2. Основные подходы к решению задач нелинейной механики грунтов. Результаты расчета оснований.

На современном этапе развития нелинейного направления механики грунтов оформились два основных подхода к решению практических задач расчета оснований и грунтовых сооружений: нелинейно-упругий и упругопластический (И.П. Бойко, А.К. Бугров, С.С. Вялов, Е.Ф. Винокуров, А.Л. Гольдин, Б.И. Дидух, Ю.К. Зарецкий, В.В. Ковтун, А.Л. Крыжанов-ский, Г.М. Ломизе, В.Н. Ломбардо, М.В. Малышев, Л.Н. Рассказов, А.В. Пилягин, В.И. Соломин, А.Б. Фадеев, В.Г. Федоровский, В.Н. Широ-ков, С. Десаи, Д. Друккер, Р. Клаф, В. Прагер, М. Харр, Л. Финн и др.)

Нелинейно-упругие решения.

В основе этих решений лежат модель однофазной (квазиоднофазной) сплошной среды и использование нелинейных зависимостей между напряжениями и деформациями, принимаемых едиными во всех точках грунтового массива, как при нагружении, так и разгрузке. При этом пластические деформации учитываются в сумме с упругими путем применения эмпирических зависимостей «напряжение — полная (упругая + пластическая) деформация».

Как известно, задачи линейной и нелинейной теории упругости состоят в том, чтобы, зная действующие нагрузки и граничные условия, определить в любой точке массива (тела) напряжения, деформации и перемещения в виде функций координат точек массива (тела). Исходными для решения этих задач являются уравнения равновесия, геометрические соотношения и физические уравнения.

Задачи нелинейной теории упругости могут характеризоваться физической или геометрической нелинейностью, либо в общем случае иметь одновременно и ту, и другую. Под физической понимается нелинейность физических уравнений, т.е. наличие нелинейных соотношений между напряжениями и деформациями. Под геометрической понимается нелинейность связи деформаций с перемещениями, т.е. нелинейность геометрических соотношений. Большинство нелинейных задач механики грунтов – это физически нелинейные задачи.

Физически нелинейная теория упругости применяет исходные уравнения, которые по своему составу те же, что и в линейной теории упругости. Из них уравнения равновесия и геометрические соотношения в обеих теориях полностью идентичны, а различными являются лишь физические уравнения. Нередко физические уравнения при решении нелинейных задач принимаются в виде тех же соотношений обобщенного закона Гука (3.5), что и в линейной теории упругости, но при переменных, зависящих от напряженного состояния, значениях модуля Юнга Е и коэффициента Пуассона ν, либо эквивалентно их заменяющих модулей G и K (см. 3.2). Предпочтение часто отдается величинам G и K. B этом случае физические уравнения (3.5), решенные относительно напряжений, принимают вид

,

,

, (8.12)

τ_xy = Gγ_xy,

τ_yz = Gγ_yz,

τ_zx = Gγ_zx

или в тензорной форме

σ_ij = 2Gε_ij + δ_ijε_ij.

Поскольку уравнения (8.12) при переменных G и K выражают нелинейную связь между напряжениями и деформациями, их принято называть зависимостями (уравнениями) Генки в отличие от зависимостей Гука, в которых G и K являются постоянными. Зависимости Генки обобщают закон Гука и предполагают, как и закон Гука, коаксиальность тензоров напряжений и деформаций и подобие напряженного и деформированного состояний.

Зависимости Генки, связывая напряжения с полными деформациями, используются в деформационной теории пластичности для описания поведения упругопластических сред (материалов). Поскольку уравнения равновесия и геометрические соотношения нелинейной теории упругости и деформационной теории пластичности полностью совпадают, то решение нелинейной упругой задачи, как показано в механике сплошной среды, одновременно является и решением задачи деформационной теории пластичности для случая нагружения среды, т.е. уравнения нелинейной теории упругости суть уравнения деформационной теории пластичности и наоборот. Имея это в виду, в нелинейной механике грунтов рассматриваемый нелинейно-упругий подход часто определяется как подход с позиций деформационной теории пластичности.

К уравнениям физически нелинейной теории упругости, включающим зависимости Генки, классические методы интегрирования, развитые в линейной теории упругости, неприменимы. При решении задач физически нелинейной теории упругости приходится прибегать к методу последовательных приближений (итераций). Решение нелинейной задачи при этом сводится к решению последовательности линейных задач, из которых каждая является некоторой отдельной задачей линейной теории упругости. Этот способ получил название метода упругих решений, и он применяется на практике в различных вариантах. Достаточно просто реализуется, например, вариант переменных коэффициентов упругости. В этом случае используются физические уравнения (8.12) с коэффициентами упругости G_n-1 и K_n-1, которые при решении n–й линейной задачи принимаются постоянными в смысле независимости их от величин напряжений и деформаций только этой задачи. Значения G_n-1 и K_n-1 устанавливаются по формулам, следующим из соотношений (8.1), (8.4) и (8.7) (вариант секущих модулей):

G =; К =

при подстановке в эти формулы эмпирических зависимостей для ε_i и ε_cp. При этом значения величин σ_cp, σ_i и μ_σ принимаются из решения предыдущей (n - 1)-й задачи. Заметим, что каждая линейная задача из общей их последовательности в способе переменных коэффициентов упругости является задачей для неоднородного по деформируемости массива, причем при переходе от предыдущей к последующей задаче характер неоднородности, т.е. распределение модулей G и К по массиву, меняется. Решение физически нелинейной задачи считается полученным, если результаты последних N – 1 и N последовательных приближений (т.е. последних N – 1 и N –линейных задач) удовлетворяют определенным требованиям, например, если различие модулей либо других величин не превышает определенного наперед заданного значения. В этом случае считают, что имеет место сходимость полученного приближенного решения нелинейной задачи к объективно существующему, но не известному точному решению. Заметим, что скорость сходимости, т.е. необходимое число приближений (итераций) N, зависит от целого ряда факторов, в том числе и от вида зависимостей (8.4), (8.7), аппроксимирующих экспериментальные результаты испытания грунта в приборах.

Нелинейно-упругие решения (решения в рамках деформационной теории пластичности) в целом позволяют получить более достоверные по сравнению с линейными результаты и, в частности, обеспечивают учет нелинейности связи напряжений с деформациями, зависимости деформаций формы и объема от инвариантов напряженного состояния. Однако, эти решения, принимая конечные нелинейные соотношения между напряжениями и деформациями, в то же время не позволяют учесть в расчетах траекторию нагружения, появление несоосности тензоров напряжений и деформаций и нарушение подобия напряженного и деформированного состояний, характерных для сложных путей нагружения грунтов. Из этого следует, что применение нелинейно-упругих решений к грунтовым массивам следует ограничивать случаями простых или близких к ним траекторий нагружения.

Для иллюстрации возможностей нелинейно-упругого решения (деформационной теории пластичности) приведем пример расчета глинистого основания, которое в лабораторном лотке нагружалось штампом шириной 2а = 30 см в условиях плоской деформации (опыты С.С. Вялова и А.Л. Миндича). В результате исследования грунта на стабилометре были получены зависимости для сдвиговой и объемной деформаций в виде σ_i = 1,14·σ_cpε_i(0,01 + ε_i)^-1, σ_cp = 5,59ε_cp. Из них следует, что К = 5,59 МПа, а модуль G определяется формулой G = σ_i /(3ε_i) = 1,14σ_cp/[3(0,01 + ε_i)], которая и применялась при решении нелинейно-упругой задачи. Некоторые результаты нелинейного решения представлены на рис. 8.9 кривыми 2, там же приведены результаты линейной задачи (кривые 1) и данные опытов (при р_ср = Р/2а = 0,09 МПа.

Рис. 8.9. Напряженное состояние линейного (1) и нелинейного (2)

упругого основания, нагружаемого жестким штампом,

и результаты эксперимента, показанные кружочками.

Как видно, учет физической нелинейности грунта позволил получить результаты, лучше согласующиеся с опытными значениями, чем результаты линейного решения.

Упругопластические решения

В основе упругопластического подхода лежит раздельное описание физическими зависимостями упругих и пластических деформаций грунта как квазиоднофазной среды. В случае многофазного грунта эти же зависимости применяются для скелета грунта. В этом подходе можно выделить различные варианты упругопластических решений. Однако в основе большинства из них лежат представления теории пластического течения (см. разд. 8.2).

В соответствии с представлениями теории пластического течения для упругопластических решений механики грунтов характерно использование дифференциальных зависимостей между напряжениями и деформациями (пластическими и полными) и процедуры последовательного (шагового) нагружения грунтовых массивов согласно очередности приложения и изменения внешних нагрузок, каждая из которых представляется определенным числом ступеней (шагов). В такой постановке упругопластические решения позволяют учитывать в расчетах траекторию нагружения, появление несоосности тензоров напряжений и деформаций и некоторые другие детали поведения грунтов, учет которых не удается осуществить в рамках нелинейно-упругого подхода.

Существенно важным в упругопластическом расчете грунтовых массивов является выбор соответствующих дифференциальных физических соотношений (уравнений) для пластических деформаций, определяемых реализуемой в данном решении моделью грунта. В настоящее время в практических приложениях наиболее широкое применение находят модели упругоидеальнопластической и упругопластической упрочняющейся среды.

Модель упругоидеальнопластической среды принимает, что грунт (скелет грунта) ведет себя как тело Прандтля. В частности, в случае одноосного напряженного состояния его деформирование описывается билинейной диаграммой σ - ε, имеющей участки 1 и 2 (см. рис. 8.3,а). На первом участке диаграммы, отвечающем допредельному напряженному состоянию, грунт принимается соответствующим модели линейно деформируемой среды. Это означает, что пластические (остаточные) деформации, развивающиеся в допредельном состоянии, присоединяются к обратимым (истинно упругим) и для полных (суммарных) деформаций, условно называемых далее упругими, могут приниматься физические уравнения (3.5) или (8.12) обобщеннного закона Гука. Эти же уравнения используются для упругой составляющей полной деформации при пластическом деформировании.

Описание процесса развития пластических деформаций грунта, находящегося в предельном напряженном состоянии (см. рис. 8.3,а, участок 2), в модели упругоидеальнопластической среды наиболее просто осуществляется зависимостью (8.9) ассоциированного закона пластического течения.

При решении задач плоской деформации функция текучести f в (8.9) принимается обычно в форме зависимости Кулона – Мора. В этом случае реализация упругоидеальнопластической модели для изотропного грунта предполагает использование всего четырех экспериментальных характеристик: модуля общей деформации Е, коэффициента Пуассона ν (либо заменяющих Е и ν модулей G и К) и характеристик прочности φ и с. Для анизотропных грунтов число характеристик возрастает, в частности, для трансверсально-изотропных грунтов до девяти [3]. Однако выше отмечалось, что закон (8.9) не всегда дает согласующееся с экспериментами направление вектора , т.е. не всегда достоверно отражается дилатансия грунта в предельном состоянии. В этом случае используют вместо (8.9) соотношения неассоциированного закона пластического течения:

, (8.13)

где F – пластический потенциал, зависящий, как и функция текучести f = f(σ_ij), от компонентов тензора напряжений F = F(σ_ij), но отличный от нее, т.е.F≠ f. Зависимость (8.13) определяет перпендикулярность вектора к поверхности пластического потенциала F = const. Соответствующим выбором уравнения пластического потенциала можно обеспечить необходимую точность удовлетворения опытным данным по ориентации вектора .

В случае задач плоской деформации для изотропного грунта к перечисленным характеристикам Е, ν, φ, с добавляется коэффициент (скорость) Λ дилатансии грунта в предельном состоянии, являющийся коэффициентом пропорциональности в соотношении . Следует подчеркнуть, что законы (8.9) , (8.13) устанавливают только направление вектора , но не его величину, для определения которой необходимо найти dλ. Коэффициент dλ находится в процессе решения рассматриваемой задачи для каждого элемента среды и он изменяется по мере деформирования этих элементов.

Заметим, что в условиях неоднородного напряженного состояния переход отдельных элементов грунта в предельное состояние еще не означает, что будет происходить незатухающее накопление пластических деформаций. Это становится возможным лишь при значительном развитии областей предельного напряженного состояния, а также в условиях предельного однородного напряженного состояния (см. рис. 8.3,а, участок 2). В этих условиях при решении задач принимаются соотношения не для приращений, а для скоростей пластических деформаций. Например, вместо (8.13) используют соотношение , где , и при решении получают распределение в грунтовом массиве не самих пластических деформаций, а их скоростей.

Модель упругоидеальнопластической среды использовалась при решении различных задач механики грунтов и, в частности, нашла эффективное применение при решении смешанной задачи теорий упругости и пластичности грунтов.

Решение смешанной задачи должно удовлетворять в областях допредельного (упругого) и предельного напряженных состояний грунта одним и тем же уравнениям равновесия, геометрическим соотношениям, но различным в этих областях физическим уравнениям и условию предельного равновесия в области предельного напряженного состояния. Полное решение смешанной задачи, состоящее в определении напряжений, деформаций и смещений в областях допредельного и предельного напряженных состояний (в «упругой» и пластической областях) и границы между этими областями, может быть получено только численными методами. Весьма удобным при этом является метод конечных элементов (МКЭ) с обязательным использованием процедуры шагового (последовательного) нагружения расчетной области.

Применение шагового нагружения предполагает зависимость между векторами напряжений и полных деформаций в приращениях {Δσ} = [D]{Δε}, где [D] - физическая матрица.

В областях допредельного («упругого») напряженного состояния [D] = [D^e], в пластических областях [D] = [D^ep]. Упругие матрицы [D^e] следуют из соотношений закона Гука (3.5) или (8.12). Упругопластическая матрица [D^ep] для изотропного грунта была получена в работах [А.К. Бугров, 1974-76 г.г.], приведенных в монографии [3], где дополнительно дана матрица [D^ep] для трансверсально-изотропного грунта.

Для изотропного грунта матрица [D^ep] в общем виде определяется выражением

[D^ep] = [D^e] – [D^e] ,

где тр – операция транспонирования.

Конкретный вид [D^ep] зависит от принятого пластического потенциала F и функции текучести f. Используемая ниже при решении смешанных задач плоской деформации матрица [D^ep] получена для пластического потенциала F = T_пл + Λ·σ_ср.пл + const, закона (8.13) и функции текучести по Кулону-Мору f = T_пл + σ_ср.пл·sinφ – с·cosφ. При использовании ассоциированного закона течения (8.9) в матрице [D^ep] следует принять Λ = sinφ и F = f.

В качестве примера приводим некоторые результаты решения МКЭ смешанной задачи плоской деформации для основания, нагруженного с поверхности распределенной по полосе 2а = 10 м нагрузкой q.^*) Грунт основания – однородный щебенисто-песчаный суглинок. При плотности ρ = = 1,92 т/м³ для этого грунта Е = 14,6 МПа, ν = 0,3, φ = 27⁰, с = 0,02 МПа. При решении рассматриваемой задачи использован закон (8.9).

На рис. 8.10,а показано развитие областей предельного напряженного состояния (пластических областей), определяемых по условию Кулона-Мора при учете напряжений от собственного веса грунта (σ_z = γz, σ_х = ξ·γz, τ_xz= 0 при ξ = 1) и от нагрузки q. Пластическое состояние появляется под краем нагрузки при q = 0,148 МПа, почти совпадающей с критической нагрузкой q_кр = 0,143 МПа (формула 3.37). Затем с увеличением q пластические области по решению смешанной задачи (сплошные линии) развиваются, вытягиваясь к оси симметрии и при q = 0,45 МПа смыкаются на глубине 1,3·a. Заметим, что в смешанном решении условие Кулона (θ_max = φ) выполняется не только на границе, но и внутри областей в отличие от результатов приближенного определения этих областей (см. раздел 3.4, рис.3.13). Пластические области, найденные по результатам решения ЛТУ, т.е. приближенным методом (риздел 3.4), показаны на рис. 8.10,а пунктиром. Сравнение пластических областей по решениям смешанной и линейной задач показывает, что различие между ними возрастает с увеличением нагрузки q.

Рис. 8.10 Результаты расчета однородного основания при действии

полосовой нагрузки.

а – пластические области: 1 – 5 – при q = 200, 300, 420, 700, 800 кПа;

б, в – осадки точки ( x = z = 0) и точки (x = 2а, z = 0): 1, 2 – весомого

основания при ξ = 1 и 0,43; 3 – невесомого основания;

пунктир – решение ЛТУ.

На рис.8.10,б приведены графики вертикальных перемещений (осадок) v_о точки х = z = 0 с ростом нагрузки q для значений ξ = 1 (кривая 1), ξ = 0,43 (кривая 2) и для сопоставления с ними – осадки невесомого основания (кривая 3), полученные в решении смешанной задачи. Решению ЛТУ отвечает пунктирная прямая, общая для всех трех случаев (γ ≠ 0,ξ = 1 и 0,43, γ = 0). Смешанная задача в отличие от линейной реализует учет влияния весомости грунта на осадку основания от внешней нагрузки. Влияние весомости и развития пластических областей отражается и на величине и характере вертикального смещения точки ( х = 2а, z = 0) поверхности основания за пределами полосы загружения (рис. 8.10, в).

Анализ результатов смешанных задач для различных схем оснований показывает [2, 3], что появление и развитие областей предельного напряженного состояния существенно отражается на всех компонентах напряженно-деформированного состояния грунта. В частности, с изменением нагрузки происходит существенная трансформация эпюр напряжений (см. рис. 3.15) и деформаций, описывается ряд других особенностей деформирования грунта, не отражаемых моделью линейно деформируемой среды, но наблюдаемых в опытах, в том числе нелинейный характер зависимости «нагрузка-осадка» (рис. 5.6, 8.10).

Многочисленные решения смешанных задач для оснований позволили получить обобщенный график коэффициента к_п (рис. 5.7, раздел 5.2), обеспечивающий определение осадки упругопластического основания по осадке линейно-деформируемого основания. Примеры применения обобщенного графика к_п, в том числе для проектирования фундаментов, дан в пособии автора «Фундаменты основных зданий и сооружений атомных и тепловых электростанций». ЛГТУ, 1991 г.

В качестве примера решения смешанной задачи с применением закона (8.13) на рис. 8.11 для случая плоской деформации приводятся некоторые результаты расчета МКЭ слоя грунта на действие вертикальной нагрузки q, приложенной внутри его.

Грунт имеет характеристики Е = 20 МПа, ν = 0,4, γ = 19 кН/м3, φ = = 20⁰, с = 0,08 МПа, Λ= 0,5sin φ. Hа рис. 8.11,а сплошными линиями (1 – 4 соответственно при q = 0,6; 0,8; 1,3; 2,0 МПа) показаны пластические области по результатам смешанной задачи.

Развитие пластических областей приводит к существенному различию между напряжениями смешанного и упругого решений (рис. 8.11,б, q = 2 МПа). В частности, модель линейно деформируемого (упругого) грунта резко завышает растягивающие напряжения σ_z над линией приложения нагрузки. По решению смешанной задачи, учитывающей прочность грунта, внешняя нагрузка в основном воспринимается грунтом основания ниже полосы загружения.

Рис. 8.11. Результаты расчета действия вертикальной полосовой

нагрузки, приложенной внутри упругопластического (сплошные

линии) и упругого (пунктир) основания.

Расчеты, результаты которых представлены на рис. 3.15, 5.7, 8.10, 8.11, выполнены по программе решения МКЭ смешанных упругопластических задач (программа «СУПЗ», авт. Бугров А.К., Зархи А.А.) [2, 3], написанной в ЛПИ еще в 1970-х годах и переработанной в 1990-х годах (Голубев А.И.) для расчетов на персональных компьютерах (ПК) оснований и земляных сооружений из многофазных (водонасыщенных) грунтов.

Как отмечено в гл.5, в настоящее время рынок компьютерных технологий предлагает программные комплексы (ПК), обеспечивающие проведение геотехнических расчетов при описании грунтов различными расчетными моделями. ПК Plaxis, Cosmos, Ansys, Диск-Геомеханика и др. позволяют представлять грунт упругопластической (упругоидеальнопластической) моделью Кулона-Мора, упругопластической моделью упрочняющегося грунта и др., при этом для пластических деформаций применяется как закон (8.9), так и (8.13).

Вариант смешанной задачи с использованием для однофазного грунта характеристик E, ν, φ, c был реализован в начале 1990х годов также в программе «Геомеханика» (СПбГАСУ). В указанном варианте смешанной задачи пластическое течение реализуется как «равнообъемное течение», т.е. при развитии пластического формоизменения ΔГ^Р принимается отсутствие пластического изменения объема (= 0), что, по существу, эквивалентно применению неассоциированного закона течения (8.13) при значении коэффициента дилатансии Λ = 0.

Модель упругопластической упрочняющейся среды исходит из концепции существования поверхностей нагружения, понятие которых дано в разд. 8.2. B этой модели истинно упругие (обратимые) и пластические (остаточные) деформации с самого начала нагружения среды, в том числе и при допредельном состоянии, рассматриваются и определяются отдельно и независимо друг от друга. В результате при использовании модели упрочняющейся среды удается отразить некоторые эффекты допредельного поведения грунта, не поддающиеся учету в модели упрогоидеальнопластической среды. В частности, становится возможным описать всю историю накопления пластических (остаточных) деформаций в зависимости от того, по какому пути нагружения грунт подводится к предельному по прочности состоянию, и тем самым отразить дилатансионные свойства грунта на всем этапе его деформирования.

В модели упругопластической упрочняющейся среды для упругих (обратимых) деформаций принимаются соотношения (8.12) обобщенного закона Гука, в которых модули G = G^e, K = K^e являются модулями упругости, устанавливаемые в опытах при разгрузке грунта. Для пластических деформаций в рассматриваемой модели используются соотношения (8.8) ассоциированного закона пластического течения, в которых функция нагружения Ф зависит, в частности, от параметров упрочнения (см. разд. 8.2). Параметры упрочнения «управляют» изменением геометрии поверхности нагружения, в качестве этих параметров принимаются обычно те или иные инварианты накопленных пластических деформаций, например и . Поскольку гладкая (регулярная) поверхность нагружения и ассоциированный закон течения определяют направления вектора в точке нагружения единственным образом (по нормали к поверхности Ф = const ) независимо от направления вектора догружения, имеются предложения о введении в функцию нагружения сингулярности, т.е. об использовании кусочно-гладких поверхностей нагружения с особыми (сингулярными) точками. В особой точке сходятся регулярные (гладкие) участки поверхности нагружения, нормали к которым образуют между собой некоторый угол. Направление вектора может быть назначено внутри этого угла и тем самым в особой точке направление вектора может ставиться в зависимость от направления вектора догружения, что позволяет лучше удовлетворить опытным данным. В этом случае для приращений пластических деформаций вместо (8.8) принимается обобщенный ассоциированный закон пластического течения

,

где Ф_r – регулярные участки (Ф₁, Ф₂, …,Ф_k) поверхности нагружения, сходящиеся в особой точке.

Опуская детали практического приложения модели упругопластичяеской упрочняющейся среды, отметим, что реализация этой модели связана с необходимостью проведения достаточно обширных экспериментов по выявлению формы поверхности нагружения грунта, а проведение расчетов возможно только с использованием численных методов, эффективных вычислительных программ и мощных ЭВМ. Применение рассматриваемой модели целесообразно в случаях уникальных и особо ответственных сооружений.

Помимо изложенных в механике грунтов в последние годы развиваются также упругопластические подходы, в которых не используется концепция поверхностей нагружения. В этих подходах вместо законов (8.8), (8.13) определяющие связи вводятся непосредственно в форме тензорной функции, учитывающей, например, связь между приращением напряжений и деформаций, нелинейную зависимость от тензора напряжений и др. Так, в расчетах грунтовых плотин широкую известность получила модель (Л.Н. Рассказов), в которой при нагружении использовались определяющие связи вида , а при разгрузке – закон Гука. Здесь ε_V – объемная деформация, включающая дилатантную составляющую (см. (8.7)). Модель принимает соосность тензоров приращений деформаций и приращений напряжений. Для нахождения всех характеристик грунта, отвечающих модели, достаточно проведение экспериментов по стандартной методике в стабилометре.

При расчетах многокомпонентных грунтов принято выделять два характерных их состояния в зависимости от коэффициента водонасыщения S_r. При S_r ≤ 0,7 ... 0,6 процесс деформирования протекает (при сравнительно небольшом диапазоне изменения напряжений) практически без отжатия жидкости и поэтому может быть описан моделью сплошной квазиоднокомпонентной среды с использованием, например, приведенных выше определяющих соотношений для грунта. В остальных случаях для описания процесса деформирования многокомпонентного грунта во времени применяют те или иные решения теории консолидации.

При учете нелинейных, упругопластических свойств скелета многокомпонентного грунта наиболее общий подход к решению задач уплотнения (консолидации) осуществляется в рамках модели объемных сил Флорина – Био (глава 7). При реализации для скелета моделей нелинейно-упругой или упругопластической среды принимаются определяющие уравнения, приведенные выше. Значительные математические трудности решения системы уравнений модели Флорина – Био предопределяют использование численных методов и практическое применение этой модели к расчетам уникальных и особо ответственных сооружений (эта модель принималась, например, при расчетах плотины Рогунской ГЭС высотой 330 м).

*⁾ Материал гл. 8 рекомендуется использовать для углубленного изучения механики грунтов при подготовке дипломированных инженеров, магистров и аспирантов по направлению «Строительство».

*⁾ Простое нагружение реализуется, если напряжения от внешней нагрузки возрастают пропорционально одному параметру, например, времени, а начальные напряжения отсутствуют. При отсутствии такого возрастания нагружение является сложным.

* Далее при рассмотрении вопросов теории пластичности наряду с обычными будут использоваться тензорные обозначения, которые сокращают изложение. При этом i, j = 1, 2, 3 и ₁₁ = _x, ₁₂ = _xy, ₁₃ = _xz ; ₂₂ = _y и т.д., аналогично для деформаций.

*⁾ Результаты подробно изложены в статье: А.К. Бугров, А.А. Зархи. Некоторые результаты решения смешанных задач теорий упругости и пластичности грунтов оснований. Основания, фундаменты и механика грунтов, 1978, №3.