Для заочников 1 курса / ЛИНЕЙНАЯ АЛГЕБРА И АНАЛИТИЧЕСКАЯ ГЕОМЕТРИЯ
.pdf
Решение:
Найдём векторы AB и AC , на которых построен параллелограмм:
AB (3 1)i (3 2) j (1 2)k 2i j k ;
AC (2 1)i (5 2) j (4 2)k i 3 j 2k
Вычислим
|
i |
j |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB AC = |
2 |
1 |
-1 |
= 1 -1 i - 2 -1 j + 2 |
1 k = |
||||||
|
1 |
3 |
2 |
|
|
3 |
2 |
1 |
2 |
1 |
3 |
= 5i 5 j 5k 5(i j k ) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Площадь параллелограмма численно равна |
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
5 12 |
( 1)2 |
12 |
5 3 . |
|
S AB AC 5(i j k ) |
5i |
j |
k |
|
|||||||
Ответ: S 5 |
3 (кв ед). |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
5.Будут ли компланарны векторы |
|
|
|
|
|
||||||
1) a 2i j 3k;b 2 j k и c 3i 4k ; |
|
|
|
|
|||||||
2) a i 2 j k;b 3i j 2k и c 7i 14 j 13k . |
|
|
|||||||||
Решение. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
-1 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1) abc 0 2 |
1 = 2 2 4 0 0 3 ( 3) ( 1) 1 ( 3) 2 3 ( 1) 0 4 |
||||||||||
-3 |
0 4 |
( 3) 2 3 ( 1) 0 4 2 1 0 16 3 18 37 0 . |
|||||||||
Вывод: векторы не компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|||||
1 |
-2 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2) abc 3 |
1 |
-2 |
= 1 1 ( 13) 3 1 14 ( 2) ( 2) 7 1 1 7 ( 2) 14 1 |
||||||||
7 |
14 -13 |
( 2) 3 ( 13) 13 42 28 7 28 78 0 . |
|||||||||
Вывод: векторы компланарны. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6.Вычислить объём параллелепипеда с вершинами в точках |
|||||||||||
A(2;0;1), B(-3;4;2), C(5;-1;0) и D(0;2;0) |
|
|
|
|
|
||||||
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Найдём векторы |
AB , AC и AD , на которых построен параллелепипед. |
||||||||||
AB ( 3 2)i (4 0) j (2 1)k 5i 4 j k |
|
|
|
||||||||
AC (5 2)i ( 1 0) j (0 1)k 3i j k |
|
|
|
|
|||||||
AD 2i 2 j k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вычислим смешанное произведение этих векторов: |
|
||||||||||
|
-5 |
4 |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
AB ∙AC ∙ AD = 3 |
-1 -1 |
= -5+6+8-2-10+12 = 9. |
|
|
|||||||
|
-2 |
2 |
-1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
41
Объём параллелепипеда числено равен модулю смешанного произведения этих векторов. Итак, V=9.
Ответ: V=19 (куб ед).
7.5. Задачи для самопроверки |
и c 2 j 2k . |
|
||||||
7.1. Даны три вектора a i 3 j k;b 2i j k |
|
|||||||
Найти a 3b 4c . |
|
|
|
|
|
|
||
7.2. Вычислить скалярное произведение векторов a и b , если a 5, |
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
. |
|
|
|
|
|
b 7 2 ;(a,b) |
4 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
a i 5 j 2k |
|
|
7.3. |
Вычислить |
скалярное |
произведение |
векторов |
и |
|||
b 2i 2 j 4k . |
|
|
|
|
|
a i j 2k |
|
|
7.4. |
Вычислить |
векторное |
произведение |
векторов |
и |
|||
b7i 5 j k .
7.5.Даны вершины параллелограмма A(0;5;0), B(2;3;-4), C(0;0;-6).
Найти его площадь.
7.6.Вычислить смешанное произведение векторов a 3i , b 5i 2 j 2k
и c 2i 3 j k .
7.7.Даны вершины параллелепипеда A(0;5;0), B(2;3;-4), C(0;0;-6) и D(-3;1;-1). Найти его объем.
Ответы:
7.1.7i 8 j 12k ; 7.2. -35; 7.3. 0; 7.4. 9i 13 j 2k ; 7.5. 2
77 ; 7.6. 24;
7.7.14.
42
8.ПЛОСКОСТЬ
8.1.Уравнения плоскости
Для того, чтобы однозначно определить положение плоскости в пространстве, достаточно задать ненулевой вектор n , перпендикулярный этой плоскости и фиксированную точку М0( r0 ), лежащую в данной плоскости
(смотри рисунок 5). Вектор n называют нормальным вектором плоскости.
π
n
M0
М
z
r0 r
0 у
х
Рисунок 5.
Если выбрать произвольную (текущую) точку М(r ), лежащую в плоскости, то вектор M0 M r r0 тоже будет лежать в данной плоскости, т.е. будет выполняться условие (r r0 ) n , а следовательно(r r0 ) n 0 ,. Это
уравнение и есть уравнение плоскости π, проходящей через точку М0 и перпендикулярной вектору n . Преобразуем данное уравнение
rn r0n 0 rn r0n
Обозначим r0n = D. Получаем уравнение плоскости в виде r n = D.
Если обозначить координаты векторов следующим образом:
n Ai Bj Ck; r0 x0i y0 j z0 k; r x i y j z k
и выполнить скалярное умножение
rn Ax By Cz;
r0 n Ax0 By0 Cz0 ,
то получим уравнение плоскости в координатной форме
Ax By Cz D,
гдеD Ax0 By0 Cz0 .
43
8.2.Уравнения прямой в пространстве
Для того, чтобы однозначно определить положение прямой линии в пространстве, достаточно задать ненулевой вектор S , лежащий на данной прямой или параллельный ей (направляющий вектор прямой) и фиксированную точку М0 (r0 ) , лежащую на прямой (смотри рисунок 6).
Рисунок 6
Если выбрать произвольную (текущую) точку М(r ) , принадлежащую данной прямой, то вектор М0 М r r0 тоже будет лежать на прямой. Тогда векторы
(r r0 ) и |
|
|
s |
|
|
|
|
|
|
будут |
|
коллинеарны. |
Пусть |
|
s li mj nk;r |
x |
i y |
0 |
j z |
k;r xi yj zk. |
|
||||||||
|
r r |
0 |
0 |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
Тогда |
(x x |
0 |
)i |
(y y |
0 |
) j (z z |
0 |
)k |
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
Два вектора коллинеарны тогда и только тогда, когда их коэффициенты пропорциональны, т.е
x x0 |
|
y y0 |
z z0 |
l |
|
m |
n |
Полученные уравнения называют каноническими уравнениями прямой линии в пространстве.
8.3.Примеры
1.Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 ( 1;2;5) и
параллельной плоскости r (3i 4 j 5k ) 2 .
Решение: Уравнение указанной плоскости будем искать в виде
r n D, где D r0 n .
В качестве r0 берем радиус-вектор точки M 0 . Так как искомая плоскость параллельна данной, то в качестве нормали n берем 3i 4 j 5k , т.е нормаль данной нам плоскости. Тогда
D ( i 2 j 5k ) (3i 4 j 5k ) 3 8 25 20 .
Уравнение искомой плоскости имеет вид: 3x 4y 5z 20 . Ответ: 3x 4y 5z 20 .
44
2. Написать уравнение плоскости, |
|
проходящей через точку М0 (2; 3;1) , |
||||
перпендикулярно прямой |
x 1 |
|
y 2 |
|
z 5 |
|
4 |
5 |
7 |
||||
|
|
|
||||
Решение:
|
|
Рисунок 7 |
|
|
|
|
Уравнение |
указанной |
плоскости |
будем |
искать |
в |
виде |
А(х х0 ) В(у у0 ) С(z z0 ) 0. При этом |
(x0 , y0 , z0 ) - |
это координаты точки, |
||||
через которую проходит плоскость, и стало быть х0 |
2; у0 3; z0 |
1. А,В,С – |
||||
это координаты нормали n к плоскости. Так как искомая плоскость перпендикулярна прямой (смотри рисунок 7), то n
s и в качестве нормали n
возьмем вектор s , т.е. n s или A 4; B 5;C 7 . Тогда получаем уравнение искомой плоскости в виде: 4(х 2) 5(у 3) 7(z 1) 0
Если раскрыть скобки и привести подобные, то получим
4х 5у 7z 14 0
Ответ: 4(х 2) 5(у 3) 7(z 1) 0 или 4х 5у 7z 14 0 .
3.Написать уравнение плоскости проходящей через точки А(1;2;3) В( 2;3;4)
С(3; 2;5)
Решение:
45
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 8 |
|
|
|
|||||
Уравнение плоскости проходящей через три точки А, |
В, С будем |
||||||||||||||||
искать в виде r n D, |
где |
D r0 n . |
В качестве r0 возьмем радиус – вектор |
||||||||||||||
точки А, т.е. r |
r |
i |
2 j 3k . В качестве нормали n |
к плоскости берем |
|||||||||||||
|
0 |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
вектор n (AB AC) |
(смотри рисунок 8), где - любое вещественное число, |
||||||||||||||||
отличное от нуля. Находим АВ r |
r |
A |
2i |
3 j 4k i 2 j 3k 3i j k . |
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
|
|
|
|
2i 4 j 2k . |
|
|
||
Находим АC r |
r |
3i 2 j 5k i |
2 j 3k |
|
|
||||||||||||
|
C |
A |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Находим векторное произведениеAB AC . |
|
|
|
|
|||||||||||||
i |
j |
k |
|
1 1 |
|
|
3 |
1 |
|
|
|
3 |
1 |
|
|
|
|
AB AC 3 1 |
1 |
|
|
|
10k . |
|
|||||||||||
|
4 2 |
i |
2 |
2 |
j |
2 |
4 |
k 6i 8 j |
|
||||||||
2 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Возьмем 0,5 . Тогда |
n 3i |
4 j 5k . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||
Вычислим D rA n (i 2 j 3k ) (3i 4 j 5k ) 3 8 15 26 . |
|
||||||||||||||||
Уравнение искомой плоскости имеет вид 3x 4y 5z 26 . |
|
|
|||||||||||||||
Ответ: 3x 4y 5z 26 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. Написать |
уравнение прямой, |
|
проходящей через |
точку |
М0 ( 1;3;9) и |
||||||||||||
параллельной прямой Решение:
x 3 |
|
y 4 |
z 7 |
2 |
|
3 |
5 |
Искомую прямую ищем в виде |
x x0 |
|
y y0 |
z z0 |
. При этом |
|
l |
|
m |
n |
|
x0 1; y0 3; z0 9 . Так как искомая прямая параллельна данной (смотри рисунок 9), то в качестве направляющего вектора искомой прямой берем
вектор S(2; 3;5) .
46
|
|
|
Рисунок 9 |
Ответ: x 1 |
|
y 3 |
z 9 . |
2 |
|
3 |
5 |
5. Написать |
уравнение прямой, проходящей через точки М1 ( 3;5;8) и |
||
М2 (2;6; 3) . |
|
|
|
Решение: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Рисунок 10 |
|
|
Искомую прямую ищем в виде |
x x0 |
y y0 |
z z0 . В качестве точки |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
l |
m |
n |
М0 (x0 ; y0 ; z0 ) , через которую проходит прямая возьмем точку М1 , |
|||||||||
x0 3; y0 |
5; z0 8 (смотри рисунок 10). В качестве направляющего вектора S |
||||||||
прямой берем вектор М1M 2 : |
|
|
|
||||||
S M |
M |
2 |
r r 2i 6 j 3k 3i 5 j 8k 5i j 11k . |
||||||
1 |
|
|
2 |
1 |
|
|
|
|
|
Ответ: |
x 3 |
y 5 |
z 8 . |
|
|
|
|||
|
|
|
|
5 |
1 |
11 |
|
|
|
6. Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 ( 7;3;5) и перпендикулярной плоскости 2x 3y 4z 13 0.
Решение:
47
|
Рисунок 11 |
|
|
||
Уравнение прямой ищем в виде |
x x0 |
|
y y0 |
z z0 |
. Знаем, что |
|
l |
|
m |
n |
|
x0 7; y0 3; z0 5 . Так как искомая прямая перпендикулярна плоскости, то вектора S и n коллинеарны (см. рис. 11), т.е. S n . Проще всего взять 1
и тогда S n , т.е. |
S 2i |
3 j 4k . |
|||
Ответ: |
x 7 |
|
y 3 |
z 5 . |
|
|
2 |
|
3 |
4 |
|
8.4.Задачи для самопроверки
8.4.1Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (4;9;0) и параллельной плоскости 3x 2y 10z 14 .
8.4.2Написать уравнение плоскости, проходящей через точку М0 (1; 2;3) и
перпендикулярной прямой |
x |
|
y 3 |
z 2 . |
|
4 |
|
1 |
5 |
8.4.3 Написать уравнение плоскости, проходящей через точки А(2;1;1) ;
В(3; 4;4) ; С( 3;4;1) .
8.4.4 Написать уравнение прямой, проходящей через точку М0 (5; 10;8) и
параллельной прямой |
x 1 |
|
y 3 |
z . |
|
2 |
|
4 |
5 |
8.4.5 Написать уравнение прямой, проходящей через точки А(3; 3;10) и
В(8;2;5) .
48
8.4.6 Написать уравнение прямой, проходящей через точку А(6; 7;8) и перпендикулярной плоскости 3x 2y 10z 15 .
Ответы:
8.4.13x 2y 10z 6 .
8.4.24x y 5z 21.
8.4.39x 15y 22z 55.
8.4.4 |
x 5 |
|
y 10 |
z 8 . |
|
2 |
|
4 |
5 |
8.4.5x 3 y 3 z 10 . 1 1 1
8.4.6 |
x 6 |
|
y 7 |
z 8 . |
|
3 |
|
2 |
10 |
49
ЛИТЕРАТУРА
1.Беклемишев Д.В. Курс аналитической геометрии и линейной алгебры. М., Наука, 1984.
2.Беклемишева Л.А., Петрович А.Ю., Цубаров И.А. Сборник задач по аналитической геометрии и линейной алгебре. М., Наука, 1987.
3.Клетеник Д.В. Сборник задач по аналитической геометрии. М., Наука,
2001.
4.Шипачев В.С., Высшая математика. М., Высшая школа, 1990. Дополнительная литература
1.Бугров Я.С., Никольский С.М.
2.Векторная алгебра и аналитическая геометрия. Методические указания
№382. Составители: Зайцева Л.В., Крючков А.Ф./ЛТИ-Л., 1987.
3.Определители. Формулы Крамера. Методические указания №185. Составители: Поникаровская И.Г., Слободинская Т.В., Зайцева Л.В./ЛТИ-Л., 1991.
4.Линейная алгебра. Методические указания №206. Составители: Поникаровский И.Г., Слободинская Т.В./ЛТИ-Л., 1989.
50