II.Линейная независимость
1.Определения и примеры
1. Определения и примеры
Лемма 1.1:
Пусть S – подмножество векторного пространства V, тогда v V, span S = span( S {v}) тогда и только тогда, когда v span S
Доказательство (необходимость) :
v span( S {v} ), тогда из того, что span S = span( S {v} ) → v span S
Доказателство (достаточность) :
span S v
v span S →
a0v ak skk
v vk sk
k
sk S
→ |
|
ak a0vk sk |
|
|
span S |
|
|||||
span S v |
|
sk S |
|||
|
|
k |
|
|
|
QED
Пример 1.2:
|
|
|
1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
v |
|
|
|
v |
|
|
|
|
v |
|
|
|
|
0 |
|
2 |
1 |
|
3 |
1 |
|
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Тогда |
span v1, v2 |
span v1, v2 , v3 |
так как v3 2v1 v1 span v1, v2 |
|||||||||||
Определение 1.3: Линейная независимость
Подмножество векторного пространства линейно независимо, если ни один из его элементов не является линейной комбинацией других.
В противном случае, множество называется линейно зависимым.
Лемма 1.4: Практический тест для определения ЛН.
S sk V |
|
k 1,L ,n |
есть ЛН т.и т.т.к. |
|
|
|
|
||||
n |
|
|
|
||
ck sk 0 |
→ ck 0 k |
|
|||
k 1 |
|
|
|
||
Доказательство : |
|
|
|
||
Если S есть ЛЗ система, |
s j ck sk |
j. |
|||
то можно записать |
|
k j |
|
||
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
Тогда, |
ck sk 0 |
выполняется только при |
|
k 1 |
|
Доказательство (от противного) :
ck 0 k
Если |
S не |
является |
s j ck sk |
ЛН, то j |
так что |
k j |
|
|
n |
|
|
т.е. |
ck sk 0 |
выполняется для cj = 1 0. |
|
k 1
Рассуждая обратно, заканчиваем доказательство. QED
Пример 1.5: Строки |
|
|
|
|
|
|
|
||||
{ (40 |
15), ( 50 25) } являются ЛН. |
|
|
|
|
|
|||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
a 40 |
15 b 50 |
25 0 |
|
0 |
|
|
|
|||
→ |
|
40a 50b 0 |
→ |
4a 5b 0 |
→ |
7a 0 0 |
→ |
a 0 |
|||
15a 25b 0 |
3a 5b |
0 |
3a 5b 0 |
b 0 |
|||||||
|
|
|
|
||||||||
{ (40 |
15), (20 7.5) } есть ЛЗ система. |
|
|
|
|
||||||
Доказательство: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Пусть |
a 40 |
15 b 20 |
7.5 0 |
|
0 |
|
|
|
|||
→ |
|
40a 20b 0 |
→ |
2a b 0 |
→ |
b 2a |
|
|
|||
15a 7.5b |
0 |
2a b |
0 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
||||||
Лемма 1.6: Пустое подмножество является ЛН.
Лемма 1.7: Любое подмножество S содержащее 0, является ЛЗ.
Доказательство:
0v1 ... 0vn a0 0 |
a F |
Теорема 1.8: |
|
Любое конечное подмножество S векторного пространства V содержат ЛН подмножество U с той же линейной оболочкой, что и S.
Доказательство:
• Если S ЛН, то берем U = S и все доказано.
• Если S ЛЗ, то sk так что sk = j k cj sj .
Из леммы 1.1, span S1 = span S, где S1 = S \ {sk} . Если S1 ЛН, то все доказано.
• В противном случае, повторяем процедуру изъятия элементов, пока не достигнем ЛН. QED.
Лемма 1.9:
Всякое подмножество ЛН множества является также ЛН.
Всякое надмножество ЛЗ множества также является ЛЗ.
Доказательство: Очевидно.
|
S1 S |
S2 S |
S ЛН |
S1 ЛН |
-- |
S ЛЗ |
-- |
S2 ЛЗ |
Лемма 1.10:
Пусть S есть ЛН подмножество векторного пространства V , тогдаv V & v S, S {v} есть ЛЗ т.и т.т.к. v span S.
Доказательство : |
|
|
По определению, v span S & v S |
S {v} есть ЛЗ |
|
Доказательство : |
|
|
S есть ЛН ни один sk не является линейной комбинацией других sj – |
||
х. |
|
|
S {v} есть ЛЗ v обязан быть линейной комбинацией sj-х. QED |
||
Следствие 1.11: |
j 1 |
|
|
|
|
Подмножество S = {sk | k = 1,…,n } ЛЗ т.и т.т.к s j ck sk |
для некоторого |
|
|
k 1 |
j n |
|
|
|
Доказательство: По построению.
Лемма 1.12: Пусть S – ЛН подмножество векторного пространства V , тогда v V & v S,
S {v} ЛН т.и т.т.к. v span S.