27)

в рассматриваемом случае d = 311⁄⁄ 2000 = 0,156 или в процентах d=

=15,6%.

Для конечного инвестиционного процесса (когда в нем имеется конечный платеж) можно определить наращенный чистый доход Vf, как сумму (алгебраическую) всех платежей, дисконтированных к моменту tn последнего платежа по ставке процента i

11

доходность d > 0.

Рассмотрим процесс с инвестициями в начальный момент 0 и последующими доходами Rk в течение n лет. Пусть I = –1000, Rk = =const = 500, n = 3.

Сравним проекты:

1) i = 10%

Инвестор имеет через 1 год: –1000 1,1+500 = –600; через 2 года: –600 1,1+500 = –110; через 3 года: –110 1,1+500 = + 379. Проект окупается,

2) i = 23%

Аналогично: через 1 год имеет: –1000 1,23+500 = –730; через 2 года: –398; через 3 года: +10. Проект окупается, но его доходность равна нулю (приближенно):

3) i = 30%

Через 1 год: –1000 1,3+500 = –800; через 2 года:–540; через 3 года: –202.

d = − 202(1,1)3 1000

Внутренней нормой доходности q процесса называется предельный уровень ставки процента, при котором взятые по этой ставке инвестиции окупаются доходами процесса. Для рассматриваемого процесса q ≈ 23%. Если процесс окупающийся, то i≤ q.

a(n, i) = 1⁄⁄ (1+i)+ 1⁄⁄ (1+i)2 +…+1⁄⁄ (1+i)n – коэффициент приведения ренты.

12

При увеличении i происходит уменьшение Vp , доходность d также уменьшается, срок окупаемости увеличивается. Внутренняя доходность q определяется размером инвестиций и потоком доходов.

Пример 11. Рассчитать характеристики конечного проекта с начальными инвестициями и постоянными доходами: затраты на строительство магазина 10 000, затем в течение 10 лет доход 3 000 в год, ставка процента i = 8% в год.

Используя (29), рассчитываем: a(10, 8) = 6,710; Vp = –10 000+ +3000 6,710 = 10 310. Доходность d = 10 310⁄ 10 000 = 1, 031 или 103,1%.

Внутреннюю доходность q найдем из условия: Vp = 0, то есть

– I+ R a(n, q) = 0, откуда a(n, q) = I⁄⁄R. a(10, q) = 10 000 ⁄⁄3000 = 3,33.

По таблице коэффициентов приведения ренты подбираем q, q = =27%.

Рассчитывая последовательно по годам величину Vp , находят срок окупаемости, когда Vp> 0.

Пример 12. Рассчитать характеристики бесконечного проекта с начальными инвестициями: затраты на строительство магазина 10000,

Vp= –10 000+2000⁄ 0,08 = 15 000, d = 15 000⁄ 10 000 = 1,5 или 150%.

Внутренняя доходность определится из равенства

I = R⁄⁄q, то есть q = R⁄⁄I. q = 2000 ⁄⁄10 000 = 20%.

Сравнение инвестиционных проектов осуществляется по величине характеристик: приведенного чистого дохода Vp , срока окупаемости и внутренней доходности проекта. В случае равенства этих характеристик проекты оценивают по затратам как на начальной стадии К, так и по текущим издержкам С (ремонт). Подсчет современной величины затрат А для каждого проекта для бесконечного

потока затрат С осуществляется как

А = К + С⁄⁄(1+i)+ 1⁄⁄(1+i)2 +… = К + С ⁄⁄i . (31)

Из сравниваемых проектов лучшим надо считать тот, у которого современная величина потока затрат наименьшая по ставке сравнения i.

где величина 1⁄⁄ i – показывает максимально допустимые сроки окупаемости проекта.

Аренду оборудования также можно рассматривать как своеобразный инвестиционный процесс. Владелец имеет оборудование стоимостью Р, которое рассчитано на срок службы N лет. Остаточная

При данной норме амортизации h = 1⁄⁄ N через N лет владелец должен окупить свои вложения в оборудование и получить некоторый доход, то есть доходность j должна быть выше нормы амортизации h.

Таким образом, владелец имеет оборудование стоимостью Р, которое сдает в аренду на n лет. Через n лет оборудование будет стоить S, а на момент начала аренды остаточная стоимость составит S⁄⁄ (1+j)n. Владелец теряет за n лет сумму Р – S⁄⁄(1+j)n, которую ему должен возместить арендатор. Арендатор платит ежегодно арендный платеж R и современная величина этих платежей составит R a(n, j). Должно

выполняться равенство

R a(n, j) = Р – S⁄⁄(1+j)n, откуда

купить оборудование или его арендовать. Для этого он должен сравнить современные величины затрат на покупку и на аренду. Если

затраты, связанные с покупкой, больше, чем на аренду:

Р – S⁄⁄(1+i)n > R a(n, i),

то надо арендовать оборудование, а если наоборот, то покупать.

6. ОЦЕНКА ФИНАНСОВЫХ ОПЕРАЦИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ

Рассматривается вопрос о проведении финансовой операции с неопределенным исходом, поэтому проводим анализ нескольких возможных решений и их последствий. Нас, в частности, интересует вопрос об объемах поставок продукции на рынок в условиях полной неопределенности о величине спроса на эту продукцию.

Пусть X = ( x1 , ... , xm) – возможные объемы поставок, Y = ( y1 , ... ,

15

принять 1-ю стратегию.

По критерию Гурвица при k = 0,2

W = max{ (-10 0,2+15 0,8); (-20 0,2+30 0,8); (-30 0,2+45 0,8)} ={ 10; 20; 30} = 30, что дает основание принять 3-ю стратегию.

ЗАДАНИЯ ДЛЯ КОНРОЛЬНОЙ РАБОТЫ

Для выбора индивидуального задания используются две последние цифры номера зачетной книжки – число десятков и число единиц, которые после увеличения на единицу дают числа m и n. (Если последние цифры 24, то m = 3; n = 5).

1. Получен кредит в размере m млн р. под n % ежемесячно. Какая сумма должна быть возвращена через (m + n) месяцев при простом проценте? Какая должна быть процентная ставка при сложном проценте, чтобы за это же время возвращаемая сумма была та же, что и при простом проценте?

2.Заемщик должен одному кредитору три различные суммы: m тысяч рублей с выплатой через 3 месяца, n тысяч рублей с выплатой через 4 месяца, (m + n) тысяч рублей через 6 месяцев. Через какой срок заемщик может погасить весь долг сразу, если кредиты брались под простую годовую ставку (10+m)%?

3.Фирме требуется накопить (100+100m) тыс.р. для покупки оборудования через [4+((-1)m+(-1)n)/2] лет. Для этого в конце каждого полугодия на счет в банке собираются делать взнос. Какова должна быть величина этого взноса, если банк начисляет проценты ежеквартально по ставке сложных (10+n)% годовых? Найти современную стоимость этой ренты.

4.Некто хочет вложить определенную сумму в финансовую операцию на срок [8+(-1)m +(-1)n] месяцев. Он рассматривает следующие варианты:

а) положить в банк под простые (20+n)% годовых; б) положить в банк под сложные (20+n)% годовых с начислением в конце каждых двух месяцев; в) купить облигацию по курсу (80+m)% с тем же сроком погашения.

16

Какой из вариантов выбрать?

5.Банк учел вексель по простой учетной ставке d=n% годовых за (100+m) дней до срока выплаты и кроме того удержал комиссионные в размере 0,m% от номинала. Оценить доходность этой операции в виде годовой ставки: а) простых, б) сложных процентов.

6.Выбрать решение о поставках продукции в условиях неопределенности спроса по следующей матрице полезности (k=0,m)

ЛИТЕРАТУРА

1. Капитоненко В.В. Финансовая математика и ее приложения. –

М.: Приор, 1999. – 144 с.

2. Ковалев В.В. Сборник задач по финансовому анализу. – М.: Финансы и статистика, 1997. – 128 с.

3.Кочович Е. Финансовая математика. – М.: Финансы и статистика. – М.: Юнити, 1994. – 371 с.

4.Малыхин В.И. Финансовая математика. – М.: Юнити, 1999. –

247 с.

5.Четыркин Е.М. Методы финансовых и коммерческих расчетов.

–М.: Дело Лтд, 1995. – 320 с.

6.Фомин Г.П. Финансовая математика: 300 примеров и задач. Учеб. пособие. – М.: “Гном – Пресс”, 2000. – 120 с.

17

Составители

Вячеслав Анатольевич Гоголин и др.

ФИНАНСОВАЯ МАТЕМАТИКА

Программа, методические указания и контрольная работа для студентов экономических специальностей заочной формы обучения

Редактор З.М. Савина

ЛР № 020313 от 23.12.96.

Подписано в печать 27.11.2000. Формат 60×84/16.

Бумага офсетная. Отпечатано на ризографе. Уч.-изд. л. 1,0. Тираж 150 экз. Заказ .

Кузбасский государственный технический университет. 650026, Кемерово, ул. Весенняя, 28.

Типография Кузбасского государственного технического университета. 650099, Кемерово, ул. Д. Бедного, 4А.