5. Логический (Аристотелев) квадрат.

(силлогизмы 1-го ранга с одной посылкой)

Вид квадрата предложил византийский логик Михаил Псёл.

Логический квадрат содержит все комбинации силлогизмов 1– го ранга.

R├ P, когда R и P принимает вид

различных базовых утверждений

A, E, I, O или их отрицаний.

Семантика элементов логического квадрата определяется следующими таблицами

Жерданова таблица Жерданова таблица

базовых утверждений элементов логического квадрата

	а	б	в	г	семантика
A O	л и	л и	и л	и л	противоречие
I E	и л	л и	и л	и л	противоречие
A E	л л	л и	и л	и л	противность
I O	и и	л и	и л	и л	частичная совместимость
A I	л и	л л	и и	и и	подчиненность
E O	л и	и и	л л	л л	подчиненность

	а	б	в	г
A	л	л	и	и
E	л	и	л	л
I	и	л	и	и
O	и	и	л	л

Семантика логического квадрата

Пары базовых отношений, составляющие элементы логического квадрата (ребра, диагонали), обладают специфическими свойствами, которые определяют возможности их использования для построения правильных рассуждений.

1. Противоречие. Диагонали (А–О), (I–E). Два утверждения не могут быть одновременно истинными либо ложными (см. Жерданову таблицу логического квадрата)

2. Подчиненность. Ребра (A–I), (E–O). Если утверждения А, Е истинны, то обязательно должны быть истинны соответствующие утверждения I и О.

3. Противность. Ребро (А–Е). Утверждения А, Е не могут быть одновременно истинными.

4. Частичная совместимость. Ребро (I–O). Утверждения I, O могут быть только одновременно истинными.

5.1. Примеры отрицаний высказываний:

а) I(S, P). Некоторые параллелограммы есть ромбы . Неверно, что некоторые параллелограммы есть ромбы (ложное высказывание).

б) . Некоторые параллелограммы не есть ромбы, . Неверно, что некоторые параллелограммы не есть ромбы.

5.2. Пример проверки тождественной истинности некоторых рассуждений. Каждый силлогизм должен быть истинным при всех интерпретациях а), б), в), г), тогда он называется правильным рассуждением.

1) ├ 2) ├ 3) ├

а) л  и = и а) л  а) л  и = и

б) л  л = и б) л  б) л  и = и

в) и  и = и в) и  в) и  л = л

г) ии=и г) и  г) и  л = л

правильное правильное неправильное

1. Все ромбы суть параллелограммы, отсюда следует, что некоторые параллелограммы суть ромбы.

2. Все ромбы есть параллелограммы, но неверно, что некоторые ромбы не есть параллелограммы.

3. Все ромбы не есть треугольники, отсюда следует, что некоторые ромбы не есть параллелограммы. Это неправильное рассуждение, ложный вывод.

Аристотелев квадрат представляет собой отношение выводимости между парами базовых утверждений и их отрицаний. При этом посылки и следствия могут меняться местами, образуя т. н. Прямые и обратные рассуждения.

Прямые рассуждения Обратные рассуждения

1. R ├ P 1. P ├ R

2. R ├ P . ├R

3. ├ P . P├

4. ├ P 4. ├

Из 48 возможных прямых и обратных рассуждений и их отрицаний, которые можно составить по квадрату Аристотеля, правильными являются только 16. Далее строится таблица правильных рассуждений 1-го ранга.

1. Диагональ .