Березкин Основы теории информации и кодирования Лабораторный практикум 2009

обеспечивается наилучшее по среднеквадратической погрешности приближение к исходной функции.

ПОДГОТОВКА К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

1.Изучить теоретический материал.

2.Вычислить спектральные характеристики последовательности униполярных треугольных импульсов (рис. 1.4)

x(t)

h

t

Рис. 1.4. Периодическая последовательность униполярных треугольных импульсов

3. Вычислить спектральные характеристики периодического колебания пилообразной формы (рис. 1.5)

x(t) = 2Th t − i2h,− T2 + iT ≤ t < T2 + iT , i = 0,±1,±2, ... .

x(t)

h

t

Рис. 1.5. Периодическое колебание пилообразной формы

11

4. Подготовить таблицы для обоих спектров, произвольно выбрав параметры h и T, в следующем виде

Ak

Θk

5. Изучить свойства преобразования Фурье применительно к периодическим сигналам.

6. Отразить подготовку в лабораторном отчете.

ПОРЯДОК ВЫПОЛНЕНИЯ РАБОТЫ

1.Используя обучающие и графические средства диалоговой программы, изучить принципы разложения периодического сигнала в ряд Фурье.

2.Ввести спектральные характеристики сигнала с постоянным

уровнем x(t)=a. Убедиться в правильности его формирования.

3.Ввести спектральные характеристики гармонического сигнала x(t) = A cos(kω0t + Θk ) . Убедиться в правильности его форми-

рования.

4.Ввести спектральные характеристики последовательности униполярных треугольных импульсов. Убедиться в правильности их формирования.

5.Ввести спектральные характеристики периодического колебания пилообразной формы. Убедиться в правильности его формирования.

6.Ввести спектральные характеристики, позволяющие воспроизвести на экране периодическую последовательность прямоугольных импульсов с заданными преподавателем параметрами.

7.Задать произвольные спектральные характеристики и получить периодический сигнал, которому они соответствуют.

8.Результаты отразить в лабораторном отчете.

12

КОНТРОЛЬНЫЕ ВОПРОСЫ

1.Какие способы представления моделей сигналов известны?

2.В чем заключаются преимущества частотного метода представления сигналов?

3.При каких условиях периодическая функция может быть представлена рядом Фурье?

4.Что понимается под спектром амплитуд и спектром фаз?

5.Каковы характерные особенности спектра периодического сигнала?

6.Как в спектре амплитуд отображается постоянная составляющая периодического сигнала?

8.Каков спектр гармонического сигнала?

9.Как можно энергетически истолковать спектр периодического сигнала?

10.Что понимается под практической шириной спектра периодического сигнала?

11.В чем состоит критерий выбора практической шириной спектра периодического сигнала?

12.Как выглядит спектр периодической последовательности прямоугольных импульсов?

13.Какой физический смысл имеет огибающая спектра амплитуд периодического сигнала?

Лабораторная работа 2

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ ДЕТЕРМИНИРОВАННЫХ НЕПЕРИОДИЧЕСКИХ СИГНАЛОВ

Цель: изучить и исследовать спектральные характеристики детерминированных непериодических сигналов.

ТЕОРЕТИЧЕСКАЯ ЧАСТЬ

Гармонический анализ периодических колебаний можно распространить на непериодические колебания. Пусть такое колеба-

13

ние x(t) задано в виде некоторой функции, отличной от нуля в промежутке (t1 , t2 ) (рис. 2.1). Выделив произвольный отрезок времени T, включающий в себя промежуток (t1 , t2 ) , можно представить заданное колебание в виде ряда Фурье

x(t)

Рис. 2.1. Одиночный непериодический сигнал

Вне отрезка (0, T) ряд (2.1) определяет функцию x(t) = x(t ± kT) ,

где k – целое число, т.е. периодическую функцию, полученную повторением x(t) вправо и влево с периодом T. Для того чтобы

вне отрезка (0, T) функция равнялась нулю, величина T должна быть бесконечно большой. Но чем больше отрезок T , тем меньше коэффициенты Ck . Устремляя T к бесконечности, в пределе полу-

чаем бесконечно малые амплитуды гармонических составляющих, сумма которых изображает исходную непериодическую функцию x(t) , заданную в интервале t1 < t < t2 . Число гармонических со-

ставляющих, входящих в ряд Фурье, будет при этом бесконечно большим, так как при T → ∞ основная частота ω0 →0 .

14

Иными словами, расстояние между спектральными линиями, равное основной частоте ω0 , становится бесконечно малым, а спектр сплошным.

В общем случае, когда пределы t1 и t2 в (2.2) не уточнены, непериодический сигнал x(t) можно представить в виде

вательно, по аналогии можно написать

S ( jω) = ∞∫x(t) cos(ωt)dt − j ∞∫x(t) sin(ωt)dt =

−∞ −∞

= A(ω) − jB(ω) = S (ω)e jΘ(ω) .

Модуль и аргумент спектральной плотности определяется выражениями:

Выражение (2.5а) можно рассматривать как амплитудно-

частотную характеристику (АЧХ), (2.5б) — как фазочастотную характеристику (ФЧХ) сплошного спектра непериодического ко-

15

Интегральное преобразование (2.3) можно привести к тригонометрической форме

Из сопоставления выражений (1.3) и (2.6) видно, что величина

π1 S(ω)dω = 2S(ω)df

имеет смысл модуля амплитуды Ak (бесконечно малой) гармони-

ческой составляющей частоты ω = 2 πf . Следовательно, смысл термина "спектральная плотность" можно трактовать следующим образом: 2S(ω) есть амплитуда колебания, приходящаяся на 1 Гц в бесконечно узкой полосе частот, включающей в себя рассматриваемую частоту ω = 2 πf .

С энергетической точки зрения практическая ширина спектра непериодического сигнала определяется как область частот, в пределах которой сосредоточена подавляющая часть всей энергии сигнала. Выражение

получившее название равенства Парсеваля, показывает, что энергия сигнала может быть представлена в виде суммы бесконечно

малым участкам частотного спектра. Относительная величина энергии одиночного сигнала, сосредоточенная в полосе частот от 0

до ω1 :

λ(ω1 ) = Э(Эω1 ) ,

называется интегральной кривой распределения энергии сигнала в спектре частот.

Ряд Котельникова

16

представляет собой разложение сигнала с ограниченным спектром (S ( jω) = 0, ω > ωc ) координатными детерминированными

функциями времени с весовыми коэффициентами x(k t) , являющимися величинами, равными мгновенным значениям сигнала в точках k t . Другими словами, выражение (2.7) показывает, что реализация x (t ) полностью определяется совокупностью отсче-

тов, взятых в моменты времени k t и отстоящих друг от друга на

реакцию фильтра нижних частот с ограниченной частотой ωc на

дельта-импульс. Следовательно, если в приемном устройстве поместить такой фильтр и пропустить через него дискретизированный сигнал, представляющий собой последовательность с частотой t кратковременных импульсов, амплитуды которых пропорциональны отсчетам исходной непрерывной функции, то, суммируя выходные сигналы фильтра, можно воспроизвести с достаточно высокой степенью точности исходный непрерывный сигнал.

На практике реализовать это достаточно трудно, так как мы имеем дело с процессами, имеющими начало и конец, т. е. с функциями ограниченной длительности T . Ограниченные во времени функции не могут иметь ограниченный спектр (т. е. спектральную плотность, равную нулю вне конечного интервала) – эти условия противоречивы. Однако можно построить рассуждение на более общей основе, определив ширину спектра как интервал частот, вне которого спектральная плотность меньше некоторой заданной величины.

Пример. Найти спектральную плотность одиночного импульса высокочастотных колебаний (рис. 2.2)

17

x(t)

h

t

τ/2

Рис. 2.2. Одиночный импульс высокочастотных колебаний

Спектральные характеристики такого сигнала достаточно просто можно найти с использованием известного свойства преобразования Фурье – сдвиг спектра колебания по частоте, когда прямое преобразование Фурье применяется к произведению

x(t) = x1 (t)cos ω0t , где x1 (t) рассматривается как одиночный

прямоугольный импульс амплитуды h и длительности τ.

Тем не менее, в целях иллюстрации применения прямого преобразования Фурье, выполним вычисления непосредственным образом:

18

Сравнив полученное выражение с выражением

2 2

для спектра одиночного прямоугольного импульса такой же длительности и величины h, но без высокочастотного заполнения, видим, что по отношению к спектру прямоугольного импульса спектр импульса высокочастотных колебаний смещен на величину несущей ω0 и расширен в два раза за счет появления зеркального ото-

бражения спектра (рис. 2.3).

Другими словами, расщепление спектра S1( jω) на две части, смещенные соответственно на +ω0 и −ω0 , эквивалентно умноже-

нию функции x1 (t) на гармоническое колебание cosω0t . То есть

ω0 −2π/ τ

Рис. 2.3. Комплексная форма спектральной плотности одиночного импульса высокочастотных колебаний

19

Графики модуля спектральной плотности импульса высокочастотных колебаний

приведены на рис. 2.4.

hτ

S(ω)

Рис. 2.4. АЧХ и ФЧХ одиночного импульса высокочастотных колебаний

ПОДГОТОВКА К ВЫПОЛНЕНИЮ РАБОТЫ

1.Изучить теоретический материал.

2.Вывести формулы модуля S(ω) и аргумента Θ(ω) спек-

тральной плотности одиночного экспоненциального импульса, представленного на рис. 2.5,

20