3. Определение нормальных напряжений по подошве сооружений конечной жесткости.

Рассмотрим задачу плоской деформации для полосы шириной b = 1 в направлении оси у, полагая деформации полосы и основания происходящими в плоскости xz (рис. 4.1,а). В основу большинства контактных задач для сооружений конечной жесткости принимают два существенных допущения, упрощающих решение задач:

1. При деформациях основания и полосы (сооружения) не образуется щели между ними, т.е.

W_п(x) = W₀(x) = W(x), (4.14)

где W_п(x),W₀(x) – прогиб полосы и осадка основания.

2. Для изгибаемой полосы допустима гипотеза плоских сечений и соответственно дифференциальное уравнение изогнутой оси, применяемое в курсе сопротивления материалов в виде

DW^//(x) = M(x)

или, учитывая, что M^//= Q^/ = q(x) = f(x) – φ(x) (рис. 4.1,а), получаем

DW^IV(x) = f(x) – φ(x), (4.15)

где D — цилиндрическая жесткость полосы, D = Е_пI_п/(1 – ν²_п), Е_п, ν _п — модуль упругости и коэффициент Пуассона материала полосы; I_п — момент инерции поперечного сечения b_п·h_п = 1·h_п полосы, I_п = ; f(x) — интенсивность внешней распределенной нагрузки; φ(x) — интенсивность реакции основания.

Неизвестными величинами в уравнении (4.15) являются прогиб W(x) и реакция φ(x) по подошве полосы. Для решения контактной задачи необходимо введение дополнительной к (4.15) зависимости (уравнения), отражающей физические представления о характере деформируемости основания, т.е. по существу принятие определенной расчетной модели основания. Как и в случае жестких сооружений, при расчете изгибаемых сооружений (фундаментов) широкое применение нашли модели коэффициента постели и линейно-деформируемого основания.

Модель коэффициента постели предполагает между W(x) и φ(x) зависимость (4.2) φ(x) = bּk ּW(x). Подставляя в (4.15) получаем дифференциальное уравнение изогнутой оси полосы в виде

DW^IV+ bּk ּW = f(x) или W^IV+4α⁴W = F(x), (4.16)

где и F(x) =.

Величина α имеет размерность 1/см или 1/м и обычно b = 1. Во многих задачах внешняя нагрузка на полосу может быть представлена сосредоточенными моментами и силами, в том числе без большой погрешности можно заменить распределенную нагрузку f(x) группой сосредоточенных сил. B этих случаях формально f(x) = 0 и уравнение (4.16) становится однородным

W^IV+4α⁴W = 0. (4.17)

Общий интеграл уравнения (4.17) можно получить в различной форме (см. решение в [9, 12]). В практике расчетов наиболее часто используются следующие три формы интеграла:

W(x) = A₁e^αx cosαx + A₂e^αx sinαx + A₃e^-αx cosαx +

+ A₄e^-αx sinαx,

W(x) = A₁cosαxּchαx + A₂cosαxּshαx + A₃ sinαxּ chαx + (4.18)

+ A₄sinαxּshαx,

W(x) = A₁Y₁+ A₂Y₂ + A₃Y₃+ A₄Y_4.

В последней форме Y₁,Y_2, Y_3, Y₄ — функции, введенные А.Н. Крыловым и носящие его имя; для этих функций составлены таблицы. Удобство функций Крылова состоит в том, что производные от каждой функции выражаются через остальные функции (например, Y₁= cоsαxּchαx, Y^/₁ = -α (sinαxּ chαx – cosαxּshαx) = -4α Y₄ , Y^//₁ = -4α² Y₃ и т.д.).

Постоянные интегрирования в (4.18) находятся из граничных условий, которые принимаются из условий деформирования полосы (сооружения) и ее закрепления. Например, при защемленном конце полосы (балки) W = 0, W^/  = 0; при шарнирно опертом конце W = 0, M = -DW^// = 0 или приложенному моменту M₀; при свободном конце M = -W^// = 0, Q = -DW^/// = 0 или заданным значениям M₀ и Q₀; на оси симметрии W^/ = 0 и т.д. Зная величину прогиба W(x), из (4.18) легко находим M(x) = -DW^//(x), Q(x) = -DW^///(x), φ(x) = k ּW(x).

Первая форма интеграла (4.18) оказалась весьма удобной для расчета бесконечно длинной балки, загруженной сосредоточенной силой Р или моментом М₀. На рис. 4.7 представлены результаты для этих случаев (решение – см.[9]).

Рис. 4.7. Эпюры моментов, перерезывающих сил и напряжений

по подошве для бесконечно длинной балки при действии

сосредоточенной силы Р (а) и момента М₀ (б).

Для балок ограниченной (конечной) длины применяют метод расчета, сочетающий метод А.Н. Крылова и метод начальных параметров Н.П. Пузыревского, представляя общий интеграл в виде

W(x) = W(0) ּY₁+, (4.19)

где W(0), δ(0), M(0), Q(0) – значения прогиба, угла поворота, изгибающего момента и поперечной силы в начале координат (начальные параметры).

Решения различных задач на основе интеграла в форме (4.19) для различных сосредоточенных и распределенных нагрузок приводятся в книге В.А. Флорина [12].

Модель линейно-деформируемого основания предполагает между φ(x) и W(x) зависимоcть в форме (4.4). Подставляя (4.4) в дифференциальное уравнение (4.15) получаем уравнение относительно φ(x) в виде:

. (4.20)

Kак уже отмечалось, функция F(x – ζ), называемая ядром уравнения (4.20), принимается по решению соответствующей задачи линейной теории упругости. В частности, для задачи плоской деформации (Фламан, 1892 г.)

F(x – ζ) =,

где E₀, ν₀ – модуль деформации и коэффициент Пуассона грунта основания.

Подставляя F(x – ζ) в (4.20), получаем для определения φ(x) уравнение

. (4.21)

В практических расчетах уравнение (4.21) решалось приближенно, при этом обеспечивалось выполнение условий равновесия и закрепления полосы (балки). Использовалось представление φ(ζ) в виде той или иной функции, например, в решениях М.И. Горбунова-Посадова принималось в виде ряда φ(ζ) = (высокая точность расчета обеспечивается при m ≥ 10).

На характер распределения реактивных давлений (контактных напряжений) φ(ζ) и как следствие, моментов и перерезывающих сил, существенное влияние оказывает соотношение между Е_п, Е₀ и размерами полосы l_п, h_п, входящих в (4.21). Указанное соотношение принято оценивать (М.И. Горбунов-Посадов) комплексной величиной – показателем гибкости (жесткости) К_ж, определяемым выражением

К_ж ≈10.

В качестве примера на рис. 4.8 приведено распределение контактных нормальных напряжений φ(ζ) от равномерно распределенной нагрузки q = 1 для балок с различным К_ж. Для нагрузки q ≠ 1 необходимо все ординаты умножить на q. Как видно из рисунка, с увеличением гибкости балки (увеличением К_ж.) эпюра напряжений σ = φ(ζ) выравнивается и приближается к q при К_ж → ∞, т.е. при К_ж = ∞ имеем случай нагрузки, непосредственно приложенной к основанию. При стремлении К_ж к 0 эпюра φ(ζ) приближается к эпюре для абсолютно жесткого штампа по формуле (4.10) при P₀ = qּ2a. Заметим, что в рамках модели коэффициента постели для жесткого штампа, как и для гибкого, нормальные напряжения по подошве распределены равномерно φ(ζ) = q.

Области применения моделей коэффициента постели и теории упругости для решения задач о контактных напряжениях можно оценить исходя из соответствия допущения моделей характеру деформирования натурных оснований.

Рис. 4.8. Влияние жесткости балки на распределение реакции

линейно деформируемого основания по подошве.

Основным допущением, определяющим область применения той или иной модели, является принятый характер деформирования основания. По модели коэффициента постели осадка возникает только на участке приложения нагрузки и ее величина зависит от величины нагрузки р и не зависит от площади загружения (рис. 4.9,а). По решению теории упругости осадку получают точки поверхности основания далеко за пределами нагрузки при наибольшей величине осадки в середине площади загружения. При этом величина осадки зависит не только от величины нагрузки р, но и от размеров площади (полосы) загружения (рис. 4.9,б).

В общем случае допущения той и другой моделей не соответствуют данным натурных наблюдений. Осадки поверхности оснований из достаточно плотных и особенно глинистых грунтов, обладающих связностью, распространяются в стороны от сооружения, но не столь интенсивно, как по теории упругости. В слабых грунтах распространение осадочной воронки является значительно меньшим. Кроме того, опыты показывают, что осадка реальных оснований пропорциональна величине площади загружения, как это постулирует теория упругости, лишь при размерах площадей до А_пр = 25-50 м² (для разных грунтов). Для площадей загружения А > А_пр осадки практически остаются постоянными при увеличении А [ 13 ].

Рис. 4.9. Характер осадки основания по модели

коэффициента постели (а) и теории упругости (б).

Модель коэффициента постели идеально соответствует основанию, представленному водой. Действительно, в случае, например, плавающего понтона давление воды на его днище пропорционально погружению-осадке W и составляет р_в = - γ_в ^. W. В соответствие с третьим законом Ньютона давление днища понтона на воду р = - р_в = γ_в ^. W = k ^. W (см. зависимость 4.1), т.е. для основания из воды коэффициент постели k = γ_в. За пределами понтона водная поверхность осадок не получает. Заметим, что все расчеты плавающих, т.е. «опирающихся» на воду судов, понтонов, ледяных полей выполняются по модели коэффициента постели с использованием либо дифференциального уравнения (4.16) для полос (балок), либо дифференциального уравнения для плит конечной жесткости. Такими расчетами были обоснованы, например, параметры «Дороги жизни», проложенной во время блокады Ленинграда по льду Ладожского озера.

Таким образом, модель коэффициента постели тем лучше соответствует действительности, чем ближе свойства грунта основания соответствуют свойствам воды, т.е. чем меньше сопротивление грунта сдвигу и, как следствие, больше области предельного напряженного состояния, развивающиеся в основании от краев сооружения. Следовательно, применение модели коэффициента постели является наиболее обоснованным в случае оснований, представленных грунтами с малыми значениями , с («слабыми» грунтами), а также в случаях сооружений с малой глубиной заложения, малой шириной подошвы и большой нагрузкой на основание, отвечающих развитию значительных пластических областей в основании (см. формулу 3.36).

Соответственно величину коэффициента постели следует назначать с учетом вида и состояния той среды, из которой состоит основание сооружения (фундамента). Для обычной воды k = 0,01 МПа/м, в случае суспензии (смесь грунта с водой, несвязный грунт в состоянии разжижения) – k = 0,02 МПа/м. Для слабых грунтов (плывун, глинистый грунт текучей консистенции) величина коэффициента постели составляет 1…5 МПа/м, для плотных нескальных грунтов (глина твердой консистенции, плотный песок и т.п.) величина k повышается до 100…200 МПа/м, для полускальных и скальных грунтов k = 200…15000 МПа/м [ 12 ]. При назначении величины k следует также учитывать условность этой характеристики основания, заключающейся в том, что она зависит как от площади передачи нагрузки, так и от ее интенсивности. Чем большей является площадь загружения, тем меньшей величины следует принимать коэффициент постели, аналогично – для интенсивности нагрузки на основание.

Область применения модели линейно-деформируемого основания (модели ЛДС или ЛТУ) – обратная условиям применимости модели коэффициента постели: прочные грунты, большие глубина заложения и размеры сооружения в плане, малые нагрузки на грунт и соответственно незначительное развитие пластических областей.

В настоящее время при решении задач для изгибаемых сооружений и фундаментов все шире используются упругопластические модели, более сложные, но и более универсальные по сравнению с рассмотренными двумя крайними предельными моделями. Упругопластические модели, как это показано выше для жестких сооружений, позволяют отразить перераспределение контактных напряжений вследствие развития пластических областей во всем диапазоне возможных нагрузок на основание.

В заключение отметим, что задача определения контактных напряжений в принципе не является отдельной, как это иногда принимается, а входит в состав общей задачи определения напряженно-деформированного состояния (НДС) системы надземная часть сооружения – фундамент (подземная часть) – основание. В случае общей задачи результаты ее решения непосредственно обеспечивают оценку прочности и деформируемости как основания, так и сооружения без необходимости специального выделения и использования контактных напряжений. При этом учет жесткости надземной части сооружения существенно влияет на распределение усилий в фундаменте по сравнению с вариантом учета жесткости лишь фундамента.

Определение НДС системы сооружение (здание) – основание стало возможным в связи с разработкой компьютерных программных комплексов, реализующих численные расчеты методом конечных элементов (МКЭ) в плоской и пространственной постановках. В настоящее время на рынке компьютерных технологий имеются программы МКЭ для решения геотехнических задач при описании грунтовых оснований различными расчетными моделями. В частности, программы «Мираж», «Лира», SCAD и др. позволяют вести расчеты фундаментных плит, балок и др. конструкций на Винклеровском основании. Современные расчетные комплексы Cosmos-M, Plaxis (Голландия), FEM-models и «Диск-Геомеханика» (Россия, СПб) и др. позволяют выполнять расчеты при описании поведения грунтов моделью ЛДС, упругопластической моделью Кулона-Мора, Cam-Clay, упругопластической моделью упрочняющегося грунта и др. (подробнее см. гл.8). С использованием программы «FEM-models» были выполнены расчеты для ряда крупных и уникальных объектов Санкт-Петербурга (Константиновский дворец в Стрельне, Меншиковский дворец в Ораниенбауме и др. – см. журнал «Реконструкция городов и геотехническое строительство» № 3, 2000, № 4, 2001 и др.), с использованием комплекса «Диск-Геомеханика» во ВНИИГ им. Б.Е.Веденеева исследовалось взаимодействие гравитационных нефтегазодобывающих платформ с грунтами шельфа северных морей, сооружений АЭС «Бушер» с основанием при статических и сейсмических воздействиях.