Добавил:

fench Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Санкт-Петербургский государственный университет

Предмет:

Математический анализ

Файл:

Матанализ (2 сем) - Фаддеев (печатный)

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

16.08.2013

Размер:

654.18 Кб

Скачать

☆

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

, 2 .

I. .

§1.	.
				. . 552 2 .)
.	f(x) [a,b]				b>a.
			b
f (x)dx b f (x)dx :
a			a
			b
		f (x)dx blim f (x)dx
		a	a

, f (x)dx					,
			a

, .

1 dx;

1 x p

p 0

, p 1

p 1

dx lim

lim

1 x p

b 1 x p

b 1

p x p 1

1 b 1

p b p 1

, p 1

p 1

dx lim b

dx lim ln(b)

1 x p

b 1 x p

1. f [a,b] b a c a f (x)dx f (x)dx

f (x)dx blim f (x)dx blim f (x)dx f (x)dx f (x)dx blim f (x)dx

f (x)dx g(x)dx, o

f (x) g(x) dx, ,

f (x) g(x) dx blim f (x) g(x) dx blim

f (x)dx g(x)dx

. f (x)dx

, g(x)dx - , f (x) g(x) dx - .

3. (

		b2
f (x)	, 0 c 0 b1 , b2 c	f (x)dx
a		b1

, 2 .

F(b) f (x)dx

f (x)dx

F (b) A F (b)

: 0 c 0 :

b1 , b2

F (b2 ) F (b1 )

F (b2 ) f (x)dx; F (b1 ) f (x)dx

« ».

, « »

f (x) , > a

f (x) 1.) , clim f (x) 0 .

f (x)

f (x)dx

f (x)dx,

(x)dx

, .

f(x)

[a,b]

b>a

f(x) 0 x>a.

f (x)dx , M 0 b a f (x)dx M .

F(b) [a, ), F(b1) F(b2), b1 > b2,

F(b) b +			, F , .
M > 0, F(b) M b > a.
	b
F (b) f (x)dx
	a
	b2
b1 b2 , F (b1 ) F (b2 ) f (x)dx 0
	b1
6. .
	f(x) g(x)	[a,+ ) [a,b] b>a.
x>a f(x) g(x).

1.	g(x)dx ,	f (x)dx .
	a	a

2.	f (x)dx ,		g(x)dx .
	a		a

, 2 .

b b b

1) g(x)dx , M 0 b a g(x)dx M , f (x)dx g(x)dx M . . f(x)

0, 5.

f (x)dx .

2) f (x)dx , g(x)dx , 1.

f (x)dx ,

f(x) g(x)

[a,+ ) [a,b] b>a.

lim

f (x)

C 0 .

x g(x)

g(x)dx ,

f (x)dx .

f (x)dx ,

g(x)dx .

1) . lim

f (x)

C , . 0 x0

x x0

f (x)

C .

x g(x)

g(x)

.2.

a x c

f (x) 2Cg(x) , .

= ). .

g(x)dx

2 g(x)dx ,

f (x)dx

( . 6.). . 1. ,

g(x)dx g(x)dx

f(x).

f(x) g(x)

[a,+ ) [a,b] b>a.

>a C 0, x c f(x) C g(x). g(x)dx , f (x)dx .

f(x)

[a,+ ),

[a,b] b>a.

p>1, c>a, C 0,

f (x)

x c.

f (x)dx .

p 1, c>a, C>0,

f (x)

x c.

f (x)dx .

a>0

p>1,

p 1.

	C
1) g(x)		,	p 1, g(x)dx , f (x) g(x).	6 .: f (x)dx .
	p
	x		a	a

, 2 .

2) g(x)

p 1, 0,

g(x)dx , f (x) g(x)

f (x)dx .

f (x)dx

f (x)

dx .

f (x)dx

f (x)

dx .

, .

f (x)dx , .

f (x)

dx .

f (x)

0 C

b1 , b2 C

f (x)dx ,

f (x)

dx 0,

b1>b2. f (x)dx

f (x)

: f (x)dx

, .

8. – I.

f(x) g(x) -

[a,+ ).

f(x) [a,+ )

f (x) 0 ;

g(x) , . ,

g(x)dx

M ;

f (x) g(x)dx .

: f(x) g(x) –

, f(x) – ;

f (x) g(x)dx f ( ) g(x)dx f ( ) g(x)dx, [ , ].

f (x) g(x)dx ,

, G(x) g(x)dx , :

f (x) g(x)dx f (b1 ) g(x)dx f (b2 ) g(x)dx, f (b1 ) G( ) G(b1 ) f (b2 ) G(b2 ) G( )

b 2

f (x) g(x)dx

f (b1 )

f (b2

b 1

0 C b C

f (b)

, 2 .

f (x) g(x)dx

, b1, b2 > C,

, , 8.

f (x) g(x)dx

sin( x)

>0, >0

g(x) sin( x),

G(x) cos(x) sin(t)dt,

M 1,

cos(x)

1 ;

f (x)

, f (x) 0 ;

x p

sin( x)

p>1, .

sin( x)

( .

– II.

f (x) g(x)dx .

f(x) g(x) -

[a,+ ). f(x) –

g(x)dx . f (x) g(x)dx .

: b1 , b2

c (b1 , b2 ) f (x) g(x)dx

f (b1 ) g(x)dx

f (b2 ) g(x)dx .

1) >0 b [0,+ ) f(b) C;

>0 b b1, b2 >b

g(x)dx

- .

f (x) g(x)dx

2C .

. 2 .
	§2 .
.			f(x)				.
	a
f (x)dx f (x)dx f (x)dx .
		a
					a	b
				f (x)dx clim f (x)dx blim f (x)dx
					c	a

.			f (x)dx			,

blim f (x)dx V . p. f (x)dx .

dx .

1 x 2

dx .

1 x 2

d (1 x 2 )

1 x 2

1 x

1 x 2

1 b 2

dx .

1 x 2

dx .

1 x 2

f (x)dx 0, f ( x) f (x), V . p.

dx 0

1 x 2

. 2 .

§3. .

f(x) [a+ , b] >0.

f (x)dx lim f (x)dx .

f [a,b] b a c a f (x)dx f (x)dx

f (x)dx f (x)dx f (x)dx, c b.

f (x)dx g(x)dx ,

f (x) g(x) dx ;

3. .

: F(x) a >0

>0 x1, x2: |x1-a|< , |x2-a| < |F(x1)-F(x2)| < .

f (x)dx

0 0 x1 , x2

a x1 x2 a

f (x)dx

f (x)dx ,

lim

f (x)dx 0

c a 0

def

f (x)dx lim f (x)dx;

0 0 x1 , x2

a x1 x2 a

f (x)dx

def

f (x)dx;

f (x)dx

lim

x a 0

f (x)dx

f(x) (a,b] b>a f(x) 0

x (a,b]. f (x)dx

, 0 a b f (x)dx .

6. .

f(x) g(x)

(a,b])

(a,b] b>a.

x 0 f(x) g(x).

g(x)dx ,

f (x)dx .

. 2 .
				b					b
	2.	f (x)dx , g(x)dx .
				a					a

7.									, .
b		def c			b			x c
	f (x)dx			f (x)dx		f (x)dx,		x c
	f (x)dx			f (x)dx		f (x)dx,		f (x) 0
a			a		c
	b			c			b		x a
V				0	f	(x)dx		f (x)dx ,	x a
V	. p.	f (x)dx lim			f	(x)dx		f (x)dx ,	f (x) 0
	a			a			c
			b
f (x)dx f (x)dx f (x)dx
a			a		b

, 2 .

				II.			.
		§1.				,				.
								. . 27 2 .)

.									Sn ,
				1
n			def
Sn	, .	ak	lim Sn .				,
1		k 1		n
1		k 1

				,						.
1
.
.

1.
1.					, .
	.

b .

1 1

N k N ak bk

ak ak ak Sn (a) , n N

k 1

k N 1

bk bk bk Sn (b)

k 1

k N 1

Sn (a) Sn (b)

k 1

Sn (a) Sn (b) .

def

lim Sn .

k m

n m, Sn am am 1 an

m 1

ak ak ak ,

k 1

k m

lim S

a a

k 1

lim

a a

Sn ak Sn

k 1

, 2 .

bk ,

. ,

bk ak bk .

k 1

Sn (a) a1 a2 an

Sn (b) b1 b2 bn

Sn (c) c1 c2 cn a1 a2 an b1 b2 bn Sn (a) Sn (b)

, 0 N

0 m, n N

k n

def

Sn a1 a2

0 N 0 m , n N

S m S n

Sm Sn a1 a2 am a1 a2 an an 1 an 2 am ak

k n 1

Sm Sn

ak .

kn 1

4..

.				,

		. .			, ak			0.
				1				k
	.			1
	.
										n
										n
							0		N 0 n N	ak	,
1										k n
										an
, an			0.
.			n
.					1

						, , .
						, , .
				1	k

ln(1 x) x, x 0 f (x) ln(1 x)

	1
x
ln(1 x)	0	5	10
		x	2
			2

1 / 41 2 3 4 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете Математический анализ

#
16.08.2013300 Кб33[ Благовещенский, Пламеневский ] Математический анализ. Задачи для самостоятельной работы студентов 1 курса.pdf
#
16.08.2013311.94 Кб107[ Гельфрейх ] Математический анализ. Задачи для коллоквиума и экзамена на 1 курсе (ПМФ).pdf
#
16.08.20134.84 Mб24Матанализ (1 сем) - Пламеневский.djvu
#
16.08.2013654.18 Кб16Матанализ (2 сем) - Фаддеев (печатный).pdf