Оценка доверительного интервала простой случайной выборки

Итак, согласно центральной предельной теореме, выборочные средние распределены нормально. Поэтому можно оценить долю выборочных средних, которые находятся в пределах

то есть вероятность того, что выборочное среднее не будет отличаться от более чем на. Величину называют предельной ошибкой выборочной средней,z– нормированным отклонением, так какzизмеряет диапазон отклонений от среднего значения в «сигмах».zисследователь задает исходя из своих целей. выражает среднюю ошибку выборочного среднего (формула была приведена выше)

Эта вероятность определяется по таблице значений интегральной функции нормального распределения [28]

По выбранному значению z, из таблицы находят соответствующую этому значению вероятность. Можно также, найдя в таблице заданную вероятность, определить соответствующее значениеz.

В частности, 68,26%выборочных средних будут находиться в пределах, для этого случаяz=1.Значениюz=2соответствует95,45%выборочных средних, значениюz=3соответствует99,73%¹¹⁴.

По этим же таблицам, задавшись, например, значением вероятности 95%, можно найти, что этому значению соответствуетz=1,96.

Теперь можно показать цель всех этих преобразований. В результате проделанных действий оказалось возможным построить зависимость между шириной диапазона отклонений выборочных средних от среднего значения генеральной совокупности и долей выборочных средних, которые находятся в этом диапазоне. Так как ширина диапазона измеряется в , результат будет зависеть от, то есть от разброса значений в генеральной совокупности.

Как правило, на практике берется только одна выборка из всех возможных, и по ней оценивается неизвестное a prioriсреднее генеральной совокупности. Предыдущее неравенство можно преобразовать к виду:

Таким образом, можно определить, какова вероятность того, что отличие среднего генеральной совокупности от измеренного по выборке значения не превышает заданной величины (измеренной в ) или какова величина этого отличия для заданного уровня вероятности.

Последнее неравенство задает доверительный интервал для заданной вероятности правильного результата или достоверности результата.

Результат исследования звучит, например, так. Среднее генеральной совокупности находится в пределах от 25до35с достоверностью95%. Для того же самого исследования можно сказать, что среднее генеральной совокупности находится в пределах от23до47с достоверностью99%.Чем точнее результат, тем меньше уверенности в том, что он правильный, и наоборот.

Если требуется 99%уверенность в том, что среднее генеральной совокупности находится в пределах от25до35, нужно увеличить размер выборки.

Следует отметить, что интервал, который строится с помощью второго уравнения, может и не включать истинного среднего значения для совокупности, если выборка оказалась неудачной. Поэтому достоверность результата в реальных случаях всегда меньше 100%.Для достоверности100%доверительный интервал будет слишком велик, и не будет представлять практической ценности.

Итак, местонахождение истинного значения среднего для совокупности остается неизвестным, но с заданной вероятностью лежит в определенном интервале. Для управления шириной этого интервала исследователь может задать удовлетворяющий его процент уверенности и количество элементов выборки n.

Для определения доверительного интервала по вышеприведенным формулам необходимо знать среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности . то есть то, насколько велик разброс значений измеряемой характеристики для генеральной совокупности. В маркетинговых исследованиях эта величина обычно меняется медленнее, чем среднее значение, поэтому можно воспользоваться результатами предыдущих исследований. Другой способ – вычислить оценку дляпо значениям, полученным для выборки. Дисперсия значений в выборке равна

Существует оценка

При больших nможно считать, что.

Выбор элементов из генеральной совокупности при простой случайной выборке следует проводить, пронумеровав все объекты и используя либо таблицу случайных чисел, либо хорошо проверенный датчик случайных чисел¹¹⁵.