матан коллоквиум / 7.Понятие сложной обратной функции

1. Понятие о сложной функции Пусть даны две функции  z = f(y)  и  у = g(x). Сложной функцией (или композицией функций  f  и  g)

называется функция z = h(x), значения которой вычисляются по правилу  h(x) = f(g(x))  

(т. е. сначала вычисляется g(x), при этом получается некоторое число у, а затем вычисляется

значение в точке у).

Пример. Функцию    можно рассматривать как композицию функций    и  .

Для записи композиции функций употребляется значок . Например, запись   означает,

что функция  h  получена как композиция функций  f  и  g  (сначала применяется  g, а затем  f),

т. е. . Операция образования сложной функции (или композиция функций) не обладает переместительным

свойством: . Чтобы можно было вычислить сложную функцию  h = f(g(x)), надо, чтобы число  g(x), т. е.

значение функции  g, попадало в область определения функции  f .

Пример.  Вычисляя значения функции , необходимо брать только те числа  х,

для которых , т. е. те, для которых число попадает в область определения функции 

.

2. Взаимно обратные функции Пусть дана функция  у = f(x). Она имеет обратную, если из зависимости  у = f(x)  можно переменную  х  

однозначно выразить через переменную  у. Выразив  х  через  у, мы получим равенство вида  х = g(y).

В этой записи  g обозначает функцию, обратную к  f. Если функция  g  является обратной для функции  f, то и функция является обратной для функции  g. Пару функций  f  и  g  называют взаимно обратными функциями.

3. График обратной функции Если мы одновременно построим графики функций  f  и  g  в одной и той же системе координат,

4. откладывая по оси абсцисс аргументы обеих функций, а по оси ординат – их значения,

5. то эти графики будут симметричны друг другу относительно прямой  у = х.

4. Свойства взаимно обратных функций Отметим некоторые свойства взаимно обратных функций. 1) Тождества. Пусть  f  и  g – взаимно обратные функции. Тогда :  f(g(y)) = у  и  g(f(x)) = х. 2) Область определения. Пусть  f  и  g  – взаимно обратные функции. Область определения функции  f 

 совпадает с областью значений функции  g, и наоборот, область значений функции  f  совпадает с

областью определения функции  g. 3) Монотонность. Если одна из взаимно обратных функций возрастает, то и другая возрастает.

Аналогичное утверждение верно и для убывающих функций. 4) Графики. Графики взаимно обратных функций, построенные в одной и той же системе координат,

симметричны друг другу относительно прямой  у = х.