Программир. на 27.09 / LEC / pr312_3gau
.pptГл.3. Методы решения систем линейных алгебраических уравнений
3.1 Метод Гаусса (1/4)
Литература:
1. Н.С.Бахвалов, Н.П.Жидков, Г.М.Кобельков. Численные методы. (Гл.6, §1, изд. 1987)
Другие названия метода:
-метод последовательного исключения неизвестных,
-метод исключения Гаусса
В предположении отсутствия округлений метод ТОЧНЫЙ! Приводит к точному решению за конечное число операций. Для СЛАУ размером m x m (m уравнений и m неизвестных) потребуется m3 операций.
В реальности метод очень чувствителен к вычислительной погрешности!
3.1 Метод Гаусса (2/4)
Рассмотрим СЛАУ |
a11x1 |
a12x2 |
… |
a1mxm |
b1 |
aij xj = bi (1) |
a21x1 |
a22x2 |
… |
a2mxm |
= b2 |
|
|
|
|
|
|
i,j = 1..m |
… |
… |
… |
… |
… |
det A ≠ 0 |
|||||
|
am1x1 |
am2x2 |
… |
ammxm |
bm |
Если а11 отличен от 0, то делим на него первое уравнение системы: |
|||||
x1 + a11j xj = b11 |
, j = 2..m , a11j = a1j / a11, b11=b1 / a11 |
(2) |
|||
Вычитаем его из остальных уравнений, предварительно умножив на соответствующий коэффициент ai1 . Получаем систему
a1ij xj = b1i, i,j = 2..m (3)
3.1Метод Гаусса (3/4)
Врезультате исключили первое неизвестное из всех уравнений кроме первого. Далее, повторяем эту процедуру для второго и последующих неизвестных и получаем систему уравнений с треугольной матрицей
коэффициентов |
1 |
a112 |
… |
a11m |
b11 |
|
|
||||||
xi + aiij xj = bii (4) |
0 |
1 |
… |
a22m |
∙X = b22 |
|
|
|
|
|
|
||
i = 1..m |
… |
… |
… |
… |
… |
|
j = (i+1)..m |
||||||
|
|
|
|
|
||
|
0 |
0 |
… |
1 |
bmm |
|
Процедура получения треугольной матрицы называется |
|
|||||
прямым ходом метода Гаусса |
|
|
|
|||
3.1 Метод Гаусса (4/4)
Из последнего уравнения в системе (4) находим xm. Подставляем его в предыдущее уравнение и определяем xm-1. Продолжая процедуру, последним определяем x1.
Такая последовательность вычисления xi называется
обратным ходом метода Гаусса.
Не забываем о:
1.Проверке на det A ≠ 0
2.Перестановке порядка уравнений, если первый коэффициент равен 0.
Справка:
Вычисление определителя Матрица 2 х 2
det A = a11a22-a12a21
Матрица m x m , m > 2
det A = Σmk=1{(-1)k+1 a1k det Mk}
Mk получается из A вычёркиванием строки 1 и столбца k.