Векторные пространства

I. Определение

II. Линейная независимость

III. Базис и размерность

Литература: А.Г.Курош Курс высшей алгебры (9-е изд.). М.: Наука, 1968.

Определение

Определение 1.1: Векторное пространство( V, +, ,; F)

Векторное пространство (над F) состоит из множества V с двумя операциями ‘+’ и ‘ ’ , так что

(1)Векторное сложение + :

v, w, u V

e)v V так что. v v = 0 ( наличие противоположного элем. )

(2)Скалярное умножение :

c)a ( v + w ) = a v + a w

d)( a b ) v = a ( b v ) = a b v ( ассоциативность)

e)1 v = v

Пример 1.4:

Определение 1.5: Пространство с одним элементом называется тривиальным пространством (нулевым пространством).

Пример 1.6: Пространство функций

Множество { f | f : R → R} действительных функций от действительных переменных есть векторное пространство

Определение 1.8: Линейная комбинация

Пусть S - подмножество векторного пространства V, v1, v2 ,..., vm S и a1, a2 ,..., am - числа, тогда

a1v1 a2 v2 ... am vm есть линейная комбинация элементов

v1, v2 ,..., vm .

I.2. Подпространства и оболочки

Определение 2.1: Подпространство Для любого векторного пространства, подпространство есть

подмножество, которое само является пространством относительно унаследованных операций.

Замечание: Подмножество векторного пространства является подпространством тогда и только тогда, когда оно замкнуто относительно

→x1 y1 z1 0 , x2 y2 z2 0

ar1 br2 ax1 bx2 ,ay1 by2 ,az1 bz2 T