4. Урахування випадкової та систематичної похибок

Під час будь-яких вимірювань можуть одночасно з'являтися як випадкові, так і систематичні похибки. Постає питання про те, якою похибкою характеризувати в цьому разі результати вимірювань. Зрозуміло, що обидві похибки визначають ширину інтервалу, в який потрапляє справжнє значення вимірюваної величини. Нагадаємо, що випадкову похибку завжди можна оцінити за результатами серії вимірювань, до того ж значення похибки зменшується зі збільшенням кількості вимірювань .

Величина систематичної похибки, як правило, невідома. Відомо лише те, що вона не може перевищувати похибку приладу (або інструментальну похибку), якщо усунені інші джерела систематичної похибки. У цьому разі можна взяти за систематичну похибку приладу. При певних вимірюваннях похибка приладу може бути як меншою за випадкову похибку, так і більшою. Розглянемо можливі випадки.

1. Похибка приладу набагато більша за випадкову(у п'ять разів і більше). У цьому разі вплив випадкової похибки є незначним і довірчий інтервал визначається інструментальною похибкою.

2. Випадкова похибка набагато більша за похибку приладу. У цьому разі потрібно врахувати, що випадкова похибка залежить від кількості вимірювань. Можна повторювати вимірювання доти, поки випадкова похибка не стане меншою за похибку приладу. Тоді остання знову буде визначальною. Проте, виконати достатньо велику кількість дослідів не завжди можливо.

3. Випадкова похибка приблизно дорівнює похибці приладу. У цьому разі загальну похибку будемо розраховувати за правилом додавання випадкових похибок

, (1.22)

де – випадкова похибка середнього значення;– похибка приладу. Кінцевий результат серії прямих вимірювань записується так:

. (1.23)

5. Оцінювання похибок прямих вимірювань

Підсумуємо вищевикладений алгоритм оброблення результатів прямих вимірювань.

1. Як найбільш близьке до справжнього значення величини, що вимірюється, потрібно взяти середнє арифметичне значення всіх вимірювань:

.

2. Обчислюємо середньоквадратичну похибку результату серії вимірювань, тобто середнього значення:

.

3. Використовуємо значення коефіцієнта Стьюдента, що дорівнює 3. У цьому разі ймовірність, того що точне значення буде знаходитися в інтервалі з напівшириною , буде змінюватися відпридопри. Тобто

.

4. Загальна абсолютна похибка визначається за формулою

,

де – похибка вимірювань приладу.

5. Остаточний результат серії вимірювань записуємо у вигляді

.

Визначаємо відносну похибку вимірювань: .

6. Оцінювання похибок непрямих вимірювань

У більшості випадків величину, що нас цікавить, безпосередньо виміряти не можна. Вимірюються інші величини, які пов'язані певним співвідношенням із шуканою величиною, при цьому похибки безпосередньо вимірюваних величин відомі. Шукану величину знаходимо шляхом розрахунків за допомогою відомого співвідношення. Такі вимірювання, як було зазначено вище, називають непрямими вимірюваннями.

Загальні правила обчислення похибок непрямих вимірювань можна отримати за допомогою математичної теорії похибок і методів диференціального числення. У цьому розділі ми не будемо розглядати теоретичне обґрунтування тих або інших формул, а просто наведемо ці формули в готовому вигляді та покажемо, як ними користуватися.

Нехай шукана величина залежить від величині обчислюється за відомою формулою

, (1.24)

де визначені за допомогою прямих вимірювань:

,,. (1.25)

З’ясуємо, як визначити справжнє (найбільш імовірне) значення величини та її похибку ?

Справжнє (найбільш імовірне) значення<F>,як це випливає з теорії ймовірностей, знаходять як відповідну функцію від середніх величин:

, (1.26)

а абсолютну похибку– з формули

, (1.27)

де ,,– частинні похідні функції.Нагадаємо, що при обчисленні частинної похідної, наприклад, усі інші змінні, крімx, вважаються незалежними.

Формули (1.26) та (1.27) неважко узагальнити на випадок чотирьох та більше змінних.

Остаточний результат вимірювань записується у вигляді

.

Приклад: похибка вимірювання густини циліндра

Застосуємо співвідношення (1.26), (1.27) для знаходження середнього значення густини циліндра та її похибки. Густина циліндра обчислюється за формулою

.

У цій формулі вважаємо відомими з прямих вимірювань масу циліндра , його діаметрта висоту.

Тоді, виходячи з формули (1.26), отримаємо

.

Застосуємо співвідношення (1.27) для визначення:

. (1.28)

Далі знайдемо частинні похідні, що входять до (1.28):

;;

;.

Підставляємо отримані вирази до (1.28):

.

Таким чином,

. (1.29)

Тут ураховано, що під час розрахунків ми використовуємо не точне значення числа , а його наближене(наприклад,). Тоді абсолютна похибка числабуде дорівнювати

3,14159265358979323846264338…– – 3,1415 = 0,00009265358979323846264338…0,000093.

Коли в лабораторній роботі для розрахунків використовуємо число з урахуванням восьми й більше знаків після коми, то похибка цього числа стає набагато меншою від похибки інших величин і в багатьох випадках її можна не враховувати.