Размер выборки при определении долей

Абсолютная точность. Пусть среди всех рыболовов-горожан определяется доля тех, кто хотя бы раз в год ездят на рыбалку с ночевкой, с заданной точностью ∆ и достоверностью . Например, если ∆=0,1, то искомая доля может равняться 0,25±0,1 с достоверностью .

Если измерения независимы (а это бывает, когда выборка мала по сравнению с совокупностью), то распределение искомой величины является биноминальным. Оно стремится к нормальному, когда в выборке много (более 30) элементов или когда пропорция стремится к0,5. Расчеты для нормального распределения значительно проще. Они имеют следующий вид.

Если истинная доля равна , а измеренная –p, то среднеквадратическое отклонение дляpравно

Так как точность ∆=z_p, то

Проблема здесь заключается в том, что – величина, которую требуется найти, то есть оно неизвестно. Существует два выхода из этой ситуации.

1. Производится приближенная предварительная оценка необходимого объема выборки на основе, известного из прошлого опыта, опубликованных данных, авторитетных суждений.

2. Пользуются принципом «худший из миров» – принимаютравным априорно0,5. Если истинное значение и будет иным, то точность от этого только увеличится. Если=0,5, то

Относительная точность.Доля ищется с точностьюr%. Для этого случая

, , .

После сбора информации для вычисления фактического размера доверительного интервала можно уточнить оценку для _p. Доверительный интервал будет равенpzS_p, где

Учет конечности размера совокупности

В вышеприведенных формулах размер совокупности считался большим и не учитывался. Если же процент выборки велик, то нарушается предположение о независимости выборки, так как по мере отбора элементов их остается все меньше.

В этом случае для среднеквадратического отклонения среднего следует пользоваться точной формулой:

Конечность совокупности начинает проявляться, когда процент элементов генеральной совокупности, попавших в выборку, превышает 5. Например, если имеется 100 элементов совокупности, и по расчетам по упрощенной формуле в допущении большой выборки получается n=20, то учет конечности выборки дает уточненный размер выборки n'

Другие случаи

Для стратифицированных выборок требуется учитывать дисперсию как внутри страт, так и между стратами. Формулы значительно усложняются. Но общая тенденция сохраняется: с увеличением дисперсии возрастает и размер выборки, необходимый для получения заданной точности и заданной достоверности оценки.

Обычно, помимо математических, имеются еще и реальные ограничения, обусловленные соотношением средств, отведенных на исследование, и цены одного измерения. Бывают случаи, когда просто задается такой размер выборки, который может убедить скептиков.

При многоцелевых исследованиях (денежных расходов рыболовов, пройденного ими расстояния, затраченного времени), требуется разное количество измерений для получения нужной точности различных характеристик.

В этом случае можно либо взять максимальный из расчетных размеров выборки для каждой характеристики, либо учитывать только наиболее важные характеристики, довольствуясь пониженной точностью для характеристик второстепенных.