, (6)

и имеют углы наклона относительно положительного направления вещественной оси плоскостиS:

π ,i=0,1,2…|m-n|-1. (7)

4. Точки вещественной оси плоскости S справа от которых находится нечетное число нулей и полюсов функции обязательно принадлежат корневым годографам, а точки этой оси справа от которых находится четное число нулей и полюсов не могут принадлежать корневым годографам.

5. В некоторых точках вещественной оси плоскости S, принадлежащих корневым годографам, корневые годографы могут, встретившись, разойтись, один в верхнюю, а другой в нижнюю части плоскости S.

Сформулированные выше правила позволяют приближенно выполнить построение корневых годографов.

Рассмотрим некоторые примеры построения корневых годографов.

Построить корневые годографы для варьируемого параметра К для замкнутой системы, если передаточная функция разомкнутой системы:

Пример 1.

Решение: Характеристическое уравнение замкнутой системы . Представим его в виде. Отсюда видно, что количество нулей равно 0, а количество полюсов равно 4. Их значения можно получить, найдя корни знаменателя. Получаем

Наносим полюса на комплексную плоскость. В соответствии с правилом 2 все корневые годографы должны уйти в бесконечность. Число асимптот равно 4-0=4. Определим точку, расположенную на вещественной оси, в которой пересекаются асимптоты–7,5

Определим углы, которые асимптоты составляют с положительным направлением вещественной оси (правило 3).

Наносим асимптоты на комплексную плоскость, как показано на рис.2. На этом же рисунке показаны корневые годографы, которые выходят из полюсов и уходят в бесконечность, неограниченно приближаясь к нарисованным асимптотам.

Рис.2

Пример 2.

Решение: Характеристическое уравнение замкнутой системы имеет вид

Отсюда .

Приравнивая к нулю числитель и знаменатель, получим нули и полюса корневых годографов

Наносим полюса и нулина комплексную плоскость, как показано на рис.2. В соответствии с правилом 1, два корневых годографа должны закончиться в бесконечности, кроме того в соответствии с правилом 4 ни одна из точек вещественной плоскости не принадлежит корневым годографам.

В соответствии с правилом 3, корневые годографы имеют 2 асимптоты, пересекающиеся с вещественной осью в точке

Углы между асимптотами и положительным направлением вещественной оси будут равны (правило 3)

С учетом сказанного корневые годографы будут иметь вид, показанный на рис.3. Корневые годографы выйдя из полюсов P₁ и P₂ закончатся в нулях N₁ и N₂. Корневые годографы выйдя из полюсов P₃ и P₄ уйдут в бесконечность неограниченно приближаясь к асимптотам, пересекающим вещественную ось в точке –55.

Рис.3

Пример 3.

Решение: Характеристическое уравнение замкнутой системы

Представим его в виде

Нули корневых годографов будут:

Полюса корневых годографов будут:

Наносим нули и полюса на комплексную плоскость, как показано на рис. 4. В соответствии с правилом 4, часть вещественной оси, лежащая левее нуля N₃ будет принадлежать корневым годографам, при этом этот отрезок оси является асимптотой для годографа, уходящего в бесконечность.

Корневые годографы, построенные в соответствии с изложенными выше правилами, изображены на том же рисунке. Два корневых годографа, выйдя из полюсов P₁ и P₂ придут в нули N₁ и N₂. Корневые годографы, выйдя из полюсов P₃ и P₄ сойдутся в одной точке на вещественной оси, равной примерно 84 и, затем один закончится нуле N₃, а другой уйдет в бесконечность.

Рис.4

Задания для самостоятельного решения.

Построить примерный вид корневых годографов для варьируемого параметра - коэффициента передачи систем К.