матан коллоквиум / 9.Производная параметрической неявной функции,правило Лапиталя

Производная функции, заданной неявно. Производная параметрически заданной функции

В данной статье мы рассмотрим еще два типовых задания, которые часто встречаются в контрольных работах по высшей математике. Для того чтобы успешно освоить материал, необходимо уметь находить производные хотя бы на среднем уровне. Научиться находить производные практически с нуля можно на двух базовых уроках Как найти производную? Примеры решений и Производная сложной функции. Если с навыками дифференцирования всё в порядке, тогда поехали.

Производная функции, заданной неявно

Или короче – производная неявной функции. Что такое неявная функция? Поскольку мои уроки носят практическую направленность, я стараюсь избегать определений, формулировок теорем, но здесь это будет уместно сделать. А что такое вообще функция?

Функция одной переменной  – это правило, по которому каждому значению независимой переменной  соответствует одно и только одно значение функции .

Переменная  называется независимой переменной или аргументом. Переменная  называется зависимой переменной или функцией.

Грубо говоря, буковка «игрек» в данном случае – и есть функция.

До сих пор мы рассматривали функции, заданные в явном виде. Что это значит? Устроим разбор полётов на конкретных примерах.

Рассмотрим функцию 

Мы видим, что слева у нас одинокий «игрек» (функция), а справа – только «иксы». То есть, функция  в явном виде выражена через независимую переменную .

Рассмотрим другую функцию:  

Здесь переменные  и  расположены «вперемешку». Причем никакими способами невозможно выразить «игрек» только через «икс». Что это за способы? Перенос слагаемых из части в часть со сменой знака, вынесение за скобки, перекидывание множителей по правилу пропорции и др. Перепишите равенство  и попробуйте выразить «игрек» в явном виде: . Можно крутить-вертеть уравнение часами, но у вас этого не получится.

Разрешите познакомить:  – пример неявной функции.

Правило Бернулли-Лопита́ля — метод нахождения пределов функций, раскрывающий неопределённости вида  и . Обосновывающая метод теорема утверждает, что при некоторых условиях предел отношения функций равен пределу отношения ихпроизводных.

Точная формулировка

Условия:

1.  либо ;

2.  и  дифференцируемы в проколотой окрестности ;

3.  в проколотой окрестности ;

4. существует ,

тогда существует .

Пределы также могут быть односторонними.

Доказательство

[править]Отношение бесконечно малых

Докажем теорему для случая, когда пределы функций равны нулю (то есть неопределённость вида ).

Поскольку мы рассматриваем функции  и  только в правой проколотой полуокрестности точки , мы можем непрерывным образом их доопределить в этой точке: пусть . Возьмём некоторый  из рассматриваемой полуокрестности и применим к отрезку  теорему Коши. По этой теореме получим:

,

но , поэтому .

Дальше, записав определение предела отношения производных и обозначив последний через , из полученного равенства выводим:

 для конечного предела и

 для бесконечного,

что является определением предела отношения функций.

[править]Отношение бесконечно больших

Докажем теорему для неопределённостей вида .

Пусть, для начала, предел отношения производных конечен и равен . Тогда, при стремлении  к  справа, это отношение можно записать как , где  — O(1). Запишем это условие:

.

Зафиксируем  из отрезка  и применим теорему Коши ко всем  из отрезка :

, что можно привести к следующему виду:

.

Для , достаточно близких к , выражение имеет смысл; предел первого множителя правой части равен единице (так как  и  — константы, а  и  стремятся к бесконечности). Значит, этот множитель равен , где  — бесконечно малая функция при стремлении  к  справа. Выпишем определение этого факта, используя то же значение , что и в определении для :

.

Получили, что отношение функций представимо в виде , и . По любому данному  можно найти такое , чтобы модуль разности отношения функций и  был меньше , значит, предел отношения функций действительно равен .

Если же предел  бесконечен (допустим, он равен плюс бесконечности), то

.

В определении  будем брать ; первый множитель правой части будет больше 1/2 при , достаточно близких к , а тогда .

Для других баз доказательства аналогичны приведённым.