3. Основные расчетные модели, характеристики и зависимости. Определение напряжений и перемещений в грунтах.

1. Основные расчетные модели грунта.

Процессы, происходящие в грунтах при приложении внешних воздействий, настолько сложны, что при их изучении приходится прибегать к созданию схематизированных представлений, называемых расчетными моделями. Расчетная модель представляет собой некоторый абстрактный (идеализированный) объект, отображающий наиболее существенные свойства оригинала (в нашем случае – грунта). Предложенные к настоящему времени расчетные модели грунтов представлены двумя группами: моделями сплошной среды и моделями дискретной среды. В современной механике грунтов расчеты напряженно-деформированного состояния грунтовых массивов (основания сооружений, насыпи дорог, дамбы, плотины и др.) базируются практически полностью на моделях первой группы.

Модели сплошной среды.

В грунтах, являющихся дисперсными средами, всякая внешняя нагрузка или воздействие передаются от одной частицы к другой через точки их контакта. Однако, в большинстве практических приложений нет необходимости рассматривать действие отдельных сил, приходящихся на отдельные частицы грунта, а достаточно считать эти силы непрерывно распределенными по малой площадке, определяя на ней соответствующее напряжение как в сплошной среде (как в металле, бетоне и т.п.), независимо от того, пересекает рассматриваемая площадка твердые частицы или поры грунта.

Представление грунта расчетной моделью сплошной среды является основным положением расчетных методов, что позволяет использовать для расчета грунтовых массивов хорошо развитый аппарат механики сплошной среды. Основное допущение, заложенное в различных расчетных моделях, состоит в том, что любая реальная среда (металл, бетон, вода, грунт и т.д.) рассматривается непрерывной (сплошной) с непрерывно распределенными по объему характеристиками. Это обстоятельство позволяет успешно применять для расчетов хорошо разработанный для непрерывных функций аппарат высшей математики. Механика сплошной среды использует одинаковые для всех сред уравнения равновесия (движения) и неразрывности (геометрические соотношения), учитывая, однако, особенности конкретной среды и характер ее деформирования (упругое, пластическое и др.) соответствующими физическими уравнениями, выражающими зависимости между напряжениями и деформациями (или их приращениями).

При использовании для грунтов расчетных моделей сплошной среды представляется необходимым установить тот минимальный объем ΔV грунта, при расчете которого справедлива модель сплошности. Такой объем ΔV иногда называют элементарным объемом (кубиком). Ясно, что ΔV должен быть много больше, чем объем одной твердой частицы грунта, т.е. необходимо, чтобы ΔV>>d³ . Для конкретной оценки указанного соотношения можно использовать зависимость (Ф.М. Ясинский)

, (3.1)

которая связывает размер элементарного объема (кубика) , размер d твердых частиц грунта и возможное отклонение k(%) рассчитанного по модели сплошной среды напряжения от среднего фактического его значения. Из (3.1.) следует, что размер элемента грунта, для которого с погрешностью k = 10% и менее можно рассчитывать напряжения по модели сплошной среды, должен не менее, чем в 100 раз превышать размер наиболее крупных твердых частиц грунта, т.е. l/d ≥ 100. Погрешность 10% будет иметь место, например, при определении напряжения по грани элемента (кубика) ΔV = 1 см³ (по площадке в 1 см²) в однородном песке крупностью d ≤ 0,1мм. По такой же площадке в глинистом грунте с частицами d = 0,001 мм погрешность составит всего 1%. Это подтверждает известное высказывание Н.М. Герсеванова о том, что неточность определения напряжений в глине не будет большей, чем в стали, которая также состоит из мельчайших зерен (кристаллов). Применение концепции сплошности предполагает, что наряду с условием ΔV>>d³ должно выполняться также условие, согласно которому размер l = элементарного объема должен быть много меньше характерного (наименьшего) размера L рассчитываемого массива, т.е. l <<L (L - размер сжимаемой толщи основания фундамента, ширина гребня, высота плотины, насыпи и т.п.).

Во всех случаях реальных сооружений (ПГС, ГТС и др.) на глинистых и песчаных основаниях условия ΔV>>d³ , l <<L бесспорно выполняются.

B рамках модели сплошной среды наиболее полно в расчетах грунтовых оснований сейчас реализованы модели линейно-деформируемой среды (ЛДС), теории предельного равновесия (ТПР) и упругопластической среды (УПС). Все они являются частными вариантами модели сплошной среды.

Модель линейно-деформируемой среды основана на предположении, что для определения напряжений (деформаций), например, в грунтовом основания можно использовать решения линейной теории упругости (ЛТУ), являющейся разделом механики сплошной среды, изучающим поведение упругих тел под действием нагрузок. В задачах ЛТУ широко используется принцип линейной суперпозиции.

Как известно, задача ЛТУ состоит в определении напряжений, деформаций и перемещений при известных действующих внешних силах и граничных условиях. В случае задачи плоской деформации, которая широко используется при расчетах грунтовых массивов, необходимо определить 8 величин (σ_x, σ_z, τ_xz, ε_x, ε_z, γ_xz, u, v) в виде функций от координат x, z (z - вертикальная ось). Исходными для решения этой задачи являются 8 уравнений, включающих:

• два уравнения равновесия (для малого элемента среды):

, , (3.2)

где X, Z – составляющие объемных сил (при учете веса грунта X = 0, Z = γ);

• три геометрических уравнения, связывающих деформации с перемещениями, в случае малых деформаций в виде:

, , , (3.3)

где u, v – горизонтальное и вертикальное перемещение точки среды;

• три физических уравнения в виде зависимостей обобщенного закона Гука, для плоской деформации имеющих вид:

,

, , (3.4)

где Е, ν - модуль упругости Юнга и коэффициент Пуассона среды. Физические уравнения (3.4) получены из известных общих зависимостей закона Гука для объемного напряженного состояния:

и аналогично для e_y, e_z,

и аналогично для g_xy, g_yz, , (3.5)

принимая в них для условий плоской деформации e_y = 0, g_xy = g_yz = 0.

Для условий пространственной задачи ЛТУ уравнений вида (3.2 . . .3.5) и соответственно неизвестных будет 15.

При решении задач ЛТУ среда принимается неограниченно прочной и напряжения в физических зависимостях (3.5) могут принимать сколь угодно большие значения, при этом параметры E, ν остаются постоянными. Как известно, параметры E, ν в случае конструкционных материалов обычно определяются из опыта на одноосное растяжение или сжатие.

Аналитическое решение задач ЛТУ для большинства вариантов нагружения оснований сводится к определению напряжений (метод решения в напряжениях) при последующем расчете (при необходимости) деформаций и перемещений по напряжениям. В качестве деформационных характеристик грунта принимаются модуль общей деформации и коэффициент Пуассона. При назначении значений этих характеристик используются данные опытов (подробнее – см. раздел 3.2).

Исследование деформируемости грунтов лабораторными и полевыми методами (см. разделы 2.1, 2.4, 2.5, 2.8) показывает, что: 1) остаточные деформации грунта, особенно нескального, значительно больше упругих и 2) грунту не свойственна линейная зависимость между напряжениями и деформациями (см. рис. 2.2, 2.19,2.27). Это противоречит свойствам упругого тела и поэтому при использовании для грунтов решений ЛТУ следует ввести определенные ограничения.

Во-первых, учитывая развитие у грунтов остаточных (пластических) деформаций, решения ЛТУ надлежит применять при нагружении грунта, когда наличие или отсутствие упругих свойств не имеет значения для расчета. Это условие выполняется в случае расчета оснований возводимых сооружений, нагружающих грунтовый массив. Во-вторых, учитывая линейный характер физических зависимостей ЛТУ (зависимостей обобщенного закона Гука), ее решения допустимы для грунтов при линейных или близких к ним зависимостях между деформациями и напряжениями (например, на участке от σ^/ до σ^// рис. 2.2,а или на участке от p₀ до р_n, рис. 2.27, б). Поскольку при расчетах должны учитываться общие деформации (упругие + остаточные), то при использовании зависимостей (3.4, 3.5) обобщенного закона Гука в них вместо модуля упругости вводится модуль общей деформации. По той же причине принимаемую для грунта модель по предложению Н.М. Герсеванова называют моделью линейно - деформируемой среды, а для оснований используют термин «линейно - деформируемое основание» вместо «упругое основание».

Модель линейно-деформируемой среды (ЛДС) применительно к грунтовым массивам определяет их напряженно-деформированное состояние как сплошной однокомпонентной среды. При этом в случае водонасыщенного грунта (двух- и трехкомпонентной среды) в нестабилизированном состоянии этой моделью определяются только полные (тотальные) напряжения без разделения их на напряжения в скелете грунта (эффективные напряжения) и давления в поровой воде (см. раздел 2.1). Определение одновременно эффективных напряжений и поровых давлений возможно, в частности, при использовании модели ЛДС и модели теории консолидации (подробнее см. гл. 7). По существу модель ЛДС предназначена для определения напряженного стабилизированного состояния грунта.

При наступлении в каких-либо областях грунтового массива (основания) предельного напряженного состояния, т.е. состояния, при котором напряжения удовлетворяют, например, условию Кулона (2.8), физические уравнения модели ЛДС (зависимости закона Гука) перестают выполняться в этих областях и применение модели ЛДС становится неправомерным. В настоящее время по предложению В.А.Флорина [12] за критерий применимости модели ЛДС принимается степень развития областей предельного напряженного состояния в грунтовом массиве. Если такие области отсутствуют вовсе или малы (размеры областей оговариваются в нормах на проектирование) по сравнению, например, с размерами фундамента сооружения, то применение модели ЛДС к расчету его основания считается допустимым. При неприменимости модели ЛДС для расчета привлекаются, как правило, более сложные и трудоемкие расчетные модели, на которые названный выше критерий не распространяется.

Модель теории предельного равновесия основана на предположении, что в грунтовом массиве имеет место предельное напряженное состояние, т.е. области допредельного состояния либо вовсе отсутствуют, либо весьма малы. Модель ТПР является крайней противоположностью модели ЛДС.

Теория предельного равновесия и ее расчетная модель применяются в механике грунтов для определения предельных (разрушающих) нагрузок на основания, активного и пассивного давления на подпорные стены, предельного равновесия откосов и др. При этом в задачах ТПР находятся только напряжения для случая предельного состояния грунта без определения деформаций. Система уравнений при этом состоит из уравнений равновесия (3.2) и условия предельного равновесия в форме (см. раздел 3.2):

.

В качестве характеристик грунта модель ТПР использует параметры прочности φ и с закона Кулона.

Модели упруго-пластической среды применяются при расчете грунтовых массивов, в которых имеются как области предельного, так и допредельного напряженного состояния грунта, и они таковы, что исключается применение отдельно модели ЛДС или ТПР. Модели УПС применяются также для учета нелинейного деформирования грунта при значительном изменении напряжений, как это имеет, например, место на кривых рис. 2.3. В моделях УПС физические уравнения могут иметь различный вид, в частности, при учете нелинейного деформирования грунта нередко используются зависимости обобщенного закона Гука вида (3.5), в которых характеристики Е и ν принимаются переменными, зависящими от уровня достигнутого напряженного состояния. Применение подобных физических уравнений приводит к значительному усложнению задач, однако, эти трудности успешно преодолеваются при использовании численных методов (МКЭ, МКР, МГЭ) и компьютеров. Модели УПС используют, как правило, характеристики, включающие как деформационные (например, переменные Е, ν или G, К), так и прочностные (φ, с) или различные их комбинации (более подробно см .гл. 8, а также [9], гл. 10).

Модель дисперсной (дискретной) среды.

Расчетная модель дисперсной (зернистой) среды исходит из представления грунта (горной породы) упорядоченным набором одинаковых зерен или блоков: в плоских задачах порода идеализируется плоскими или круглыми элементами – дисками, при решении объемных задач используются либо прямоугольные параллелепипеды («кирпичи»), либо шары. Принимая те или иные схемы взаимного расположения элементов (схемы «упаковки») и условия передачи усилий от элемента к элементу, получают соответствующий вероятностно-статистический закон распределения напряжений в среде (И.И. Кандауров). Модель дисперсной среды (МДС) применима для грунтов, состоящих из крупных частиц: для каменной наброски, трещиноватой скалы и др. В расчетах оснований зданий и сооружений МДС применения пока не получила, в частности, из-за невозможности определения в рамках этой модели деформаций и перемещений грунтового массива. Для расчета по напряжениям деформированного состояния в работах по механике зернистой среды предлагается использовать зависимости (3.2-3.4) модели сплошной среды.