М.А. Тынкевич Принятие решений в условия неопределенности (теория игр и статистических решений)
.pdfМИНИСТЕРСТВО ОБРАЗОВАНИЯ РОССИЙСКОЙ ФЕДЕРАЦИИ
КУЗБАССКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ
Кафедра вычислительной техники и информационных технологий
ПРИНЯТИЕ РЕШЕНИЙ В УСЛОВИЯХ НЕОПРЕДЕЛЕННОСТИ
(ТЕОРИЯ ИГР И СТАТИСТИЧЕСКИХ РЕШЕНИЙ)
Методические указания и задания к практическим занятиям по курсам
“Исследование операций в экономике” и “Экономико-математические методы”
для студентов экономических специальностей
Составители М.А.Тынкевич О.А. Бияков
Утверждены на заседании кафедры вычислительной техники и информационных технологий Протокол № 5 от 16.01.2001
Рекомендованы к печати учебно-методической комиссией по специальности 351400 Протокол № 3 от 16.01.2001
Кемерово 2001
1
Работа 1. Матричные игры
1.1. Постановка задачи и описание метода решения
Теория игр занимается изучением т. н. конфликтных ситуаций, где сталкиваются интересы индивидов, партий, государств и т. п. Разумеется, не существует математической теории, которая могла бы однозначно предсказать результат реальной игры, но существуют ситуации, подобные игровым и допускающие математический анализ.
Простейшими среди игр являются матричные игры с нулевой суммой. В такой игре участвуют два игрока, первый из которых имеет m выборов и второй - n выборов. Если игрок 1 делает свой i-й выбор, а игрок
2 - свой j-й выбор, то выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) равен Rij.
Матрица R = [ Rij / i=1..m , j=1..n ] называется матрицей выигрышей
(платежной матрицей).
Система правил, однозначно определяющая выбор игрока в зависимости от сложившейся ситуации, называется стратегией.
Каждая фиксированная стратегия игрока, где конкретный выбор со-
поставлен любой ситуации, называется |
чистой. В реальности чаще ис- |
пользуются т.н. смешанные стратегии, |
где чистые стратегии смеши- |
ваются с некоторыми частотами.
При ведении игры игрок должен ориентироваться на оптимальную политику партнера и наказывать его за отступления от таковой.
С этих позиций игроку 1 гарантирован выигрыш, не меньший
V1 = max min Rij ,
i=1..m j=1..n
а игроку 2 - проигрыш, не превышающий
V2 = max min Rij .
i=1..m j=1..n
Если в матрице выигрышей существует элемент Rk l = V1 = V2, то говорят о наличии оптимальной политики "в пространстве чистых стратегий" и оптимальными выборами для игроков соответственно
являются выборы k |
и l . |
Пару (k, l) называют |
седловой точкой. |
||||||||
Пример 1. Пусть игра определяется матрицей |
|||||||||||
|
2 |
3 |
4 |
5 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
R = |
3 |
4 |
5 |
6 |
, V1 |
= max |
4 |
|
|
= 6 , V2 |
= min [ 6, 6, 8, 10 ] = 6. |
|
4 |
3 |
4 |
6 |
|
|
3 |
|
|
|
|
|
6 |
6 |
8 |
10 |
|
|
6 |
|
|
|
|
Седловые точки - (4, 1) и (4, 2). Цена игры = 6; оптимальный выбор для игрока 1 - четвертый, для игрока 2 равнозначны первый и второй
(под ценой игры понимают гарантированный выигрыш-проигрыш при оптимальной политике обоих игроков).
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
||
Пример 2. Пусть игра определяется матрицей |
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
5 |
4 |
3 |
7 |
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
R = |
|
|
|
6 |
2 |
4 |
3 |
5 |
|
|
, |
V |
= max |
|
|
|
2 |
|
|
= 3 , |
V |
= min [ 7, 7 4, 7, 6 ] = 4. |
|
|
|
|
2 |
7 |
3 |
5 |
4 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
7 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
Здесь равенство V1 = V2 не выполняется; оптимальной чистой стратегии для игроков нет.
При анализе игр часто пытаются уменьшить размеры изучаемой матрицы, выявляя доминирование между строками и столбцами. Так в примере 1 элементы четвертой строки больше соответствующих элементов других строк: использование выбора 4 выгоднее других выборов при любой политике противника. Противник видит, что в такой ситуации использовать выборы 3 и 4 неразумно.
При отсутствии седловой точки среди чистых стратегий приходится искать таковую среди смешанных.
Если игрок 1 прибегает к своему выбору i |
с вероятностью Pi |
,а иг- |
|
рок 2 - к своему |
j-му выбору с вероятностью |
Qj , то ожидаемый |
выиг- |
рыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) равен ∑m Ri j Pi Q j = PT R Q . |
|
||
|
i=1 |
|
|
Основная |
теорема теории игр ( теорема Джона фон Неймана ) |
||
утверждает, что любая матричная игра с нулевой суммой всегда имеет седловую точку, т.е. существуют векторы P и Q такие, что
max |
min PT RQ = |
min max PT RQ = V , |
P |
Q |
Q P |
(V - цена игры). |
|
|
Поиск цены игры и соответствующих вероятностей сводится к ре-
шению пары двойственных задач: |
|
|
|
|
максимизировать V |
минимизировать V |
|
||
при условиях |
при условиях |
|
||
∑m |
Ri j Pi ≥ V , j=1 . . n |
∑n |
Ri j Q j ≤ V , i=1 . . m |
|
i= 1 |
j= 1 |
|
||
∑m |
Pi = 1 |
∑n |
Q j = 1 |
(1) |
i= 1 |
|
j= |
1 |
|
Pi ≥ 0 , i=1 . . m |
Qj ≥ 0 , j=1 . . n |
|
||
Если учесть, что при увеличении элементов матрицы R на любую константу С цена игры увеличится на С и это изменение не окажет влияния на искомые вероятности выборов, то всегда можно добиться положительности элементов матрицы и, следовательно, цены игры.
В предположении V > 0 можно провести замену переменных
Хi = Pi / V , Yj = Q j / V
3
и поставленные задачи преобразовать к задачам с меньшим числом переменных:
минимизировать ∑m |
X i |
|
|
максимизировать ∑n |
Y j |
|
||||||||||||||
при условиях |
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j= |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
при условиях |
|
|
||||||||||
∑m |
Ri j X i ≥ 1 , |
j=1 . . n |
|
|
∑n |
R |
j |
Y |
j |
≤ |
1 , i=1 . . m |
(2) |
||||||||
i= 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
j= |
i |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
||||
Xi ≥ 0 , i=1 . . m |
|
|
|
|
|
|
|
Yj ≥ 0 , j=1 . . n |
|
|
||||||||||
Например, для игры с матрицей |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
4 |
0 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
возникают задачи: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
максимизировать |
|
|
|
|
|
|
|
минимизировать |
|
|
||||||||||
Y1 + Y2 + Y3 |
|
|
|
|
|
|
|
при |
X1 + X2 + X3 |
|
|
|||||||||
при |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Y1 + 2 Y2 + 3 Y3 ≤ 1 |
|
|
|
|
|
X1 + 4 X2 + 2 X3 ≥ 1 |
|
|||||||||||||
4 Y1 + |
Y3 ≤ 1 |
|
|
|
|
|
2 X1 |
|
|
|
+ 3 X3 ≥ 1 |
|
||||||||
2 Y1 + 3 Y2 |
≤ 1 |
|
|
|
|
|
|
|
3 X1 + X2 |
≥ 1 |
|
|||||||||
Y1 , Y2 ,Y3 ≥ 0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
X1 , X2 , X3 ≥ 0 |
|
|
||||||
Решение этих задач симплексным методом дает оптимальные зна-
чения
X = { 11/37, 4/37, 5/37 }, Y = { 8/37, 7/37, 5/37 }
и экстремумы целевых функций, равные 20/37. Отсюда
V = 37/20 ,
P = {11/20, 4/20, 5/20} ,
Q = {8/20, 7/20, 5/20}.
Следует учесть, что мы здесь ограничиваемся рассмотрением игр, реализация которых может осуществляться любое число раз, не зависит от результата предыдущих действий и от длительности. Игры, где каждый последующий выбор зависит от результата предыдущих действий, относятся к т.н. многошаговым играм и не имеют столь простого решения [1].
1.2. Контрольные задания
1.2.1. Требования
1. Для матричной игры, соответствующей варианту контрольного задания, проверьте наличие оптимальной чистой стратегии.
2. Поставьте пару двойственных задач и выполните ее решение симплексным или каким-либо другим методом. Оцените полученное опти-
4
мальное решение с позиций здравого смысла.
3. С помощью лекционного материала, учебных пособий или собственных умозаключений выясните правомерность постановки задач (1) и
(2). Зачем при переходе от постановки (1) к (2) требуется уверенность в положительности цены игры ?
1.2.2. Варианты заданий
1. |
1 |
-1 |
-1 |
3 |
|
2. |
1 |
3 |
5 |
7 |
|
3. |
-2 |
0 |
2 |
4 |
|
-1 |
1 |
0 |
-3 |
|
|
7 |
5 |
3 |
1 |
|
|
4 |
2 |
0 |
-2 |
|
-2 |
2 |
3 |
1 |
|
|
4 |
4 |
4 |
3 |
|
|
1 |
0 |
0 |
1 |
4 |
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
1 |
6 |
3 |
-3 |
|
1 |
4 |
9 |
16 |
|
1 |
9 |
1 |
5 |
|||
|
2 |
4 |
3 |
5 |
|
|
16 |
9 |
4 |
1 |
|
|
2 |
4 |
4 |
4 |
|
3 |
2 |
5 |
-3 |
|
|
10 |
10 |
10 |
15 |
|
|
3 |
1 |
9 |
6 |
7 |
|
|
|
|
|
8 |
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
7 |
5 |
3 |
1 |
|
0 |
1 |
-1 |
0 |
|
3 |
-3 |
4 |
-4 |
|||
|
1 |
3 |
5 |
7 |
|
|
-1 |
0 |
0 |
1 |
|
|
-3 |
3 |
-4 |
-4 |
|
4 |
4 |
4 |
3 |
|
|
2 |
-2 |
1 |
0 |
|
|
4 |
-4 |
3 |
-3 |
|
0 |
5 |
5 |
0 |
|
|
-2 |
2 |
0 |
1 |
|
|
-4 |
4 |
-3 |
3 |
10 |
|
|
|
|
|
11 |
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
0 |
-1 |
1 |
2 |
-2 |
5 |
-5 |
3 |
-3 |
|||
|
1 |
2 |
4 |
6 |
3 |
|
-1 |
0 |
-1 |
-2 |
2 |
|
-5 |
5 |
-3 |
4 |
|
0 |
3 |
2 |
1 |
5 |
|
0 |
0 |
0 |
3 |
-3 |
|
-1 |
0 |
0 |
1 |
13 |
|
|
|
|
|
14 |
|
|
|
|
|
15 |
|
|
|
|
1 |
2 |
1 |
3 |
2 |
6 |
4 |
2 |
0 |
|
4 |
2 |
0 |
-2 |
|||
|
2 |
1 |
4 |
4 |
4 |
|
0 |
2 |
4 |
6 |
|
|
-2 |
0 |
2 |
4 |
|
1 |
3 |
4 |
4 |
4 |
|
3 |
3 |
3 |
2 |
|
|
1 |
1 |
1 |
0 |
|
3 |
1 |
1 |
5 |
4 |
|
-1 |
4 |
4 |
-1 |
|
|
-3 |
2 |
2 |
-3 |
16 |
|
|
|
|
|
17 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
1 |
3 |
2 |
1 |
2 |
0 |
2 |
1 |
0 |
1 |
9 |
-9 |
0 |
|
|||
|
3 |
1 |
3 |
2 |
4 |
|
2 |
0 |
2 |
1 |
3 |
|
-9 |
5 |
1 |
|
|
5 |
0 |
3 |
3 |
3 |
|
4 |
-1 |
2 |
2 |
2 |
|
0 |
1 |
-1 |
|
19 |
|
|
|
|
|
20 |
|
|
|
|
|
21 |
|
|
|
|
5 |
-5 |
3 |
4 |
|
5 |
-5 |
3 |
|
|
0 |
1 |
2 |
3 |
|||
|
-5 |
5 |
4 |
2 |
|
|
-5 |
5 |
4 |
|
|
|
1 |
0 |
3 |
2 |
|
1 |
1 |
1 |
-1 |
|
|
1 |
1 |
1 |
|
|
|
2 |
3 |
0 |
1 |
|
0 |
0 |
-1 |
1 |
|
|
0 |
0 |
-1 |
|
|
|
3 |
2 |
1 |
0 |
22 |
1 |
0 |
1 |
-1 |
|
23 |
1 |
0 |
1 |
|
|
24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
-1 |
1 |
2 |
1 |
2 |
-2 |
0 |
1 |
0 |
1 |
1 |
2 |
3 |
|
|||
|
1 |
-1 |
3 |
2 |
4 |
|
0 |
-2 |
2 |
1 |
3 |
|
2 |
3 |
2 |
|
|
3 |
0 |
3 |
3 |
3 |
|
4 |
-1 |
2 |
2 |
2 |
|
3 |
2 |
1 |
|
5
Работа 2. Статистические решения
2.1. Основные понятия теории статистических решений
Теория статистических решений может быть истолкована как теория поиска оптимального недетерминированного поведения в условиях неопределенности. Согласно А.Вальду, поведение считается оптимальным, если оно минимизирует риск в последовательных экспериментах, т.е. математическое ожидание убытков статистического эксперимента. В такой постановке любая задача статистических решений может рассматриваться как игра двух лиц, в которой одним из игроков является "природа".
Иногда усредненные характеристики некоторого случайного процесса испытывают тенденцию к стабилизации и появляется возможность либо замены его детерминированным, либо использования каких-то методов исследования стационарных случайных процессов ( методов теории массового обслуживания и др.).
Однако большинство процессов характеризуется "дурной неопределенностью" , для которой невозможно найти законы распределения и другие вероятностные характеристики. В таких ситуациях приходится прибегнуть к экспертным оценкам.
Возникает и проблема выбора критерия оптимальности, поскольку решение, оптимальное для каких-то условий, бывает неприемлемым в других и приходится искать некоторый компромисс.
Пусть задан некоторый вектор S = (S1,S2,..,Sn), описывающий n со-
стояний внешней среды, и вектор X = (X1,X2,..,Xm), описывающий m до-
пустимых решений. Требуется найти вектор X* =(0,0,..,0, Xi ,0,..,0), который обеспечивает оптимум некоторой функции полезности W(X,S) по некоторому критерию K.
Информация oб указанной функции представляют матрицей размер-
ности m × n c элементами Wij = F(Xi,S j), где F - решающее правило. Рассмотрим типичный пример формирования такой матрицы. Планируется выпуск новой продукции, для чего необходимо заку-
пить станки. Система оптовой торговли может поставить не более 50 станков; комплект поставки - 10 станков. Минимальный объем поставок - 20 станков. Соответственно, вектор решений об объеме поставок X = (20,30,40,50).
Ежегодный доход от продукции, снимаемой с одного станка, cоставляет 21.9 тыс.руб. Оптовая цена одного станка 4.775 тыс. руб., эксплуатационные расходы - 3.6 тыс. руб. Затраты на подготовку производства составляют 25.5 тыс.руб. и не зависят от числа станков и объема выпуска.
Пусть спрос пропорционален количеству продукции, снимаемой с S работающих станков, и для простоты ограничимся вектором состояний
6
спроса S = (0,10,20,30,40,50).
Если решающее правило сформулировать как "доход - издержки", то
можно рассчитать элементы матрицы полезности: |
|
|
|||||||
|
|
|
W i j = ( 21.9 - 3.6 ) × min( Xi , Sj ) − 4.775 X i − 25.5 |
|
|||||
|
|
|
|
S1=0 |
S2=10 |
S3=20 |
S4=30 |
S5=40 |
S6=50 |
|
X1 =20 |
|
-121 |
62 |
245 |
245 |
245 |
245 |
|
|
X2 |
= 30 |
|
-168.75 |
14.25 |
197.25 |
380.25 |
380.25 |
380.25 |
|
X3 |
= 40 |
|
-216.5 |
-33.5 |
149.5 |
332.5 |
515.5 |
515.5 |
|
X4 |
= 50 |
|
-264.25 |
-81.25 |
101.75 |
284.75 |
467.75 |
650.75 |
Например, W11 |
= -(4.775× 20+25.5) = -121, |
|
W12 |
= (21.9-3.6) × |
10-(4.775× 20+25.5) = 62, |
W13 |
= (21.9-3.6) × |
20-(4.775× 20+25.5) = 245, |
W14 |
= W15 = 245 (спрос останется неудовлетворенным). |
|
2.2. Выбор критерия принятия решения |
|
|
При известных вероятностях |
Pj для спроса |
Sj можно найти ма- |
тематическое ожидание функции полезности и |
определить вектор X* , |
|
дающий его максимум: |
|
|
W = max ∑n |
Wi j Pj . |
|
i= 1..m j= |
1 |
|
Если для приведенного примера предыдущий опыт позволит задать вектор P = (0.01, 0.09, 0.2, 0.3, 0.3, 0.1), то математические ожидания прибыли при разных выборах:
W1 =-121× 0.01 + 62× 0.09 + 245× 0.2 + 245× 0.3 + 245× 0.3 + 245× 0.1 = 224.87,
W2 = 305.22, W3 = 330.675, W4 = 301.12
и выбор максимального из этих значений обнаруживает оптимальность варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 330.675 тыс.руб.
2.2.1. Критерий Лапласа
В основе этого критерия лежит "принцип недостаточного основа-
ния": если нет достаточных оснований считать, что вероятности того или иного спроса имеют неравномерное распределение, то они принимаются одинаковыми и задача сводится к поиску варианта, дающего
W = max |
1 |
∑n |
Wi j . |
n |
|||
i= 1..m |
j= |
1 |
|
Для нашего примера |
|
|
|
W1 = (-121 + 62 + 245 + 245 + 245 + 245) / 6 = 153.5 ,
W2 = 197.25 , W3 =210.5 , W4 = 193.5
и выбор максимального значения обнаруживает оптимальность выбора
7
варианта 40 станков с ожидаемой прибылью 210.5 тыс.руб.
2.2.2. Критерий Вальда
Критерий Вальда обеспечивает выбор осторожной, пессимистической стратегии в той или иной деятельности и его суждения близки к тем суждениям, которые используют в теории игр для поиска седловой точ-
ки в пространстве чистых стратегий: для каждого решения Xi выбира-
ется самая худшая ситуация (наименьшее из Wij) и среди них отыскивается гарантированный максимальный эффект :
W = max min Wi j
i= 1..m j= 1..n
В нашем примере W = max(-121, -168.75, -216.5, -264.25) = -121, т.е.
по этому критерию следует закупить 20 станков и максимальный возможный убыток не превысит 121 тыс.руб.
2.2.3. Критерий Гурвица
Ориентация на самый худший исход является своеобразной перестраховкой. Однако опрометчиво выбирать политику, которая излишне оптимистична. Критерий Гурвица предлагает некоторый компро-
мисс: |
W = ma x [ α |
max Wi j +( 1 - α |
) min Wi j ] , |
|
i= 1..m |
j= 1..n |
j= 1..n |
где параметр α принимает значение от 0 до 1 и выступает как коэффициент
оптимизма. Так в нашем примере при различных α |
: |
|
|||||
|
|
|
α =0.1 |
α =0.2 |
α =0.5 |
α =0.8 |
α =0.9 |
|
X1 |
= 20 |
-84.4 |
-47.0 |
62 |
171 |
206.4 |
W= |
X2 |
= 30 |
-113.85 |
-58.95 |
105.75 |
270.45 |
325.35 |
|
X3 |
= 40 |
-140.3 |
-70.1 |
149.5 |
369.1 |
442.3 |
|
X4 |
= 50 |
-172.75 |
-81.25 |
193.25 |
467.75 |
559.25 |
|
|
|
|
||||
При α =0.5 (равновероятных шансах на успех и неудачу) следует закупить 50 станков и ожидать прибыль порядка 193.25 тыс. руб.
При вероятности успеха 0.2 не следует закупать более 20 станков с надеждой, что убытки не превысят 47 тыс.руб.
2.2.4. Критерий Сэвиджа
Суть этого критерия заключается в нахождении минимального риска. При выборе решения по этому критерию сначала матрице функции полезности (эффективности) сопоставляется матрица сожалений
Dij |
= Wij - max (Wij) , |
|
i |
элементы которой отражают убытки от ошибочного действия, т.е. выгоду, упущенную в результате принятия i-го решения в j-м состоянии.
8
Затем по матрице D выбирается решение по пессимистическому критерию Вальда, дающее наименьшее значение максимального сожаления.
Для нашего примера отыскиваем матрицу D, вычитая (-121) из первого столбца матрицы полезности, 62 из второго и т. д.
|
|
S1=0 |
S2=10 |
S3=20 |
S4=30 |
S5=40 |
S6=50 |
X1 =20 |
0 |
0 |
0 |
-135.25 |
-270.5 |
-405.75 |
|
X2 |
= 30 |
-47.75 |
-47.75 |
-47.75 |
0 |
-135.25 |
-270.5 |
X3 |
= 40 |
-95.5 |
-95.5 |
-95.5 |
-47.75 |
0 |
-135.25 |
X4 |
= 50 |
-143.25 |
-143.25 |
-143.25 |
-95.5 |
-47.75 |
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
Наибольшее значение среди минимальных элементов строк здесь равно max[-405.75, -270.5, -135.25, -143.25]=-135.25 и, покупая 40 станков,
мы уверены, что в худшем случае убытки не превысят 135.25 тыс.руб. Таким образом, различные критерии приводят к различным выводам: 1) по критерию Лапласа приобретать 40 станков,
2)по критерию Вальда - 20 станков,
3)по критерию Гурвица - 20 при пессимистическом настроении и 50 в состоянии полного оптимизма,
4)по критерию Сэвиджа - 40 станков.
Возможность выбора критерия дает свободу лицам, принимающим
экономические решения, при условии, что они располагают достаточными средствами для постановки подобной задачи. Всякий критерий должен согласовываться с намерениями решающего задачу и соответствовать его характеру, знаниям и убеждениям.
2.3. Контрольные задания
2.3.1. Требования
Выберите вариант контрольного задания. Определите вектор состояний внешней среды и вектор решений. Постройте функцию полезности и выполните решение задачи, используя предложенные выше критерии. Оцените полученное оптимальное решение с позиций здравого смысла.
2.3.2. Варианты заданий
1. Фирма может за небольшую плату (100 руб.) составить любому студенту программу для каких-то типовых расчетов на ПЭВМ. Каждый сотрудник фирмы может качественно выполнить до 10 заказов. Cтоимость аренды машинного времени составляет 800 руб. в месяц (этого времени достаточно для выполнения 10 работ). Количество студентов, пользующихся услугами фирмы, не превышает 100 человек в месяц. Определить число сотрудников фирмы, дающее максимум общего дохода (для регистрации фирмы необходима численность не менее двух человек).
2. Землевладелец на знойном юге решает вопрос о числе рабочих,
9
привлекаемых к уборке томатов. Урожайность колеблется в зависимости от погоды от 500 до 600 центнеров, закупочная цена стабильна и равна 5 руб/кг. Рабочий за сезон собирает 20 центнеров, получая 1.2 руб/кг за уборку и 280 руб. для оплаты стоимости проезда к месту работ. Затраты на обеспечение рабочих жильем (речь не идет даже о трехзвездочной гостинице) составляют 300 руб. и не зависят от численности.
3.В сельхозрайоне с посевной площадью 1430 га решено построить элеватор по одному из типовых проектов на 20, 30, 40, 50 или 60 тыс. центнеров зерна. Привязка проекта обойдется в 37 тыс.руб. Cтоимость материалов и оборудования для элеватора мощности 20 тыс. равна 60 тыс.руб. и растет на 10% с ростом мощности на 10 тыс. Затраты на эксплуатацию элеватора на 20 тыс. равны 10 тыс. руб. и растут на 10 тыс. c ростом мощности на 10 тыс. За хранение зерна на счет элеватора вносится плата 10 руб. за центнер. Урожайность колеблется от 14 до 20 ц/га.
4.Председатель сельхозкооператива решает закупить бочки для засолки огурцов. Виды на урожай колеблются от 700 до 1000 кг, в бочку вмещается 50 кг, цена бочки - 300 руб., затраты на засолку - 20 руб. за бочку, аренда места на рынке - 50 руб, реализационная цена - 7.20 руб/кг.
5*. Универмаг, работающий по 10 часов в сутки, ежедневно посещают от 7 до 10 тыс. чел. Cтоимость покупок одного посетителя в среднем - 50 руб. Время обслуживания - 1 мин. на покупателя. Затраты на оборудование одного рабочего места - 2400 руб., зарплата продавца - 1400 руб. в месяц. Найти число рабочих мест при планировании работы на год (300 рабочих дней), если покупатель не намерен стоять в очереди из более 7 чел.
6.Фирма, действующая в живописном Горном Алтае, планирует десятидневные маршруты для туристов в летнем сезоне (60 дней). Известно, что число туристов в течение десятидневки колеблется от 1 до 1.5 тыс. чел. Группы комплектуются из 25 чел. Стоимость путевки – 2 тыс.руб. Заработная плата инструктора составляет 6 тыс.руб. в месяц. На экипировку
группы затрачивается 1.5 тыс.руб., на питание группы – 12 тыс.руб. К тому же приходится оплачивать ремонт помещений и снаряжения при подготовке к сезону 30 тыс.руб. Сколько же инструкторов разумно пригласить на работу ?
7. В транспортном цехе ежедневно выходит из строя до 8 агрегатов, каждый из которых мог бы дать продукции на 350 руб. Слесарьремонтник, получающий 2500 руб. в месяц, не может в день обслужить более двух станков. Сколько же слесарей должен привлечь на работу начальник транспортного цеха ?
8. В городе N решено открыть яхт-клуб (под громким названием скрывается скромная лодочная станция). Предполагаемое число членов клуба колеблется от 100 до 250 чел. Годовой абонемент стоит 1000 руб. Аренда причала, помещений для хранения яхт и стимулирование ускоренного получения лицензии обойдутся в 20 тыс.руб. Владельцу абонемента,