Вероятностные выборки

Главное достоинство таких выборок состоит в том, что можно оценить погрешность выборки.

Простая случайная выборка

Здесь у всех имеется равный шанс быть опрошенным.

Пусть генеральная совокупность состоит из N=5 человек и требуется определить их средний доход с помощью выборки. Если доходы каждого человекаX_iравны10, 20, 30, 40, 50 условных единиц в месяц, то на графике они имеют вид рис.Рис. 12, а, что соответствует равномерному распределению доходов. Средний доход равен30.

Рис. 12 . Доходы респондентов и выборочные средние

Генеральная совокупность оценивается средним значением и дисперсией ¹¹³:

Дисперсия обозначена как , где– среднеквадратическое отклонение генеральной совокупности.

Эти характеристики обычно и требуется определить в процессе исследования.

Статистики – характеристики, измеренные по выборке.

Измеренное по выборке среднее (выборочное среднее) будет обозначаться как .

Пусть размер выборки nравен2. Если рассмотреть множество всех возможных выборок размера2, то выборочные средние для них равны:15(один случай),20(один случай),25(два случая)30(два случая),35(два случая),40(один случай),45(один случай). Эти данные представлены в виде гистограммы на рис.Рис. 12, б. Среднее всех выборочных средних равно30, то есть совпадает со средним для генеральной совокупности. Таким образом, оценка среднего значения для генеральной совокупности по выборочному среднему является несмещенной.

Гистограмма на рис.Рис. 12, б имеет вид холма: по краям высота равна 1, в середине –2. Видно также, что она симметрична относительно истинного значения среднего (равного30).

Если использовать выборку размера 3, то гистограмма рис.Рис. 12, б будет более узкой. Для иллюстрации данного утверждения достаточно рассмотреть минимальное выборочное среднее. В случае выборки размера2оно равно(10+20)/2=15,а в случае выборки размера3–(10+20+30)/3=20.

Итак, в общем случае:

1)среднее выборочных средних равно среднему генеральной совокупности;

2) приn>30и выборке без повторов дисперсия выборочных средних из конечной генеральной совокупности, обозначаемая как, равна

.

Она стремится к при большихN;

3) Гистограмма распределения выборочных средних имеет вид холма.

В более формализованном виде это звучит следующим образом.

Центральная предельная теорема.В простой случайной выборкеразмера n из генеральной совокупности со средним и дисперсиейпри большихnвыборочное среднеебудет нормально распределено со средними дисперсией.

Это значит, что, независимо от распределения генеральной совокупности, распределение выборочного среднего будет становиться все ближе к нормальности и все ýже с ростом n.

Даже при несимметричном распределении в генеральной совокупности выборочное среднее становится нормально распределенным при достаточно больших n, обычно приn > 30.

Пусть, например, определяется средний доход жителей города. Распределение генеральной совокупности имеет вид кривой 1 на рис.Рис. 13. Видно, что людей с большими доходами немного. Выборочные средние для этого случая при n=30распределены в соответствии с кривой 2 на том же рисунке (масштаб условен). Видно, что в большинстве случаев выборочное среднее будет иметь значение, близкое к среднему для генеральной совокупности.

Рис. 13. Распределение доходов в генеральной совокупности и выборочных средних