Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:
Скачиваний:
106
Добавлен:
25.05.2015
Размер:
978.94 Кб
Скачать

Линейные преобразования, линейный оператор

1. Линейные преобразования, линейный оператор 2.Матричное преобразование 3.Матрица линейного оператора 4.Подобные матрицы

Линейное преобразование

Определение 1.1

Пусть U и V - векторные пространства.

Преобразование : U V есть отображение, которое каждому вектору u из U ставит в соответствие уникальный вектор v из V.

Определение 1.2

Пусть U и V - векторные пространства. Пусть u и v - векторы из U пусть c - скаляр.

Говорят, что преобразование : U V является

линейным, если

(u + v) = (u) + (v) и (cu) = c (u).

Замечания:

(1)Говорят, что линейный оператор сохраняет операции.

(cu) c (u)

 

 

 

 

 

Сложение

 

Сложение

в U

 

в V

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Скалярное

 

Скалярное

умножение в

 

умножение в

U

 

 

V

(2)Линейное преобразование :V V векторного пространства в себя называется линейным оператором.

Пример 1.3

Доказать, что следующее преобразование :R2 R2 линейно.

(x, y) = (x y, 3x)

Решение:

“+”: Возьмем (x1, y1) и (x2, y2) R2. Тогда, по определению, ((x1, y1) + (x2, y2)) =(x1 + x2, y1 + y2)

=(x1 + x2 y1 y2, 3x1 + 3x2)

=(x1 y1, 3x1) + (x2 y2, 3x2)

“ ”: Пусть c - скаляр. = (x1, y1) + (x2, y2) (c(x1, y1)) = (cx1, c y1) = (cx1 cx2, 3cx1)

=c (x1 y1, 3x1)

=c (x1, y1)

линейное преобразование.

Решение

Пример 1.4

Показать, что следующее преобразование T: R3 R2 не является линейным.

(x, y, z) = (xy, z)

“+”: Возьмем (x1, y1, z1) и (x2, y2, z2) R3. Тогда

((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) = (x1 + x2 , y1 + y2 , z1 + z2)

=((x1 + x2)(y1 y2), z1 + z2)

И(x1, y1, z1) + (x2, y2, z2) = (x1y1, z1) + (x2y2, z2)

Поэтому

((x1, y1, z1) + (x2, y2, z2)) (x1, y1, z1) +(x2, y2, z2). не является линейным преобразованием.

Пример 1.5

Пусть Pn – векторное пространство действительных

многочленов степени n. Показать, что следующее преобразование : P2 P1 является линейным.

(ax2 + bx + c) = (a + b)x + c

Решение

 

 

“+”: Возьмем

ax2 bx c и px2 qx r

P . Тогда

 

 

2

((ax2 bx c) ( px2 qx r)) ((a p)x2 (b q)x (c r))(a p b q)x (c r) (a b)x c ( p q)x r

(ax2 bx c) ( px2 qx r)

“ ”: Пусть k – произвольный скаляр.

(k(ax2 bx c)) (kax2 kbx kc) k((a c)x c)k (ax2 bx c)

Пример 1.6

Обозначим через D оператор дифференцирования для действительных многочленов (D есть то же самое, что и

D можно интерпретировать как отображение Pn в себя.

Например,

D(4x3 3x2 2x 1) 12x2 6x 2

dxd .)

Пусть f , g Pn а c - скаляр. Следующие свойства производной показывают, что D есть линейный оператор.

D(f + g) = Df + Dg

D(cf) = cD(f)

Нулевое преобразование:

:U V

(u) 0, 0 V , u V

Единичный оператор:

:V V

(v) v, v V

Теорема 1.7: (Свойства линейного преобразования)

(1)(0) 0

(2)( v) (v)

(3)(u v) (u) (v)

(4)(c1v1 c2 v2 ck vk ) c1 (v1) c2 (v2 ) ck (vk )

Доказательство.

(1)

Пусть v – произвольный вектор из V.

 

(0)= (0v) = 0 (v) = 0

 

(2)

(-v) =

((-1)v) = (-1)

(v)= - (v)

(3)

(u-v)=

(u + (-1)v) =

(u) + (-1) (v) = (u) - (v)

k

k

(4) (c1v1 c2 v2 ck vk ) ( ci vi ) (ci vi )

i 1

i 1

(c1v1) (c2 v2 ) (ck vk ) c1 (v1) c2 (v2 ) ck (vk )