1. Деякі положення теорії ймовірностей

Щоб відповісти на вищесформовані питання, розглянемо деякі положення теорії ймовірності.

Під імовірністю випадкової події розуміють границю відношення кількості випадків , коли ця подія відбувається, до загальної кількості вимірювань, за умови, що кількість вимірювань прямує до нескінченності:

. (1.5)

Розглянемо закономірності, яким підлягає ймовірність появи виміряних значень фізичної величини. Для цього запишемо виміряні значення фізичної величиниу порядку їх зростання. Розіб'ємо весь діапазон виміряних значень на інтервали. Порахуємо, скільки разіввиміряна величина потрапляє вi-йінтервал. Потім побудуємо діаграму, яка показує, як часто з'являлися під час вимірювань ті чи інші значення. Будемо відкладати на осі абсцис значення вибраних інтервалів, а на осі ординат – кількість вимірювань, які потрапляють у даний інтервал. Така діаграма (рис. 1.1) називається гістограмою.

Аналізуючи рис. 1.1, можна дійти висновку, що деякі значення виміряної величиниз'являються частіше, ніж інші, тобто ймовірність появи різних значеньє неоднаковою.

Зрозуміло, що коли загальна кількість вимірювань прямуватиме до нескінченності (), то кількість вимірювань, які потрапляють у i-й інтервал, також будуть прямувати до нескінченності (). Тому більш зручно відкладати вздовж осі ординат не величину, а відношення, яке у випадку, колидорівнює імовірностітого, що значення величинипід час вимірювання потрапляють у інтервал.

Рисунок 1.1

З іншого боку, зрозуміло, що чим більшою буде ширина інтервалу , тим більшою буде ймовірністьтого, чи буде виміряна величина перебувати у цьому інтервалі. Використовуючи цю властивість, для характеристики розподілу ймовірностей величинивводятьфункцію розподілу ймовірностей,яка визначається співвідношенням

. (1.6)

Функція розподілу ймовірностей характеризує, як змінюється ймовірність залежно від вимірюваної величини . Зрозуміло, що вигляд цієї функції буде подібним до рис.1.1, у якому через зменшення ширини інтервалівдо нуля гістограма перетворюється у криву. Типова крива розподілу ймовірностейвиміряних значеньподана на рис.1.2.

Рисунок 1.2

Із визначення (1.6) випливає, що добутоквизначає ймовірність того, що значення вимірюваної величини належатиме інтервалу. Ця ймовірність чисельно дорівнює площі заштрихованої на рис.1.2 фігури. Таким чином,визначаючи відповідну площу під кривою розподілу , знаходимо ймовірність появи вимірюваної величини в інтервалі віддо.

Як випливає з рис. 1.2, крива розподілумає чіткий максимум при. Це означає, що при великій кількості вимірювань поява значень, які відповідають величині, має найбільшу ймовірність. Тому , яка відповідає максимальному значенню функції розподілу, називаютьнайбільш імовірним значенням вимірюваної величини . Також із рис.1.2 випливає, що крива розподілу густини ймовірностей симетрична відносно найбільш імовірного значення вимірюваної величини.

Звідси випливає, що за справжнє значення вимірюваної величини потрібно брати найбільш імовірне значення.

Проводячи експериментальні дослідження різних величин, які мають випадкові похибки, ми будемо отримувати криві функцій розподілу , вигляд яких подібний до кривої, що зображена на рис.1.2. Виникає питання, яким буде аналітичний вигляд таких кривих? Відповідь на це питання вперше була отримана французьким математиком Муавром у 1733 році. Потім знайдена функція була детально вивчена німецьким математиком Гаусом і отримала назву функції розподілу Гауса.Функція розподілу Гаусамає вигляд

, (1.7)

де – стала величина, яка називаєтьсядисперсією.

Закон розподілу Гауса (1.7) часто називаютьзаконом нормального розподілу. Цим, з одного боку, підкреслюють його універсальність, а з іншого – припускають можливість існування й інших законів розподілу, які відрізняються від нормального.

Таким чином, функція розподілу величин, що мають випадкові похибки, визначається розподілом Гауса (1.7), який, у свою чергу, залежить лише від двох параметрів: – найбільш імовірного значення вимірюваної величини та– дисперсії розподілу.Це означає, що для опису розподілу фізичної величини, яка має випадкові похибки, достатньо визначити найбільш імовірне значення та дисперсію .

Перш ніж подати формули, які дозволяють знайти та , дамо декілька визначень.Середнім арифметичним значеннямназивають величину

, (1.8)

де – значення досліджуваної величини;– загальна кількість вимірювань. Зазначимо, середнє арифметичне значення часто позначається так:,,.

Середньоквадратичною похибкою окремого вимірюванняназивається величина

. (1.9)

Як з’ясовано у теорії ймовірностей, при нескінченно великій кількості вимірювань середнє арифметичне дорівнює найбільш імовірному значенню, а отже, і справжньому значенню виміряної величини:

, (1.10)

а квадрат середньоквадратичної похибки окремого вимірювання – дисперсії

. (1.11)

На практиці необхідно знати ймовірність того, що абсолютна величина похибки вимірювань не перевищує деякого заздалегідь заданого значення, наприклад . Цю ймовірність можна визначити за кривою Гауса (рис.1.3). Проведемо ординати, які відповідають значеннямта(рис.1.3). Заштрихована частина площини, яка міститься між вказаними ординатами, віссю абсцис і кривою Гауса, чисельно дорівнюватиме ймовірності того, що абсолютна величина похибки вимірювань не перевищує значення. Зі зменшеннямзменшується і заштрихована площина, тобто зменшується ймовірність появи похибки за модулем від 0 до. У табл.1.1 наведено цю ймовірність для деяких значень похибки. Значення похибки взято в масштабі, що зручно для порівняння ймовірностей різних похибок.

Таблиця 1.1

Значення похибки	1	2	3
Імовірність того, що результат вимірюванняналежить інтервалу	0,683	0,954	0,997

З табл. 1.1 випливає, що коли ми виконаємо 1000 дослідів, то приблизно у 683 дослідах абсолютна похибка буде меншою або дорівнювати. Можна стверджувати,із імовірністю0,683результат вимірюванняналежатиме інтервалуабо

, (1.12)

де ,. Знайдену таким чином похибку () називаютьстандартним відхиленням, абостандартною похибкою.

Рисунок 1.3

Якщо вибрати іншу ширину інтервалу, тоді звичайно ймовірність буде теж іншою. Наприклад, виберемо . Тоді результат вимірювання належатиме інтервалу (1.12) вже з імовірністю 0,997. Такий алгоритм розрахунку випадкової похибки називають правилом “трьох сигм”.

Як бачимо, випадкову похибку необхідно характеризувати як модулем самої похибки, так і відповідною ймовірністю. Інтервал називаютьдовірчим інтервалом, а ймовірність потрапляння значення виміряної величини в цей інтервал –довірчою ймовірністю.

Таким чином, для характеристики випадкової похибки необхідно задавати довірчий інтервал і довірчу ймовірність. Абсолютна похибка, що визначає подвійну ширину довірчого інтервалу, може бути поданою у вигляді

, (1.13)

де – деякий коефіцієнт, що залежить від довірчої ймовірності.