SosovGeomLob1

Проверим свойство увеличения расстояния

Пусть гиперплоскость в (B(0; r); ) имеет уравнение (n; x) = p, где jnj = 1

è 0 p < r.

При отображении 1 эта гиперплоскость отобразится в гиперплоскость пространства (B(0; r); P ) с уравнением

2r2(n; x)

r2 + x2 = p:

При p = 0 это уравнение (n; x) = 0 гиперплоскости, содержащей 0.

А при 0 < p < r это уравнение p(x2 + r2) 2r2(n; x) = 0 сферы в евклидовом пространстве E с вектором нормали px r2n.

В точках пересечения этой сферы со сферой S(0; r) с уравнением x2 = r2 получим

(px r2n; x) = pr2 r2(n; x) = 0;

т.е. они пересекаются ортогонально.

R E и принимающей значения в верхнем открытом полупространстве

+ = R+ E.

Используя свойства инверсии: оставлять инвариантными открытые лу- чи с началом в точке < r; 0 > и

j (< x1; x >) < r; 0 > jj < x1; x > < r; 0 > j = 2r2;

получим явный вид инверсии

2r2

(< x1; x >) =< r; 0 > +< r + x1; x >2 < r + x1; x >=

r < r2 x2 x2; 2rx > :

(r + x1)2 + x2 1

20

Отметим, что при этой инверсии сфера S(< 0; 0 >; r) отобразится на гиперплоскость с уравнением x1 = 0.

Действительно, если < x1; x >2 S(< 0; 0 >; r), òî

Если мы введем на верхнем открытом полупространстве + = R+ E метрику

+ (< x1; x >; < y1; y >) = P ( 1(< x1; x >); 1(< y1; y >));

то получим модель Пуанкаре пространства Лобачевского в открытом полупространстве евклидова пространства.

Лемма 1. Метрика + íà + имеет вид

Задачи.

21

1. Доказать, что при r = 1

ch (0; x)x1(x) = !(0; x) = k ;

1 + ch (0; x) k

где !(0; x) радиус-вектор середины отрезка [0; x].

2. Доказать, что при n = 2, x1 = y, x2 = x è z = x + iy

3.Доказать, что различные формулы для метрики P верны.

4.Докажите, что в модели Пуанкаре в шаре

jxj = r th P (0; x) : 2k

5. Гиперплоскость в пространстве Лобачевского. Расстояние от точки до гиперплоскости. Ортогональная проекция точки на гиперплоскость. Величина угла между гиперплоскостями.

Пусть гиперплоскость в модели Бельтрами Клейна в шаре (B(0; k); ) имеет уравнение (n; x) = p, где jnj = 1 и 0 p < k.

Найдем проекцию y точки y на эту гиперплоскость. Сначала параллельно перенесем гиперплоскость так, чтобы 0 2 ga 1( ), ãäå a = pn.

Записывая условие ортогональности гиперплоскости и нормали, проведенной через точку y^ к гиперплоскости ga 1( ) с уравнением (n; x) = 0

(n; y^ + n) = 0;

найдем = (n; y^). Следовательно, радиус-вектор основания перпендикуляра на гиперплоскости ga 1( ), проведенного из точки y^, имеет вид

b = y^ (n; y^)n = y^2:

22

Осуществим обратный параллельный перенос этого основания b, чтобы получить искомый радиус-вектор ортогональной проекции точки y на гиперплоскость .

pp

23

p

k[k((a; x) + a2)a + (a2x (a; x)a) k2 a2] : a2(k2 + (a; x))

Рассмотрим гиперплоскость с уравнением (n; x^ x0) = 0, где jnj = 1, и перенесем ее параллельно на вектор a = x0.

Тогда она отобразится в гиперплоскость, проходящую через центр шара и имеющую уравнение

q

(n; k[k((x0; x)+x20)x0+(x20x (x0; x)x0) k2 x20] x0x20(k2+(x0; x))) = 0 ,

q

(kx20n + (n; x0)( k2 x20 k)x0; x) = 0:

Вычислим величину угла, образованного в точке x0 гиперплоскостью и гиперплоскостью 1 с уравнением (n1; x^ x0) = 0, ãäå jn1j = 1.

После аналогичного параллельного переноса второй гиперплоскости получим

Эти гиперплоскости пересекаются, расходятся, перпендикулярны, если правая часть этого равенства меньше 1, больше 1, равна 0 соответственно.

Таким образом, условие перпендикулярности гиперплоскостей имеет

âèä

k2(n; n1) pp1 = 0:

6. Римановы метрики пространства Лобачевского в моделях Бельтрами Клейна, Пуанкаре в шаре и в открытом полупространстве. Длина окружности.

24

Рассмотрим в R E псевдориманову метрику, выбрав знак таким образом, чтобы индуцированная риманова метрика на E была положительно

определенной

dl2 = dx20 + dx2:

Используем изометрию

для нахождения римановой метрики в модели Бельтрами Клейна.

r2 ( r2(x; dx)2 + x2(x; dx)2 + 2(x; dx)2(r2 x2) + dx2(r2 x2)2) =

(r2 x2)3

r2 ((r2 x2)dx2 + (x; dx)2):

(r2 x2)2

Следовательно, риманова метрика в модели Бельтрами Клейна

имеет вид

dl2 = r2((r2 x2)dx2 + (x; dx)2):

(r2 x2)2

Для нахождения римановой метрики в модели Пуанкаре в шаре используем изометрию

Следовательно, риманова метрика в модели Пуанкаре в шаре имеет

Для нахождения римановой метрики в модели Пуанкаре в открытом полупространстве используем изометрию

f 1 1 : ( +; + ) ! (S+; L)

25

Найдем сначала ее явный вид и дифференциал, используя найденные ранее выражения,

Приведем эти римановы метрики при n = 2 в декартовых координатах

< x; y >.

Риманова метрика плоскости Лобачевского в модели Бельтрами Клейна имеет вид

dl2 = r2((r2 x2 y2)(dx2 + dy2) + (xdx + ydy)2) =

(r2 x2 y2)2

r2((r2 y2)dx2 + 2xydxdy + (r2 x2)dy2):

(r2 x2 y2)2

Риманова метрика плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в откры-

том круге имеет вид

dl2 = 4r4(dx2 + dy2) :

(r2 x2 y2)2

26

Риманова метрика плоскости Лобачевского в модели Пуанкаре в верхней открытой полуплоскости имеет вид

dl2 = r2(dx2 + dy2) : y2

Примеры.

1. Найдем длину окружности радиуса Rl плоскости Лобачевского, ис- пользуя полярные координаты ( ; ') и модель Бельтрами Клейна.

Сначала запишем риманову метрику в модели Бельтрами Клейна, используя полярные координаты,

x = cos '; y = sin ';

dl2 = r2((r2 x2 y2)(dx2 + dy2) + (xdx + ydy)2) =

(r2 x2 y2)2

r2((r2 2)(d 2 + 2d'2) + 2d 2): (r2 2)2

Уравнение окружности в евклидовой плоскости имеет вид = R, а в

2. Проведем рассчет той же длины в модели Пуанкаре в открытом круге.

Сначала запишем риманову метрику в модели Пуанкаре в открытом круге, используя полярные координаты,

dl2 = 4r4(d 2 + 2d'2) :

(r2 2)2

27

Обычно формулу длины окружности приводят при r = k

l= 2 k sh Rkl :

7.Координаты Лобачевского, Бельтрами и полярные координаты в плоскости Лобачевского. Элемент площади в координатах Бельтрами. Площадь круга и треугольника.

Полюс и поляра.

1. Декартовы координаты в модели Бельтрами Клейна в круге радиуса k плоскости Лобачевского

называются бельтрамиевыми координатами.

Соответствующие полярные координаты ( ; ') называются бельтрамиевыми полярными координатами.

2. Координаты < l = kArth k ; ' > называются л-полярными координатами.

3. Координаты < xl; (< x; 0 >; < x; y >) > называются координатами Лобачевского.

Чтобы найти элемент площади в координатах Бельтрами, найдем определитель метрического тензора

Следовательно, элемент площади в модели Бельтрами Клейна в координатах Бельтрами выражается формулой

k3dxdy

dS = (k2 x2 y2)3=2 :

Найдем площадь круга радиуса R = k th Rkl , используя бельтрамиевы по- лярные координаты.

00

28

2 k2(ch Rkl 1) = 4 k2 sh2 2Rkl :

Найдем теперь площадь прямоугольного треугольника, вершина острого угола l = которого расположена в центре круга.

Пусть сторона, противолежащая этому углу, имеет уравнение cos ' = b: Тогда

Разбив произвольный треугольный треугольник T на два прямоугольных, получим его площадь в виде

S = k2( l l l) = k2 (T ):

Таким образом, площадь треугольника плоскости Лобачевского пропорциональна его дефекту.

Отметим также что, если все вершины треугольника лежат на абсолюте, то его площадь равна k2 .

Пусть a 6= 0 радиус-вектор точки евклидова пространства E. Гипер-

плоскость с уравнением

(a; x) = k2

называется полярной гиперплоскостью или полярой относительно сферы S(0; k), а точка a называется полюсом гиперплоскости .

При a = 0 считаем, что поляра сопадает с бесконечно удаленной гиперплоскостью.

Гиперплоскости с уравнением (a; x) = 0 соответствует несобственный полюс, направление на который определяет вектор a.

Полюсы и поляры находятся в биективном соответствии.

29