Задание для самостоятельного решения.

Для системы, заданной структурной схемой, определить передаточные функции по заданным входным и выходным переменным:

Рис.10.

Рис.11.

Рис.12.

Рис.13.

Рис.14.

Рис.15.

Рис.16.

Временные функции сау.

Изображение выходного сигнала системы управления X(s) может быть найдено как произведение изображения входного воздействия G(s) на передаточную функцию W(s)

X(s) = G(s)·W(s) . (1)

Если на вход САУ подаётся единичное воздействие g(t)=1[t], то реакция системы на это воздействие называется переходной функцией и обозначается как h(t). Изображение выходного сигнала при этом будет:

. (2)

Следовательно, чтобы найти переходную функцию необходимо взять обратное преобразование Лапласа от входного сигнала.

. (3)

Импульсной функцией называется реакция системы на δ- воздействие. Учитывая, что изображение δ(t)-функции равно 1, импульсную функцию можно найти, как обратное преобразование Лапласа от передаточной функции системы

. (4)

где - импульсная функция системы.

Оригинал может быть найден в результате обратного преобразования Лапласа над его изображением

(5)

Вычисление оригинала может быть произведено с помощью вычетов по формуле

(6)

где полюсы функции. При t<0 следует положить

Рассмотрим случай, когда изображение является дробно-рациональной функцией, т.е представляет собой отношение двух многочленов

(7)

причём m<n и коэффициенты и- действительные. Вычислив корни знаменателя, представим это изображение в виде

(8)

Здесь - кратность корня, причём

Нахождение вычета в полюсе , кратностиприt>0 производится по формуле

ResX(s)e^st = (9)

Пусть все корни знаменателя изображения X(s) простые, т.еk_i(i=1,2,…,n).Так как a₀(s_i – s₁) (s_i – s₂)… (s_i – s_i-1)…(s_i - s_n)= в этом случаи можно вычислить по формуле

t>0.

При наличии у многочлена A(s) пары мнимых корней s₁=jω₁, s₂= ̶ jω₁ имеем

A(s)=(s-jω₁)(s+ jω₁)A₂(s)=(s²+ω₁²)A₂(s).

x(t)=.

Первые два слагаемых в правой части этого равенства являются комплексно-сопряженными величинами, при сложении их вещественные части удвоятся, а мнимые уничтожатся,

x(t) = Re.

Пример 1.

Найти импульсную функцию для мпульсная функция определяется, как. Изображение имеет единственный полюск кратности. Получим

Пример 2.

Найти импульсную функцию для .

Импульсная функции .

Пример 3.

Найти импульсную характеристику колебательного звена .

Импульсная функция .

Полюса W(s) имеют кратность 1 и являются комплексно-сопряженными

На основании формулы 9 получим:

.

Выполнив сокращение одинаковых сомножителей в числителе и знаменателе, выносим одинаковый для обоих слагаемых множитель получим:

учитывая, что ,

окончательно получим:

Второй способ нахождения оригинала x(t) по известному изображению X(s) заключается в разложении изображения

, m < n на простые дроби.

Это разложение правильной дроби на простые дроби связано с разложением её знаменателя на простые множители. Каждый целый многочлен с вещественными коэффициентами разлагается единственным способом на вещественные множители видаипри этом квадратные множители предполагаются не имеющими вещественных корней и, следовательно, неразложимыми на вещественные линейные множителями. Вынося старший коэффициент многочленаможно записать разложение этого многочлена в виде:

где натуральные числа.

В алгебре устанавливается, что каждому множителю вида в разложении знаменателя правильной дроби отвечает группа изпростых дробей:

,

а каждому множителю вида (s²+ps+q)^l - группа из l простых дробей:

причем - числовые вещественные коэффициенты.

Значение этих коэффициентов определяются следующим образом. Зная форму разложения дроби выполняют операцию сложения . В результате получаем дробь, знаменатель которой равенA(s), а числитель будет представлять многочлен степени не больше , с коэффициентами, зависимыми отA₁, A₂…A_k, M₁…M_l, N₁…N_l. Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях этого многочлена к коэффициентам многочленаполучим систему линейных уравнений относительно искомых коэффициентов. Решение этой системы даст численные значения коэффициентов.

Пусть дано рациональное выражение .

Её разложение на простые дроби будет иметь вид:

Коэффициенты A₁, A₂, A₃, A₄, A₅ определяем исходя из равенства

.

Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях слева и справа получим систему из пяти уравнений.

s⁴ A₁+A₂

s³ -2A₂+A₃=0

s² 2A₁+A₂-2A₃+A₄=2

s¹ -2A₂+A₃-2A₄+A₅=13

s⁰ A₁+2A₃-2A₅+A₅=13

Откуда A₁=1, A₂=-1, A₃=-2, A₄=-3, A₅=13.

Окончательно

Теперь чтобы найти оригинал от изображения надо найти оригинал от каждой из простых дробей и полученные оригиналы сложить. Для нахождения оригиналов от простых дробей можно воспользоваться таблицей соответствия между оригиналами и изображениями.

Пример 4.

Найти переходную функцию для .

Переходная функция определяется как:

.

Представим в виде суммы простых дробей.

Коэффициенты А₁, А₂, А₃, А₄ найдем из тождества:

T₂s+1=A₁(T₁s+1)(T₃s+1)²+A₂s(T₃s+1)²+A₃s(T₁s+1)(T₃s+1)+A₄s(T₁s+1)

Откуда:

Предположим, что для заданных значений определено численное значениеПользуясь таблицей соответствия между изображениями и оригиналами найдём

.